一種基于凸優化的四站時差定位算法

張歡，周云生，姜義成

1. 北京遙測技術研究所，北京 100094

2. 哈爾濱工業大學 電子與信息工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

多站無源定位技術在雷達、導航、無線通信等領域存在著廣泛的應用[1-3]。常用定位參數主要包括到達角度(angle of arrival，AOA)、到達時間差(time different of arrival，TDOA)、到達頻率差(frequency different of arrival，FDOA)等。其 中 多站時差定位體制通過多個觀測站測量輻射源信號到達各站的時間差實現輻射源定位，其定位成本低、定位精度較高并且不需要精確已知輻射源發射信號信息，是一種實時定位體制，因此受到廣泛關注。

目前典型的TDOA定位算法包括Chan算法[4-5]、迭代算法[6]以及凸優化算法[7]等。Chan算法通過信號到達兩站的時差確定以兩觀測站為焦點的雙曲面，多個雙曲面的交點即為輻射源位置，該方法在測量誤差較小時能夠得到輻射源位置的解析解；但測量誤差增大會使雙曲面平移，會出現定位模糊或無解的問題，影響算法定位精度。迭代算法需要一個初始位置點進行迭代求解，若初始點與真實位置誤差較大，算法往往不能收斂。凸優化算法具有局部最優點即全局最優點的特點[8-9]，其首先利用中間變量構造偽線性方程并構造目標函數；然后在此基礎上對目標函數進行松弛變換，將非線性的時差定位方程變換為一個凸優化問題，該方法具有良好的收斂特性，不會出現局部收斂或發散的現象。由于時差定位通常是在觀測站位置信息精確已知的條件下進行，所以會受到使用條件的限制，當觀測站為無人機或高速飛行器等運動平臺時，其導航自定位存在誤差，位置誤差的存在會使時差定位算法的定位精度下降[10-12]。因此，定位算法需要考慮位置誤差對定位精度的影響。

本文考慮在觀測站存在位置誤差的條件下，提出了一種基于凸優化的時差定位算法，并通過仿真本文算法在不同的時差測量誤差、位置誤差條件下的定位誤差，驗證了算法的有效性；通過卡爾曼濾波處理多次定位結果進一步提升了輻射源定位精度。

1 時差定位模型

如圖1所示，假設在三維空間中位于地球表面的輻射源真實位置為四站時差定位系統中各站真實位置分別為2,3,4。

以第一個觀測站為主站，其余為輔站。多站之間采用中心授時法完成時鐘同步，主輔站上分別攜帶有衛星導航接收機，根據衛星導航授時中心的中心授時調整自身時鐘來達到相互之間的時鐘同步。假設輻射源信號傳輸過程中不存在多徑效應等問題，主輔站截獲輻射源信號，通過脈沖配對和信號到達時間估計后得到3個測量時差，乘以電磁波傳播速度c得到時差的等價觀測量即為距離差測量值：

本算法對地球表面高程為零的靜止輻射源進行定位，利用這一信息作為輻射源位置求解的約束條件，采用WGS-84地球橢球模型[13]。在WGS-84模型下，輻射源的空間直角坐標與經緯高坐標的關系為

式中：H為輻射源高度信息，對位于地球表面的輻射源，其高度H=0。存在約束條件時的多站時差定位方程如下：

2 基于凸優化的時差定位算法

首先將非線性的時差定位方程偽線性化。將主站與輻射源的距離作為輔助變量，對兩邊進行平方，并將含有誤差的ri1和 si代入方程并作泰勒級數展開后得到關于輻射源位置uo和輔助變量的偽線性方程：

該函數是非線性等式約束優化問題，其為一個非凸優化問題。對該問題可以通過松弛變換處理，將其轉換為一個凸優化問題，利用凸優化局部最優點即為全局最優點的優點可以有效求解。

對于形如 Y=yyT的矩陣等式有：

舍棄式中約束項 rank(Y)=1，將原問題進行松弛后得到一個凸優化問題，同時加入地球表面約束條件：

該問題的求解已經成熟應用于MATLAB內嵌的CVX工具箱中，該方法可以在幾十步之內以給定的精度求解凸優化問題[9]，當結果滿足門限時，求解結束并輸出定位結果。根據Y的定義可得輻射源定位結果為

綜上所述，本算法基本流程為：

1)根據時差信息與觀測站坐標構建時差定位方程；

2)對定位方程進行變換并結合地球表面約束條件，將其變為一個凸優化問題；

3)利用CVX工具箱求解，若結果滿足給定門限，則求解結束，否則繼續迭代并更新定位結果。

3 仿真分析

3.1 單次定位誤差仿真

本文在不同時差測量誤差和位置誤差情況下仿真各種算法的定位誤差。假設輻射源位置為uo=[?1 211.96,5 790.91,2 374.68]Tkm，4個觀測站采用一主三從模式，各站真實坐標為如表1所示。此時主站與輻射源之間的距離R為71.50 km，考慮到定位精度與距離的關系，本文選取1 %R作為檢測時差定位算法精度的標準。

本文中各種算法的定位精度用均方根誤差(root mean square error，RMSE)來表示，其定義為其中L=100為蒙特卡洛仿真次數，ul為 第l次蒙特卡洛仿真得到的位置估計值，uo為輻射源真實位置。

假設各站絕對位置誤差σs為0 m，圖2表示了各種算法對輻射源的定位誤差隨時差測量誤差變化情況，其中迭代算法初始值由Chan算法給出。從圖中可以看出，當時差測量誤差和位置誤差均為零時，3種算法均能準確計算出輻射源位置，定位誤差接近于零；當時差測量誤差大于8 ns時，Chan算法和迭代算法的定位誤差大于1 %R，不能滿足高精度定位的要求；而本文算法在時差測量誤差為20 ns時的定位誤差為0.12 km，仍能滿足1%R的定位精度要求。

圖2 算法定位誤差隨時差測量誤差變化情況

假設主從站時差測量誤差σt為5 ns，圖3表示了各種算法對輻射源的定位誤差隨位置誤差變化情況，其中迭代算法初始值由Chan算法給出。從圖中可以看出，由于位置誤差和時差測量誤差的影響，當位置誤差大于2 m時，Chan算法和迭代算法的定位誤差大于1 %R；而本文算法在位置誤差為10 m時的定位誤差為0.21 km，仍能滿足1%R的高精度定位要求。

圖3 算法定位誤差隨位置誤差變化情況

3.2 多次定位仿真

為了提升輻射源定位精度，可以對輻射源進行多次定位并對多次定位結果進行濾波處理[14]。設輻射源為其狀態方程與測量方程為

為了體現多次定位卡爾曼濾波結果，本節仿真參數如下：輻射源為地面固定目標，其位置坐標與上節相同；四站位置如表1所示，運動速度為(?0.5,?2,?0.5)km/s，觀測時長為10 s，觀測間隔時間為0.1 s；仿真中時差測量誤差為10 ns，各站絕對位置誤差為5 m。

表1 觀測站三維真實坐標 km

從圖4中可以看出，對多次定位結果進行卡爾曼濾波后，輻射源定位誤差大大減小，到4 s以后，定位誤差穩定在10 m以下，濾波處理可以大大提升對輻射源的定位精度。

圖4 單次定位與卡爾曼濾波處理后的定位誤差

4 結論

本文以四站時差定位系統為例，考慮觀測站位置誤差對定位算法精度的影響，提出了一種基于凸優化的時差定位算法。通過將非線性的時差定位方程轉換為一個凸優化問題，結合地球表面約束條件得到輻射源位置的最優解。仿真結果表明：本文算法在相同時差測量誤差或位置誤差條件下定位精度優于傳統時差定位算法，在高誤差條件下定位誤差最小；進一步通過對多次定位結果進行卡爾曼濾波處理減小了輻射源定位誤差，大大提升了輻射源定位精度。