光纖波導傳光模式及其特性

雷前召， 何 冰， 董康軍， 張修興， 張寧寧， 吳振森

(1. 渭南師范學院 物理與電氣工程學院， 陜西 渭南 714099； 2. 西安電子科技大學 物理與光電工程學院， 陜西 西安 710071)

光纖通信的應用已經滲透到社會、生活的各個方面，從傳輸簡單信號到影像快速傳遞技術，從云主機、云服務器的普及應用到數據安全預警[1]等。新型冠狀病毒感染的肺炎(新冠肺炎，novel coronavirus pneumonia，NCP)疫情暴發，更進一步促進了線上購物、線上教育、線上辦公以及線上醫療對傳統方式的加速替代。隨著世界快速進入5G時代，社會的生產、生活方式，企業、國家的組織結構、管理方法、模式都將發生深刻變化。

光纖通信系統容量巨大，優勢明顯，在引領各國搶占科技領域前沿方面具有巨大潛力。目前常用的二氧化硅光纖在光纖通信中采用的低損耗工作波長為近紅外線波長，分別為1.31、1.55、1.62 μm，相比于頻率僅為幾十兆赫茲的可用通信帶寬的短波、微波，光纖通信在這3個低損耗窗口的對應波段各自具有頻率分別為17.5、4.3、7.1 THz的帶寬儲備，如此豐富的帶寬資源有力地保障了光纖的大容量通信能力[2]。光纖的特殊材料決定了其具有優良的抗干擾性[3]，即使太陽黑子暴發，電離層出現磁暴，光纖通信仍然能穩定、正常運行。此外，當光纖與高壓輸電線平行架設或與電力導體構成復合光纜時，能夠最大程度地提高電力傳輸線路的運行效率[4]。

波導光學主要研究光在光纖中的產生、耦合、傳播和損耗等物理現象和性質[5]，以及與之相應的光波導器件，比如光纖耦合器、光纖傳感器[6-7]、光纖波分復用器、光開關、光放大器以及光調制器等[8]。集成光路主要研究如何把各種光波導器件集成在同一根光纖中，形成具有一定功能的微型光纖光學系統，以達到纖維集成的目的[9]。上述所有問題都離不開光纖波導的模式傳光研究。本文中將光纖波導內矢量場進行簡并處理，轉化為波導內的線偏振模式，求解柱坐標系下標量場的波動方程，得到線偏振模式的貝塞爾特征方程，并利用線偏振模式的貝塞爾函數解，模擬光纖波導橫截面場強分布，分析場強分布特征。

1 光纖波導傳光基本原理

光線在光纖中均勻同種介質的纖芯內沿直線傳播，在內、外2層介質分界面發生反射和折射。光纖結構及其數值孔徑如圖1所示，其中，a、b為纖芯、包層的半徑，φ為入射光線與光纖軸線的夾角。

入射光線能夠通過光纖傳輸的最大入射角的正弦值定義為光纖的數值孔徑rNA，以2φmax為頂角的圓錐體內的光線能通過光纖，根據光纖內纖芯與包層間光線全反射的臨界條件，有

a、b—纖芯、包層的半徑； φ—入射光線與光纖軸線的夾角。圖1 光纖結構及其數值孔徑

(1)

式中n1、n2、n0分別為光纖纖芯、包層及包層外介質的折射率。包層外通常為空氣，光線在纖芯內多次反射形成折線路徑，光線如果與光纖軸線相交，則入射線、反射線、法線、軸線共面，該面稱為主截面，其中光線稱為子午線，光纖子午線投影圖如圖2所示。通常，光線入射角φ滿足

(2)

φ、θ—光線通過纖芯橫截面進入纖芯的入射角和反射角; α—纖芯內光線在纖芯和包層分界面的入射角; n1、n2—光纖纖芯、包層的折射率；z—空間直角坐標系的豎坐標。圖2 光纖子午線投影圖

(3)

2 光纖傳光標量波導方程及貝塞爾方程解

2.1 光纖傳光標量波導方程

光纖波導除了可以傳輸電場矢量垂直于光線傳播方向的橫電(transverse electric，TE)波(或H波)、磁場矢量垂直于傳播方向的橫磁(transverse magnetic，TM)波(或E波)這2種線偏振波，還有傳播方向既有磁場分量又有電場分量的HE波或EH波(兼有電場、磁場矢量垂直于光線傳播方向)，直接求解TE、TM、HE、EH模的矢量精確解很復雜。通常光纖采用弱導光纖(纖芯、包層的折射率滿足n1≈n2)，在截止頻率附近相當寬的頻帶內，波的傳播系數近似相等，極化方向不隨z變化，可視為線極化波，問題轉化為求解標量方程，則可引用線偏振模式(linearly polarized modes，LP模式)[11]。選用柱面坐標系，使z軸與光纖軸線重合，并且視場分量A滿足標量波動方程，則有關系式[12]

(4)

式中：μ、ε分別為介質的磁導率和電容量；r、φ、z、t分別為柱面坐標系的3個分量以及時間因子；A(r,φ,z,t)=R(r)φ(φ)Z(z)T(t)為利用分離變量法所得的解，其中R、φ、Z、T分別為只含有r、φ、z、t的代數因子，φ(φ)=exp(±lφ)，l(l=0, 1, …)為圍繞z軸旋轉的場分量變化的周期數，Z(z)T(t)=exp[j(ωt-βz)]，ω為角頻率。

將A=R(r)φ(φ)Z(z)T(t)代入式(4)，得

(5)

式中：k為波傳播的波數；i分別取為1、2。式(5)的解為纖芯和包層中的徑向場分量[13]，即

(6)

式中：a0、ba為待定系數；V為歸一化頻率；W為貝塞爾函數的宗量；Jl為纖芯內貝塞爾函數；Kl為包層內貝塞爾函數。

(7)

其中

并且參數β、V、U、W隨l、ω、a等的變化而變化。

2.2 標量近似解與傳統矢量精確解相對應

根據式(7)，當W=0時，特征方程為臨界狀態，此時V=U，由此確定各模式截止頻率。由于U≠0，因此有

Jl-1(U)=0

。

(8)

當l=0時，J-1(U)=J1(U)=0的第1個零點出現在U=0處，傳播模式在U=0處截止，該傳播模式為LP01； 第2個零點出現在V=3.832處,傳播模式為LP02； 第3個零點在7.016處，傳播模式為LP03； 第4個零點出現在9.761處，傳播模式為LP04。

當l=1時，J0(U)=0的第1、2、3個零點分別出現在U=2.405、5.52、8.654處，對應的模式分別為LP11、LP12、LP13。

當l=2時，J1(U)=0的第1、2、3個零點分別出現在U=3.832、7.016、9.761處，對應的模式分別為LP21、LP22、LP23。

當l=3時，J2(U)=0的第1、2個零點分別出現在U=5.136、8.417處，對應的模式分別為LP31、LP32。

當l=4時，J3(U)=0的第1、2個零點分別出現在U=7.588、8.711處，對應的模式分別為LP41、LP42。

統一使用LPln表示LP模式，其中n為貝賽爾函數的零點數，實際含義為場徑向分量變化的半波數[13]。

LPln模式遠離截止時，則對應的頻率f→∞，k0→∞，則入射角θi→90°，根據特征方程(7)，有

Jl(U)=0

。

(9)

式(9)是LPln模式遠離截止的傳輸條件，l取不同值時對應的根值標注于貝塞爾函數曲線，如圖3所示。

V—歸一化頻率；Jv—v階貝塞爾函數；J0—零階貝塞爾函數，黑線；J1—一階貝塞爾函數，紅線； J2—2階貝塞爾函數，藍線； J3—三階貝塞爾函數，紫線；LP—對應各區間的線偏振模式場，相鄰2個根之間為一個區間；TE、TM、HE—矢量精確解，分別對應LP01、LP11、LP02、LP12、LP03、LP13共6個線偏振模式場；LP01—HE11二重簡并，此為單模，也稱主模；LP11—HE21與TE01、TM01的簡并；LP02—HE12的二重簡并; LP12—HE22與TE02、TM02的簡并；LP03—HE13的二重簡并；LP13—HE23與TM03、TE03的簡并。圖3 貝賽爾曲線中模式的截止與遠離截止

n1、n2—光纖纖芯、包層的折射率；TE、TM、HE、EH—精確場，不同的下標代表不同的模式；LP01—HE11二重簡并，此為單模，也稱主模；LP11—HE21與TE01、TM01的簡并；LP21—EH11、HE31的簡并；LP02—HE12的二重簡并；LP31—EH21、HE41的簡并；LP12—HE22與TE02、TM02的簡并。圖4 線偏振模式(LP模式)的傳播系數與歸一化頻率V之間的關系

下面分析矢量精確解與標量近似解的關系。

對于弱導光纖，橫向分量Hx、Ey、Ex、Hy的振動模式為線偏振，矢量精確解HEl+1,m[Jl(V)]、EHl-1,m[Jl(V)](l=0, 1, …；m=1, 2, …)這2項本征值相同，旋向相反，2項進行簡并后，合成線偏振光LPlm模式。

由表5和表6可以看出A、B、C三個影響因素中，影響因素順序為A＞C＞B。由表5的均值結果分析，因素A的優劣順序為3＞2＞1；因素B的優劣順序為3＞2＞1；因素C的優劣順序為3＞1＞2。最終選擇以A3B3C3為最佳水提工藝條件，即加10倍量水，煎煮3次，每次煎煮1.5 h。

當l=0時，LP0m模式只有二重簡并，對應精確解的混合波HElm。

當l>0時，每個LPlm模式有四重簡并，徑向有2種模式，沿x方向或y方向偏振，由式(6)，徑向場分量包含角因子φ，角向有cosmφ、sinmφ之分[12]。當l≥2時，LPlm模式由HEi+1,m與EHi-1,m模式簡并，而當l=1時，LP1m模式由HE1+1,m與TE0m、TM0m模式簡并，簡并前、后的對應關系如圖3、4所示。

3 纖芯截面LP模式的場強分布模擬及特性分析

根據LP模式的貝塞爾函數解，模擬幾個LP低階模的場強分布。設纖芯的內徑為20 μm，光波波長為1.31 μm，纖芯和包層介質折射率分別為n1=1.468，n2=1.458。

LP01模式的場強為

ELP01(x,y)=CJ0(U01r/a)/J0(U01),

(10)

式中：C為常數；U01為纖芯內貝塞爾函數宗量。

由貝塞爾函數解的特性可知，J0(U01r/a)與J0(U01)在取值范圍(0，2.405)內均為正值，因此導模的場沿徑向無零點。由于l=0，因此導模的場無角向分量。利用式(10)模擬LP01模式場在纖芯截面的場強分布，結果如圖5(a)所示。從圖中可以看出，光以纖芯軸心為中心分布，越靠近軸心時場強越大。

LP02模式的場強為

ELP02(x,y)=CJ0(U02r/a)/J0(U02), 3.823<

U02<5.520, 0

(11)

式中U02為纖芯內貝塞爾函數宗量。

由貝塞爾函數解特性可知, 在宗量取值范圍內，J0(U02r/a)有零點r=2.405a/U02，在該零點兩側值變號，而分母J0(U02)不變號。由于l=0，因此導模的場無角向分量，纖芯截面LP02模式的場強分布模擬結果如圖5(b)所示。由圖可知，纖芯中心為一個亮斑； 以纖芯軸心為中心分布一個亮圓環，以r=2.405a/U02環線為界，兩側場強變號。

LP11模式的場強為

ELP11(x,y)=C[J1(U11r/a)/J1(U11)]cosφ, 2.405<

U11<3.823, 0

(12)

(a)LP01模

(b)LP02模

(c)LP11模

J1(U11r/a)與J1(U11)在其宗量范圍內均為正，角因子φ有零點π/2、3π/2，這2個角的邊線對稱且構成連線，稱為零線，零線兩側場強符號相反，模擬結果如圖5(c)所示。

LP21模式的場強為

ELP21(x,y)=C[J2(U21r/a)/J2(U21)]cos 2φ, 3.823<

U21<5.136, 0

(13)

J2(U21r/a)與J2(U21)在其宗量范圍內均為正，角因子φ有零點π/4、3π/4、5π/4和7π/4，且兩兩構成對稱對角線，為2條零線，零線兩側場強符號相反，模擬結果如圖5(d)所示。

通過幾種低階模的模擬及其結果分析可知，與利用模式的截止、遠離截止進行的分析相比，兩者得出的結果一致，但是橫截面場強分布模擬更形象地顯示了各模式場強分布特點。

4 結語

本文中通過對光纖纖芯軸線橫截面的場強分布進行模擬，并分析模擬結果，得到以下結論及啟示：

1)當歸一化頻率V小于2.405時，光纖只有主模LP01，即為單模傳輸，模擬結果顯示，光線集中在光纖內芯中心部分。單模光纖能夠完全避免模間色散，可以進行大容量、長距離傳輸。

2)當V大于2.405時，光纖內的傳輸方式為多模傳輸，會受到色散影響，將無法實現大容量、遠距離傳輸。

3)在設計制造光纖時，應通盤考慮纖芯折射率、半徑、相對折射率差以及光頻率參數，使結構參量滿足單模傳輸條件，保證光纖中只有LP01模式傳輸。

4)本文中主要研究階躍光纖傳播模式，在實際應用中還有漸變光纖，階躍光纖是基礎。如果選擇漸變光纖的折射率按雙曲正割規律分布，能實現完善的子午線自聚焦效果，從而有效地消除模式色散的影響。