自旋軌道耦合Su-Schrieffer-Heeger原子鏈系統的電子輸運特性*

薛海斌 段志磊 陳彬 陳建賓 邢麗麗

1) (太原理工大學新材料界面科學與工程教育部重點實驗室, 太原 030024)

2) (太原理工大學物理與光電工程學院, 太原 030024)

1 引 言

非平庸拓撲邊緣態對其材料的局部缺陷和無序具有很強的魯棒性, 因此在自旋電子學和量子計算中具有重要的應用[1].其中, 最初用于描述聚乙炔的Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 原子鏈模型[2]是具有非平庸拓撲邊緣態的最簡單一維模型, 并且已在光子(光子晶體和光波導晶格)[3,4]、冷原子(光晶格和拉曼耦合動量晶格)[5,6]、人工修飾原子晶格(銅表面氯單層的空位晶格)[7,8]系統中實驗實現.要實現基于非平庸拓撲邊緣態的量子器件, 如何探測其邊緣態是凝聚態物理中的重要課題之一.在光子系統中, 光子的反射譜[9]、透射譜[10]及其動力學[4,11]可以用于探測刻畫其邊緣態性質的纏繞數或Zak 相位.最近, 在SSH 原子鏈系統中, 發現其電子輸運特性同樣可以用來探測其邊緣態[12-14].例如, 在量子點-SSH 原子鏈系統中, 通過觀察零能附近電子透射峰的個數變化判斷SSH 原子鏈是否具有非平庸拓撲態[14].另一方面, 自旋軌道耦合是物質存在非平庸拓撲相的核心和關鍵因素[15,16], 并且實驗上自旋軌道耦合已在一維冷原子[17-20]和一維光子系統[21]中實現.對于一維SSH 原子鏈, 當存在自旋軌道耦合作用時, 即對于自旋軌道耦合SSH原子鏈, 電子在胞內和胞間的跳躍將依賴于其自旋, 此時, SSH 原子鏈存在纏繞數不同的非平庸拓撲邊緣態[22-25].特別是, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的邊緣態特性可以通過其電子自旋共振譜的非平庸頻移來探測[23].但是, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈不同纏繞數的非平庸拓撲邊緣態與其電子輸運特性的關系, 尤其是, 如何基于電子輸運特性探測其不同纏繞數的邊緣態尚未被揭示.

本文將研究自旋軌道耦合SSH 原子鏈的邊緣態拓撲性質, 以及如何基于電子輸運特性探測其不同纏繞數的邊緣態.研究發現, 當源極入射電子的自旋被極化時, 電子在零能附近的輸運特性可以反映其邊緣態的能譜特性; 并且隨著自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線之間的耦合強度由弱到強改變, 纏繞數為2 和1 的邊緣態在零能附近的電子透射峰數目將分別從4 個和2 個變為0.因此,根據上述結果建議了一種基于電子輸運特性探測自旋軌道耦合SSH 原子鏈邊緣態拓撲性質的理論方案.

2 模型和研究方法

2.1 耦合導線的自旋軌道耦合SSH 原子鏈

本文考慮自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線耦合的系統, 如圖1 所示.該系統在緊束縛近似下的哈密頓量可表示為

(1)式右邊的第一項HSSH-SOC為自旋軌道耦合SSH原子鏈的哈密頓量:

(1)式右邊第二項和第三項分別表示左、右導線的哈密頓量:

(1)式右邊第四項表示自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右電極之間的隧穿耦合哈密頓量:

圖1 自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線耦合系統的示意圖.其中, 紅色實心圓表示A 原子, 藍色實心圓表示B 原子, 黑色空心圓表示導線上的原子.t0 表示導線上相鄰原子之間的跳躍振幅, t L,σ 和 t R,σ 表示自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右電極之間自旋依賴的隧穿耦合強度.υ 和w 分別表示胞內和胞間自旋守恒的跳躍振幅, 而 λ υ 和 λ w 則分別表示胞內和胞間自旋翻轉 的跳躍振幅Fig.1.The schematic diagram of the SSH chain with spin-orbit coupling coupled to the left and right leads.The red filled circles denote the A atoms, the blue filled circles denote the B atoms, the black unfilled circles denote atoms on the leads.t0 describes the hopping amplitude between two adjacent atoms on the leads.t L,σ and t R,σ characterize the spin-dependent tunnel coupling strengths between the SSH chain with spin-orbit coupling and the left lead, and that between the SSH chain with spin-orbit coupling and the right lead, respectively.υ and w are the intra-cell and inter-cell hopping amplitudes with the spin-conserving processes, respectively.Whereas λυ and λ w are the intra-cell and inter-cell hopping amplitudes with the spin-flip processes, respectively.

式中,tL,σ和tR,σ分別表示自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右電極之間自旋依賴的隧穿耦合強度.

2.2 電子透射率

為計算自旋軌道耦合SSH 原子鏈的電子透射率, 假設電子從左邊的導線入射.首先, 利用每個格點原子的瓦尼爾態將耦合左、右導線的自旋軌道耦合SSH 原子鏈的波函數|ψ〉表示為[14]

式中,|j,σ〉和aj,σ,k分別表示導線上第j個原子的瓦尼爾態和相應的幾率幅, 其中,k為入射電子的波 矢;|n,β,σ〉和dn,β,σ,k則分別表示在自旋σ的SSH 原子鏈上第n個原胞中β原子的瓦尼爾態和相應的幾率幅.這里, 需要說明的是, 電極的湮滅算符aj,σ和產生算符分別對應于瓦尼爾態〈j,σ|和|j,σ〉, 相應地, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的湮滅算符dn,β,σ和產生算符分別對應于瓦尼爾態〈n,β,σ|和|n,β,σ〉.

其次, 將耦合導線的自旋軌道耦合SSH 原子鏈的哈密頓量(1)式和其波函數(6)式代入定態薛定諤方程H|ψ〉=E|ψ〉, 并比較方程兩邊瓦尼爾態的系數可得:

式中,Ttotal=MR(MυMw)N-1ML, 其中,

這里, (9)式的推導使用了傳輸矩陣的方法.

最后, 為方便計算透射率, 將晶格常數a和導線上相鄰原子之間的跳躍振幅t0取為1, 并將左、右導線上第j個原子的幾率幅展成平面波的形式:

式中,cσ,rσ和tσ分別表示自旋為σ電子的入射、反射和透射振幅,且|c↑|2+|c↓|2=1.當入射電子的自旋未被極化時,將(14)式代入(7)式—(9)式中, 將r↑,r↓,d1,A,↑,k,d1,A,↓,k,dN,B,↑,k,dN,B,↓,k,t↑和t↓看作8 個未知數, 可以求解出t↑和t↓的數值.相應地, 電子的透射率可以表示為

3 結果與討論

3.1 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的非平庸拓撲邊緣態

通常一個系統的拓撲性質可用纏繞數、Berry相位等描述[26,27].這里, 采用纏繞數描述自旋軌道耦合SSH 原子鏈的拓撲性質.利用周期性邊界條件:dn+1,β,σ=dn,β,σ, 通過分離傅里葉變換, 將自旋軌道耦合SSH 原子鏈的哈密頓量HSSH-SOC變換到動量空間其中,對應的基矢為:|β,σ〉, 其中,β=A,B ,σ=↑,↓.HSSH-SOC(k) 是一個塊非對角矩陣, 其可表示為

其中

由纏繞數的定義[25,26,28], 可以得到自旋軌道耦合SSH 原子鏈的纏繞數為:

由(18)式可知, 纏繞數WSSH-SOC從2 到1 和從1 到0 的相變分別發生在υ=1-|λυ-λw|和υ=1+|λυ-λw|處.對于胞內和胞間無自旋翻轉跳躍過程的情形, 即λυ=λw=0 , 相應的纏繞數WSSH僅可能取1 和0.因此, 當胞內和胞間的電子跳躍含有自旋翻轉過程時, 即其系統的非平庸拓撲邊緣態類型會更加豐富[22-25].

下面, 討論自旋軌道耦合SSH 原子鏈的纏繞數WSSH-SOC與其非平庸拓撲邊緣態的關系.為方便討論, 在本文中, 將胞間自旋守恒的跳躍振幅選取為能量單位, 即w=1.0 , 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的其他參數選取為:λυ=0.1 ,λw=0.5.在圖2(a), (b)中, 給出了原胞數N=10 和N=50 的能譜圖, 發現纏繞數WSSH-SOC=2 的區域對應于自旋軌道耦合SSH 原子鏈具有四重簡并的零能本征態; 而WSSH-SOC=1 的區域對應于該系統具有二重簡并的零能本征態.尤其是, 原胞數越大, 其四重、二重簡并的零能本征態區域(υ的取值范圍)越接近于(18)式給出的范圍, 如圖2(c)所示.但是當WSSH-SOC=0時, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈沒有零能本征態.

圖2 (a) 原胞數目為10 的自旋軌道耦合SSH 原子鏈的能譜圖; (b) 原胞數目為50 的自旋軌道耦合SSH 原子鏈的能譜圖; (c) 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的纏繞數隨著胞內自旋守恒跳躍振幅 υ 的變化圖.自旋軌道耦合SSH 原子鏈的參數選取為: w =1.0 ,λυ =0.1 和λw =0.5Fig.2.(a), (b) The energy spectrum of the SSH chain with spin-orbit coupling for N =10 and N =50 , respectively; (c) the winding number of the SSH chain with spin-orbit coupling as a function of the intra-cell hopping amplitude with the spin-conserving process υ.The parameters of the SSH chain with spin-orbit coupling are chosen as w =1.0 , λ υ =0.1 and λ w =0.5.

圖3 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的本征值在4 個零能附近的本征態波函數在每個原子上的幾率幅分布圖 (a)—(d) υ =0.3 ;(e)—(h) υ =0.6 , 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的其他參數選取為 w =1.0 , λ υ =0.1 , λ w =0.5 ,N =10Fig.3.(a)—(d) The distribution of probability amplitudes of the wave functions of the four nearly zero-energy eigenstates of the SSH chain with spin-orbit coupling: (a)—(d) υ =0.3 ; (e)—(h) υ =0.6.The other parameters of the SSH chain with spin-orbit coupling are chosen as w =1.0 , λ υ =0.1 , λ w =0.5 and N =10.

為進一步確定零能本征態就是零能邊緣態, 這里, 以原胞數N=10 的自旋軌道耦合SSH 原子鏈為例說明.圖3 給出了最靠近零能的4 個本征態波函數在每個原子上的幾率幅分布情況.對于四重簡并的零能本征態, 例如,υ=0.3 , 4 個零能本征態

的波函數ψ4,1,ψ4,2,ψ4,3,ψ4,4在自旋軌道耦合SSH原子鏈最左邊(第1 個)和最右邊(最后1 個)的幾率幅(絕對值)最大, 并且其幾率幅從兩端向中間的原子位置快速衰減, 此即邊緣態的典型特征, 如圖3(a)—圖3(d)所示.另外, 對于二重簡并的零能本征態, 例如,υ=0.6 , 2 個零能本征態的波函數ψ2,1,ψ2,2在各原子上的幾率幅分布同樣具有邊緣態的特性, 如圖3(f)和圖3(g)所示.因此, 纏繞數WSSH-SOC=2的區域對應于自旋軌道耦合SSH 原子鏈的四重簡并邊緣態; 而WSSH-SOC=1 的區域對應于該系統的二重簡并邊緣態[25,28].下面, 從電子輸運的角度, 討論如何區分自旋軌道耦合SSH 原子鏈不同纏繞數的邊緣態.

3.2 入射電子的自旋極化率對電子透射率的影響

為了探尋自旋軌道耦合SSH 原子鏈不同纏繞數邊緣態對其電子輸運的依賴關系, 首先, 研究入射電子的自旋極化率對零能附近電子輸運特性的影響.為方便討論, 假設左、右導線與自旋軌道耦合SSH 原子鏈之間的隧穿耦合僅依賴于傳導電子的自旋極化率并且強度相同, 即tL,↑=tL,↓=tL,tR,↑=tR,↓=tR,tL=tR.考慮3 種情況: 1) 自旋極化率為零, 即|c↑|2=|c↓|2=0.50 ; 2)自旋極化率為0.50, 即|c↑|2=0.75 ,|c↓|2=0.25 ; 3) 純自旋流, 即|c↑|2=1.00 ,|c↓|2=0.

當入射電子的自旋沒有被極化時, 對于纏繞數WSSH-SOC=2 的四重簡并邊緣態情形, 例如,υ=0.3 ,tL=tR=0.0005 , 和纏繞數WSSH-SOC=1 的二重簡并邊緣態情形, 例如,υ=0.6 ,tL=tR=0.005 ,在零能附近, 均觀察到2 個電子共振透射峰, 如圖4(a)和圖4(b)的實線所示.雖然這2 個電子透射峰對應的能量位置能夠與自旋軌道耦合SSH原子鏈最靠近零能的2 個能級一一對應, 如圖5(a)和圖5(b)所示.但是, 對于有限長的自旋軌道耦合SSH 原子鏈, 其纏繞數WSSH-SOC=2 的四重簡并邊緣態對應于零能附近的4 條能級, 如圖5(a)所示.因此, 當左導線入射電子的自旋沒有被極化時, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈在零能附近的電子輸運特性不能用于分辨其不同纏繞數的邊緣態.

圖4 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的電子透射率在不同自旋極化率情形下隨入射電子能量的變化 (a) υ =0.3 ; (b)υ =0.6, 其他參數與圖3 相同Fig.4.The transmission probabilities of the SSH chain with spin-orbit coupling as a function of the energy of incident electron for the different spin polarizations of left lead: (a)υ =0.3 ; (b) υ =0.6.The other parameters are the same as Fig.3.

圖5 (a), (b) 自旋軌道耦合SSH 原子鏈在零能級附近的能譜圖; (c) 自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左導線原子j =-1 , 右導線原子 j =1 耦合的系統在零能級附近的能譜圖, t L =tR =0.1 , 其他參數與圖3 相同.Fig.5.(a) and (b) Energy spectrum of the SSH chain with spin-orbit coupling in the vicinity of the zero energy; (c) energy spectrum of the SSH chain with spin-orbit coupling coupled to the atom of the left lead j =-1 and that of the right lead j =1 in the vicinity of the zero energy, where tL =tR =0.1.The other parameters are the same as Fig.3.

對于入射電子自旋被極化的情形, 在纏繞數WSSH-SOC=2的四重簡并邊緣態區域, 觀察到4 個電子共振峰, 如圖4(a)中的虛線和點線所示; 而在纏繞數WSSH-SOC=1 的二重簡并邊緣態區域, 觀察到2 個電子共振透射峰, 如圖4(b)中的虛線和點線所示.但是, 電子共振透射峰的峰值依賴于入射電子的自旋極化率.例如, 隨著入射電子自旋極化率的增加, 最靠近零能的2 個透射峰的峰值在減小.相應地, 纏繞數WSSH-SOC=2 的四重簡并邊緣態的其他2 個透射峰的峰值在增加.特別地, 當入射電子自旋被完全極化時, 邊緣態對應的透射峰的峰值均為 0.5 , 如圖4 中的點線所示.

因此, 基于自旋軌道耦合SSH 原子鏈的電子輸運特性, 探測其不同纏繞數邊緣態時, 入射電子的自旋極化率不能為零, 即源極左導線選取為自旋極化的鐵磁電極.在后續的討論中, 選取自旋極化率為0.50, 即|c↑|2=0.75 ,|c↓|2=0.25.

3.3 自旋軌道耦合SSH 原子鏈不同纏繞數的邊緣態探測

基于電子輸運性質探測自旋軌道耦合SSH 原子鏈的不同纏繞數邊緣態, 需要研究與其邊緣態關聯的電子輸運特性隨著外界可調物理量的變化.這里, 選取自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線之間的隧穿耦合強度tL和tR為可調變量, 研究與自旋軌道耦合SSH 原子鏈不同纏繞數邊緣態相關聯的電子透射率特性.

當自旋軌道耦合SSH 原子鏈具有纏繞數WSSH-SOC=2 的四重簡并邊緣態(υ=0.3 )時, 對于自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線之間的弱耦合情形, 例如,tL=tR=0.0002 , 在零能附近可以觀察到4 個電子透射峰, 如圖6(a)的實線所示.隨著tL和tR數值的逐漸增大, 最靠近零能的2 個峰值較高的透射峰先被展寬, 如圖6(a)的點線所示; 然后, 演化為1 個較寬的透射峰, 如圖6(b)的實線所示.但是, 其他2 個透射峰的峰值幾乎不變, 如圖6(a)所示.當tL和tR數值繼續增大時, 這個較寬的透射峰將被繼續展寬, 最后與外側2 個透射峰一起, 演變成1 個更大峰寬的透射峰, 直至完全消失, 如圖6(b)所示.對于纏繞數WSSH-SOC=1的二重簡并邊緣態(υ=0.6 )的情形, 當tL和tR的數值較小時, 例如,tL=tR=0.002 , 入射電子在零能附近出現2 個透射峰, 如圖7(a)的實線所示.同樣, 這2 個透射峰將隨著tL和tR數值的增大, 先由2 個峰逐步演化為1 個較寬的透射峰, 如圖7(b)的點畫線和圖7(c)的實線所示.然后, 這個較寬的透射峰在tL和tR數值增大到某一臨界值時消失, 如圖7(c)的點畫線所示.下面, 討論自旋軌道耦合SSH 原子鏈在零能附近電子輸運特性的物理機制.

圖6 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的電子透射率在不同隧穿耦合強度下隨入射電子能量的變化, υ =0.3 , 其他參數與圖3 相同Fig.6.The transmission probabilities of the SSH chain with spin-orbit coupling as a function of the energy of incident electron for different strengths of tunneling coupling,υ =0.3.The other parameters are the same as Fig.3.

對于自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線耦合的情形, 其能級結構將受到電子在導線和自旋軌道耦合SSH 原子鏈之間隧穿耦合強度tL和tR的影響.因而, 隧穿耦合強度tL和tR的大小將影響自旋軌道耦合SSH 原子鏈的電子輸運特性.當tL和tR的數值較小時, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線處于弱耦合區域, 此時, 電子隧穿過程對自旋軌道耦合SSH 原子鏈的能級結構影響較小.因此, 在零能附近, 邊緣態透射峰對應的能量位置與自旋軌道耦合SSH 原子鏈的能級一一對應, 如圖5(a)和圖5(b)所示.但是, 當tL和tR的數值增大到某一值時, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線之間的強電子隧穿過程將對其能級結構產生不可忽略的影響.這里, 通過自旋軌道耦合SSH 原子鏈與其最近鄰的左導線原子j=-1 和右導線原子j=1 耦合的系統, 定性模擬自旋軌道耦合SSH原子鏈在其與左、右導線強耦合情形下的能級結構.由圖5(c)可知, 當υ=0.3 和υ=0.6 時, 在零能附近, 均沒有能級存在.因此, 當tL和tR的數值增大到某一臨界值(大小依賴于υ)時, 電子在零能附近的透射峰全部消失, 如圖6(b)和圖7(c)所示.

圖7 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的電子透射率在不同隧穿耦合強度下隨入射電子能量的變化, υ =0.6 , 其他參數與圖3 相同Fig.7.The transmission probabilities of the SSH chain with spin-orbit coupling as a function of the energy of incident electron for different strengths of tunneling coupling,υ =0.6.The other parameters are the same as Fig.3.

因此, 可以通過調節左、右導線與自旋軌道耦合SSH 原子鏈的隧穿耦合強度tL和tR, 觀察入射電子在零能附近電子透射峰的數目變化, 從而確定自旋軌道耦合SSH 原子鏈的邊緣態纏繞數.

4 結 論

本文研究了自旋軌道耦合SSH 原子鏈的非平庸拓撲邊緣態性質, 并基于零能附近的電子輸運特性探測其不同纏繞數邊緣態的可行方案.發現自旋軌道耦合SSH 原子鏈的邊緣態具有四重或二重簡并度, 相應的纏繞數分別為2 和1.特別是, 對于入射電子自旋被極化的情形, 即源極(左導線)為鐵磁電極時, 將自旋軌道耦合SSH 原子鏈與左、右導線之間的耦合強度由弱到強的改變, 通過觀察零能附近電子共振透射峰的數目變化, 可以探測自旋軌道耦合SSH 原子鏈不同纏繞數的邊緣態.例如, 纏繞數為2 的四重簡并邊緣態的透射峰數目由4 變為0, 而纏繞數為1 的二重簡并邊緣態的透射峰數目由2 變為0.因此, 自旋軌道耦合SSH 原子鏈的上述電子輸運特性為探測其不同纏繞數的邊緣態提供了一種可選擇的理論方案.