隨機數據相干函數譜的歸納處理方法研究

鄒學利，張國強，王剛，張生鵬

隨機數據相干函數譜的歸納處理方法研究

鄒學利，張國強，王剛，張生鵬

（航天科工防御技術研究試驗中心，北京 100854）

研究相干函數譜的歸納處理方法，提高多點多軸振動試驗對實際環境模擬的真實性。通過對相干函數統計分布規律的分析，提出一種基于實測數據的制定相干函數譜的統計容差法，考慮到相干函數對試驗量級影響的特殊性，沒有采用傳統的容差上限分析法，而是對相干函數的容差區間進行分析，并給出相干函數容差上限譜和容差下限譜的制定方法。利用該方法對某型號產品的實測數據表明，該方法有效可行。采用容差區間估計法，降低了相干函數的試驗值與實測值的誤差，達到了提高試驗環境對實際環境模擬真實度的要求。

多軸振動；多點激勵；相干函數；歸納處理；統計容差法

隨著航天產品對可靠性要求的提高，單軸單點激勵試驗由于其特有的局限性，逐漸無法滿足試驗需求。比如試驗推力不足，產品在試驗過程中的模態響應特性與真實環境差異較大，不能模擬多點輸入的耦合特性和相關性等。多軸多點激勵試驗的出現，有效彌補了這些缺陷，因此越來越受到人們的重視。

長期以來，由于多軸振動試驗譜的制定方法還不明確，導致多軸振動試驗還不能很好地模擬實際飛行環境，這嚴重限制了多軸振動試驗的應用與發展。基于實測數據的多軸振動試驗譜的制定過程包括：隨機振動數據的預處理、隨機振動數據的時域轉換、功率譜密度的歸納處理、相干函數的歸納處理。

預處理工作的目的是剔除數據中的虛假趨勢及錯點，并驗證實測數據是否滿足后續分析的基本條件，即各態歷經的平穩隨機過程。因此預處理工作主要有：去除趨勢項[1-4]、錯點剔除[5-6]、正態性檢驗[7]、平穩性檢驗[8]以及各態歷經性檢驗[9]。

隨機振動數據的時域轉換[10]是將各遙測點的線性振動時域數據，轉換為6個自由度的時域振動數據，即參考點的3個線振動和試驗件繞坐標軸轉動的3個角振動，基本分析是在時域用經典機械運動關系實現的。六自由度振動的時域數據是多軸振動試驗譜歸納處理的基礎。

目前，比較成熟的功率譜密度處理方法[11-17]有2種：極值包絡法和統計容差法。極值包絡法的缺點是沒有根據數據樣本數量和分布特性進行統計處理。統計容差法是振動數據歸納從傳統的上限包絡到統計概念進行歸納的突破。

隨機數據的預處理、時域轉換以及功率譜密度的歸納處理方法，很多文獻都進行了大量的研究。相干函數譜的歸納處理方法目前還處于探索階段，未見相關文獻進行過類似的研究報道。文中對此進行了研究，并提出了一種基于統計容差法的相干函數譜的歸納處理方法。

1 兩個隨機變量相干函數的分布特性

互譜是反應兩個信號在不同頻率處相互關聯程度的量。假設現有2個時域信號x和x，其互譜表達式為：

式中：γ為信號x和x之間的相干函數；θ為信號x和x之間的相位差，簡稱相位；S()為信號x的自譜；S()為信號x的自譜；S()為信號x和x之間的互譜。

相干函數是反映信號之間線性關系的函數，如果相干函數等于0，說明兩個信號是完全不相干的，其對應的互譜也必然為0。如果相干函數等于1，說明兩個信號是全相干的，此時的互譜幅值為：

根據式（1），相干函數的定義為：

因此，x和x相干函數的另一種解讀是：x中與x全相干分量的頻譜幅值與x頻譜幅值的比值。很容易證明，x和x的相干函數同樣等于x中與x全相干分量的頻譜幅值與x頻譜幅值的比值。

F分布的極限分布為正態分布[18-19]，且當自由度很大時，其方差很小[20-21]。當很大時，相干函數服從方差很小的正態分布，說明相干函數的取值非常集中，這一點與相干函數的特點（1≥γ≥0）是吻合的。F分布相較于2分布，收斂于正態分布的速度較慢，因此應進行較多的平均次數（增加自由度），才能保證后續分析結果的精確度。

2 相干函數的容差估計

相干函數不同于功率譜密度，它本身是線性相關性的描述，不代表越大越安全。因此不能簡單分析其容差上限譜，還需要對其容差下限進行估計，得到其置信區間。

2.1 相干函數平方的包容區間

對于2個隨機變量，其時域信號服從平穩的正態分布時，則其功率譜密度服從自由度為平均次數2倍的卡方分布。2個隨機變量的相干函數的平方服從自由度（第一自由度和第二自由度相等）為平均次數2倍的F分布。

于是有：

式中：(1?β)/2為標準正態分布的上側分位點，滿足(≥(1?β)/2)(1?)/2，服從標準正態分布。

也就是說2落在區間[?(1－β)/2,+(1?β)/2]以內的概率為，或者說區間[?(1－β)/2,+(1?β)/2]在概率上包含了·100%的數據，因此稱為數據包容概率。一般應取大一些，記：

式中：χ1和χ2分別為數據2的包容概率為的容差上限和容差下限。

2.2 均值μ的容差上、下限估計

于是有：

因此均值在置信度為(1?)的置信上限（容差上限）c1和置信下限（容差下限）c2分別為：

式中：t/2(?1)表示自由度為(?1)的分布的/2分位點。

2.3 標準差σ的容差上、下限估計

于是有：

因此標準差在置信度為(1?)的置信上限（容差上限）c1和置信下限（容差下限）c2為：

2.4 相干函數的容差上、下限估計

相干函數的容差上、下限可表示為：

式（22）可以簡寫為：

式中：22為相干函數的容差系數，表達式為：

相干函數的容差上下限估計為：

式（25）即為相干函數容差上、下限譜的計算公式。

容差上、下限譜都為實測譜，沒有經過平直處理，50%、90%置信度下，相干函數容差限系數與統計自由度的關系如圖1所示。可以看出，在其他條件相同的情況下，容差限系數隨著自由度的增加而變小，隨置信度的增加而變大，隨包容概率的增加而變大。值得注意的是，相干函數在0~1之間。如果計算得到的容差上限大于1，則直接取1即可；如果計算容差下限時，得到根號下的值為負值的話，直接取容差下限值為0。

圖1 不同置信度下容差系數與統計自由度的關系

3 相干函數規范譜的上下限估計

3.1 頻率段劃分

檢驗假設為“譜線1和2的相干函數值屬于同一總體”。因為相鄰譜線都屬于正態分布，所以只要檢驗它們具有相同的均值和方差即可，作如下統計量：

在給定顯著性水平下，可得到各自的接受域為：

如果計算得到的(1,2)和(1,2)分別落在各自的接受域內，則譜線1和2的相干函數屬于同一總體。

3.2 頻段內相干函數平直譜的估計

將頻段內所有譜線的樣本歸并，樣本量等于各譜線樣本量的總和，然后按照統計容差法得到頻段的容差上限，該容差上限即為頻段的平直譜估計。

按式(29)對頻段內的數據進行均值和方差估計：

根據前面的分析，置信度為(1－)，數據包容概率為的容差限系數為：

于是，相干函數在頻段內平直譜的容差上、下限估計為：

在線性坐標系下，用直線將各頻段內的平直譜首尾相連，即可得到置信度為(1－)、數據包容概率為的相干函數規范譜的容差范圍。實際試驗時，只要將相干函數控制在容差范圍內即可。

4 某飛行器遙測數據的多軸試驗譜估計

某飛行器在空軍訓練試驗基地完成了飛行試驗，試驗過程中對飛行器的振動、沖擊環境進行了測量。安裝了4只力學傳感器，共測量了8組參數。利用8組遙測數據進行五自由度（除了繞軸向轉動的自由度以外的5個自由度）多軸振動試驗譜的分析。

發動機工作時間段大約為1.4~15 s左右，10~ 14 s內的振動量級較大，因此將此段數據作為樣本進行分析。經過預處理和時域轉換后，得到五自由度的時域信號，如圖2所示。在此基礎上，進行五自由度的功率譜密度分析以及不同自由度之間的相干函數分析。

圖2 五自由度隨機振動時域曲線

在進行相干函數容差上、下限估計時，首先將如圖3所示的時域數據分成若干段，對不同自由度之間相同時間段的數據進行相干函數估計，并作為樣本，按照前面給出的方法即可得到相干函數的容差上、下限譜。一般來說，樣本數越多，分析結果的可信度越大。但樣本數受到原始數據的長度限制，如果單純追求樣本數而導致每個樣本的數據長度過小，不能進行充分平均，反而影響容差譜的分析精度，因此需要均衡考慮。

相干函數的容差上、下限譜分析結果如圖3所示，包容概率為99%（=0.99），置信度為50%（=0.5）。圖4中，波浪線為樣本曲線，平直的水平線分別為容差上、下限譜。5個自由度相互之間的相干函數共有10個。

圖3 相干函數的容差譜

規范譜分析結果如圖4所示，粗實線為容差上、下限，細實線為對應上、下限的規范譜。從曲線的變化趨勢可以看出，相干函數都應該是平直譜。由于樣本數據的長度較短，平均次數不足，相干函數曲線波動較大，因此在處理規范譜時，沒有考慮曲線的變化，直接按照平直譜進行了處理，這樣的可信度更高一些。取上下限的均值作為試驗設置條件，并將上下限作為容差進行設置，見表1。

表1 相干函數值

Tab.1 Values of coherent functions

5 結語

首先對相干函數的分布規律進行了研究，并證明了相干函數服從F分布。由于F分布的極限分布是正態分布，因此當平均次數足夠時，相干函數將服從方差很小的正態分布。該項研究結果，使統計容差法可以應用于相干函數譜的歸納處理過程。

在相干函數處理的過程中，根據相干函數的特點，沒有采用功率譜密度容差上限譜分析的方法，而是提出了容差區間的概念，即估計相干函數的容差上限譜和容差下限譜，并要求試驗過程中，將相干函數控制在容差區間內。

圖4 相干函數的規范譜

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Research on Inductive Method of Random Data Coherence Function Spectrum

ZOU Xue-li, ZHANG Guo-qiang, WANG Gang, ZHANG Sheng-peng

(China Aerospace Science & Industry Corp Defense Technology R & T Center, Beijing 100854, China)

In order to study the inductive method of coherence function spectrum and improve the authenticity of multi-support and multi-axial vibration test on simulating real environment.By analyzing the statistical distribution law of coherence function, this paper proposes a statistical tolerance method based on measured data to formulate coherence function spectrum. Because of the particularity of the influence of coherence function on the experimental magnitude, the tolerance interval of coherence function is analyzed instead of the traditional method of analyzing upper limit of tolerance, and the method of upper and lower tolerance spectra of coherence function are given.The experimental data of a certain type of product shows that the method is effective and feasible. By using the method of tolerance interval estimation, the error between the experimental value and the measured value of the coherence function is reduced, and the requirement of improving the authenticity of the experimental environment to the actual environment simulation is achieved.

multi-axis vibration; multi-support excitation; coherence function; inductive method; statistical tolerance method

2020-09-03；

2020-10-20

ZOU Xue-li (1973—), Male, Master, Senior engineer, Research focus: environmental and reliability test technology research.

張國強（1984—），男，碩士，高級工程師，主要研究方向為超聲檢測。

Corresponding author：ZHANG Guo-qiang (1984—), Male, Master, Senior engineer, Research focus: ultrasonic testing.

鄒學利, 張國強, 王剛, 等. 隨機數據相干函數譜的歸納處理方法研究[J]. 裝備環境工程, 2021, 18(4): 088-095.

10.7643/ issn.1672-9242.2021.04.013

2020-09-03；

2020-10-20

十三五裝備預研聯合基金（6141B070204）

Fund：United Fund for Equipment Pre-Research(6141B070204)

鄒學利（1973—），男，碩士，高級工程師，主要研究方向為環境與可靠性試驗。

TB114

A

1672-9242(2021)04-0088-08

ZOU Xue-li, ZHANG Guo-qiang, WANG Gang, et al. Research on induction treatment method of random data coherence function spectrum[J]. Equipment environmental engineering, 2021, 18(4): 088-095.