雙曲線標準方程的推導及發現

楊永剛，陳紅霞

（南充市高坪中學，四川 南充 637100）

文[1][2]是關于橢圓標準方程的推導及其發現、領悟的，其實雙曲線的標準方程也可采用其它的方法來化簡.在推導雙曲線的標準方程時，大多數教師都會采用教材[3]中的推導過程（即方法1，后文所說教材、教科書均指[3]），有時教師會提一下直接平方會更復雜一點，并順便否定其他的推導過程.本文采用五種方法來推導雙曲線的標準方程，并試著沿教材編寫者的意圖來分析這樣處理教材的原因.

1 雙曲線標準方程的推導

2 啟示與發現

僅從運算角度看，教材采用方法1的優勢并不是很明顯，那么教材這樣處理的意義何在？通過筆者的教學，有以下發現.

2.1 (教材選修2-1)第55頁探究

題目：點A、B的坐標分別是(-5,0),(5,0)，直線AM,BM相交于點M,且它們斜率之積是，求點M的軌跡方程.

分析：設點M的坐標(x,y)，那么直線AM,BM的斜率就可以表示成x,y的式子,由于它們斜率之積是，因此可以建立x,y之間的關系式，得出M的軌跡方程.啟示與發現：

從中可以看出，雙曲線也可以描述為平面內到兩定點(-a,0),(a,0)(不包括這兩點)的連線斜率的積為定正值的點的軌跡.

2.2 (教材選修2-1)第55頁例5探究

題目：點M(x,y)到定點F(5,0)的距離和它到定直線的距離的比是常數，求點M的軌跡.

化簡得：9x2-16y2=144，即

所以點M的軌跡就是實軸、虛軸長分別為8和6的雙曲線.

啟示與發現：

將③式變形為：

3 結語

方法4在數學史上采用得并不多，現在大多數人根本不熟悉，盡管在推導過程中還得到了焦半徑公式：⑧式.方法5巧妙的利用了平方，從而避免了出現根式，再利用作差，就很簡單得出了雙曲線的標準方程，對學生來說也會覺得自然，在課堂上可以介紹給學生.

不同結構的數學式子具有不同的數學內涵，代表著不同的幾何意義，但它們表示同一圖形——雙曲線.采用方法1不僅讓學生得到了雙曲線的標準方程，還理解了雙曲線的不同描述，教學生完整的了解雙曲線標準方程的含義，對雙曲線各種表述留下較為深刻的印象，這樣也對雙曲線的領悟更深刻.反過來，這也使得單調、繁瑣的運算過程變得生動而有活力，為雙曲線方程的靈活運用打下了堅實基礎.更重要的是讓學生明白，變的是形式，不變的是本質這一科學道理[4].