直升機切換LPV 魯棒跟蹤控制

張紹杰，李 碩，嚴 鵬，魯 可,2

（1.南京航空航天大學自動化學院，南京211106；2.中國直升機設計研究所直升機旋翼動力學重點實驗室，景德鎮333001）

直升機以旋翼作為主要升力來源，不需要機場跑道，能夠很好地實現垂直起降和空中懸停，機動靈活，但比固定翼飛機有更復雜的氣動特性，給控制律設計帶來了巨大的挑戰。線性變參數(Linear variable parameter，LPV)系統具有線性形式，能夠描述復雜的非線性模型，進而可采用線性控制理論來解決復雜的飛行控制問題，因此近年來得到了控制理論學者們的廣泛關注[1]。在對LPV 系統進行控制器設計時，通常是采用傳統的增益調度(Gain scheduled，GS)方法[2]，但這種方法選取調度變量的范圍往往決定了系統的性能，如穩定性、H∞性能。若調度變量大范圍波動，單一的LPV 控制器不能獲得良好的系統性能，甚至導致系統不穩定，所以這種方法難以適用于調參變量大范圍時變的非線性飛行控制系統。文獻[3]將切換控制和LPV 控制方法相結合，提出了一種參數依賴多Lyapunov 函數的切換線性變參數控制方法。文獻[4]根據發動機相似工作原理以及平方和規劃，基于發動機全飛行包線的換算線性變參數模型，提出了一種基于區域極點配置的航空發動機全包線切換H∞/LPV 控制方法，通過劃分包線來極點配置的方法降低了系統的保守性。文獻[5]基于切換系統提出了一種平均駐留時間(Average dwell time，ADT)切換信號設計方法，實現了平均意義上穩定線性子系統間的慢切換。文獻[6]基于模態依賴平均駐留時間(Mode-dependent average dwell time，MDADT)方法，研究了一類線性不確定切換系統的穩定性，較ADT 切換信號的設計，MDADT 更靈活、更易實現。

目前國內外有許多學者將重點放在LPV 模型建立上以及ADT 和MDADT 控制問題的研究上。文獻[7]結合ADT 方法，將后掠角的變化范圍分為3 個區域并分別設計控制器，解決了不同后掠角有不同系統性能的問題，通過切換控制器來保證變體過程中的穩定性。文獻[8]對傾轉旋翼機縱向模型進行配平線性化，得出在不同短艙傾角不同飛行模式定常飛行時的平衡工作點,采用MDADT 切換魯棒H∞跟蹤控制方法對飛行器從直升機模態轉換到固定翼模態的過渡過程進行切換跟蹤控制。但目前針對直升機，建立LPV 系統并設計帶有MDADT 的切換控制器的研究較少。

本文針對UH-60 軍用直升機，以這類直升機的非線性模型為基礎，建立LPV 縱向模型，并研究了其縱向模型在MDADT 切換信號下控制器設計方法。 結合參數依賴的多Lyapunov 函數和MDADT 方法，給出了保證切換LPV 系統全局一致指數穩定的充分條件。并考慮由于測量誤差和參數飄移等因素而造成的控制器增益變化，設計帶有MDADT 限制的切換律。由Simulink 仿真可知所設計的控制律能有效地動態跟蹤直升機前飛狀態的不同狀態量，驗證了所建模型和控制算法的有效性和可行性。

1 直升機縱向切換LPV 建模

雖然利用氣動力方程組建立的非線性系統能較為精確地描述直升機，但在實際工程中，針對直升機這類高階、復雜的被控對象，用現有控制理論解決控制問題時仍然存在諸多的限制和局限性[9]。LPV 系統是一類特殊的非線性動態系統，這類系統只有參數是可變的。相比較于傳統的線性定常（Linear time invariant，LTI）系統，LPV 系統通過將復雜的飛行器對象進行LPV 建模，可簡易描述飛行器動力學方程，從而方便運用魯棒控制等線性控制理論來設計變增益控制器。

1.1 縱向運動方程的線性化與切換LPV 模型

當直升機作速度大小與方向均不變的定常直線運動時，其處于平衡狀態，此時作用于機體軸上的合力以及合力矩均為零，根據牛頓運動定律可以得到6 個平衡態動力學方程。且由于縱向運動模態下不考慮滾轉角φ，偏航角ψ，滾轉角速度q，偏航角速度r 等的影響，直升機縱向平衡方程為

式中：u,w 分別為直升機沿機體軸的線速度；m 為直升機總質量；θ 為俯仰角；q 為俯仰角速率；Iy為直升機慣性矩；X,Z 為直升機在機體軸下各部件氣動力的矢量相加；M 為俯仰力矩。

目前常用的將非線性模型表示為LPV 模型的方法有3 種，分別是雅克比線性化方法、狀態變換方法和函數替換法。由于雅克比線性化法適用于任何可在平衡點處線性化的非線性系統，本文采用雅克比線性化法來完成模型的建立。

首先需要選擇調度變量，并對其作用范圍進行劃分，由于前飛狀態的4 個狀態量中，俯仰角速率q可由俯仰角θ 求導表示，因此在選擇增益調度變量ρ 時 選 取u,w,θ 作 為 調 度 狀 態。且 由 于w 和θ 的數值較小且僅在小范圍內變化，因而在整個飛行包線中僅對u 的數值進行劃分。

其次需要計算各狀態變量的平衡點。方程式(1)可表述為如下形式

式 中：x=[u,w,q,θ ]T，δ=[δe,δc]T，δe為 直 升 機縱向周期變距，δc為旋翼總距。

當式（2）中的f =0 時，便可以得到狀態變量和輸入變量的平衡點xeq和δeq。對求得的一系列平衡點并進行上述泰勒展開，從而可以得到

通過一系列平衡點并進行上述泰勒展開，從而可得到一系列能局部逼近非線性動態的線性時不變模型，如圖1 所示。

圖1 基于雅克比方法的LPV 模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of LPV model established by Jacobi linearization method

最后將一系列線性化模型進行數值擬合，從而得到直升機LPV 模型

相應于第σ(t)個子區域的LPV 模型表示為

1.2 跟蹤控制增廣切換LPV 模型

考慮系統式（5）的跟蹤控制問題，記指令信號為r(t)，系統的輸出y(t) =Cx，C 為適當維數矩陣。則系統控制目標為

將跟蹤誤差積分項

2 直升機切換LPV 控制器設計

2.1 LPV 模型的多胞形表示

考慮如下LPV 系統

式中：Hk為已知矩陣，ai為凸分解得到的權系數函數。這種LPV 系統具有凸性質。

若系統矩陣中的A、B、C、D 可由參數{ρ1,ρ2,…,ρn}表示，并具有以下形式

則將這類模型稱為參數依賴模型。這類模型可通過調參變量的極值組合轉化為多胞形，由此達到簡化計算量，減少計算的目的。

2.2 切換LPV 控制器設計

考慮如下切換LPV 系統

式中：ρ(t)為可時刻檢測的變參數，x 為系統的狀態變量，Υ(t)為系統所受到的外部擾動。z(t)為H∞性能輸出。

定義1[12]對于切換信號σ(t) ∈Λ，假設?0 ≤t ≤T，Nσs(t,T)表示切換信號在開區間(t,T)間斷切換的次數，Ts(t,T )表示第s 個包線區域在(t,T)運行的總時間。如果存在兩個常數N0s＞0,τas＞0使得

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則切換信號σ(t)具有模態依賴時間τas。

定義2[13]假設切換系統滿足切換信號σ(t)，存在β ＞0,δ ＞0 滿足

切換律σ(t)滿足MDADT 限制

則切換系統指數穩定,且滿足H∞性能γ。

假設LPV 模型為參數依賴模型，則可對形如式(13)的LPV 切換系統設計狀態反饋控制律

來保證系統一致穩定，且具有指定的L2增益γ。

考慮到控制器由于測量誤差和參數飄移等因素造成的控制器增益變化，閉環系統可記為

(2)存在常數ε 滿足N +εPPT+ε-QTQ ＜0。定理 考慮LPV 系統式(13)，假設系統可用多胞形來表示，則求解H∞控制器的過程可以轉變成求解一組LMI，即對每一個包線s 求解一個狀態反饋控制器使得閉環系統穩定。給定常數矩陣H，E 和標量γ ＞0，令0 ＜λs＜1，μs＞1，若存在對稱正定矩陣Ss＞0，矩陣Usn，有下列LMIs 成立

那么在包線范圍σ 內存在一組切換控制器

使得切換LPV 系統全局一致指數穩定，并具有L2增益γ，且切換信號滿足式(17)。

證明：選取如下形式的Lyapunov 函數

對Vs求導，有

利用Schur 補定理，得到不等式

進一步可寫成

令KsnSs=Usn，由引理2 可知，存在標量γsn使得

通過Schur 補定理，式(27)等價于

若式(28)有解，那么求得的這一組切換控制器可保證切換LPV 系統全局一致穩定，并具有L2增益γ。證畢。

3 仿真驗證與分析

選取機體坐標系下的線速度(m/s)u ∈[0.5,72]，w ∈[-0.03,0.18] 和 俯 仰 角(rad)θ ∈[-0.005,0.102]作為時變參數。將u 劃分為3個 區 域：0.5 ≤u ≤20；20 ≤u ≤50；50 ≤u ≤72，從而飛行包線被劃分為3 個區域，每個子區域表示為

本文通過選取直升機前飛時平衡點，得到配平模式下的一系列LTI 模型。之后采用多元線性回歸對這一系列模型擬合，得到該直升機LPV 模型，再由1.2 節的增廣方法對該模型變換，得到仿射參數依賴的模型

式中

考慮系統的H∞性能輸出

u,θ 跟蹤曲線如圖2～3 所示，w,q 的響應曲線如圖4～5 所示。

圖2 速度分量u 跟蹤曲線Fig.2 Tracking curve of velocity component u

圖3 俯仰角θ 跟蹤曲線Fig.3 Tracking curve of pitch angle θ

圖4 速度分量w 響應曲線Fig.4 Response curve of velocity component w

圖5 俯仰角速率q 響應曲線Fig.5 Response curve of pitch rate q

切換信號的檢測通常需要一定的時間，因此控制器的切換往往滯后于系統模態的切換。但在MDADT 限制下，可忽略其他區域的運行時間，使其小于每個單獨區域內任意兩個連續切換之間的駐留時間的平均值。由上述仿真結果可知在整個時間域內都能在MDADT 內能有效地動態跟蹤直升機前飛狀態的不同狀態量。

4 結 論

本文針對直升機跟蹤控制問題，基于MDADT 切換信號，設計了一組LPV 控制器。對可以表征系統特征的時變參數進行區間劃分，結合參數依賴的多Lyapunov 函數，給出了保證切換LPV 系統全局一致指數穩定的充分條件。考慮到控制器由于測量誤差和參數飄移等因素而造成的控制器增益變化，通過LMI 求解得到了在MDADT 切換信號限制下的切換律，仿真結果驗證了所建模型和控制算法的有效性和可行性。