煤體破碎過程中分形特征與能量耗散規律研究

王 寧，李樹剛，王世斌，張天軍，郭 毅

（1.西安科技大學 安全科學與工程學院，陜西 西安710054；2.陜西煤業股份有限公司，陜西 西安710054；3.西安科技大學 西部礦井開采及災害防治教育部重點實驗室，陜西 西安710054）

隨著煤礦開采深度的加大，采空區沖擊地壓、煤與瓦斯突出等礦山災害問題日益突出[1]。煤礦災害的發生往往伴隨著能量積聚與釋放，而煤體破碎引起的能量耗散可以減小能量積累，安全釋放能量。由于受地下水和通風的影響，巷道煤體往往處于不同濕度環境，水分子對煤體的破碎和能量釋放有很大的影響。因此，研究不同相對濕度下破碎煤樣在壓縮過程中的分形特征與能量耗散之間的規律對煤礦動力災害防治具有重要意義。近年來專家學者對破碎巖石的分形特征和能量耗散做了大量研究。甘德清[2]等通過對鐵礦石的沖擊破碎試驗研究，發現破碎動態強度與能量密度線性相關，分形維數與能量密度為負指數關系。基于對飽和破碎砂巖壓縮過程的能量耗散特征分析，郁邦永[3]等得出當分形維數大于2.1 后，應變能密度急劇增大，應變能密度隨Talbot冪指數增大而減小的結論。除此之外，沈超敏[4]等通過均勻化方法推導顆粒材料破碎能量耗散，在忽略摩擦的基礎建立了球體顆粒壓縮過程的彈性-破碎模型，該模型可預測顆粒破碎過程的級配演化。童晨曦[5]等通過理論研究單一粒徑顆粒材料破碎演化規律認為存在破碎極限，即最終分形維數為2.3 左右。為研究分形維數與巖石力學特性的關系，朱晟[6]等通過對堆石料進行三軸試驗發現分形維數與峰值應力、抗剪強度等力學參數存在二次項關系。關于相對濕度對巖石力學特性的研究，胡松[7]等在進行煤塊單軸壓縮破碎試驗時發現彈性模量與樣品的水分含量有關，水分越高，彈性模量越低。在研究護頂層突發破壞的失穩機制時，夏開宗[8]等發現在采空區環境濕度的作用下，石膏巖的強度和變形參數會大大降低。通過對不同浸水時間處理的破碎煤樣進行壓縮試驗，張天軍[9]等發現隨浸水時間增加，煤樣的承載能力降低，且粒度分布分形維數減小。以上文獻對破碎材料加載過程的能量耗散、分形特征以及濕度的影響進行了廣泛研究，但缺乏能量轉化與效率特征討論。因此，基于分形理論和Einav[10-11]提出的破碎力學理論，通過定量分析煤體顆粒的粒度分布演化，并計算煤體破碎過程的能量耗散率，最終分析煤樣破碎分形過程的能量耗散變化規律。

1 試驗方案與分形理論

1.1 試驗方案

DDL600 破碎巖石力學試驗系統如圖1。主要包括：DDL600 電子萬能試驗機、破碎巖石承載裝置以及計算機采集系統等。加載試驗系統主要由DDL600 電子萬能試驗機開展，該試驗機為伺服儀器，最大載荷6 000 kN，誤差為0.5%。恒溫恒濕試驗箱可控溫度在15～60 ℃，濕度在15%～90%。

圖1 DDL600 破碎巖石力學試驗系統Fig.1 DDL600 broken rock mechanics test system

試驗所用煤樣取自陜西澄合某礦，硬度為0.16，煤巖類型為半亮半暗型，屬貧煤。在實驗室破碎后，利用振動篩進行篩選，得到2.5～5 mm、5～10 mm、10～15 mm、15～20 mm 4 個區間粒徑的破碎煤樣。為探究級配對破碎煤樣壓碎過程分形特征的影響，破碎煤樣粒徑配比采用連續級配理論，即運用Talbol公式對4 種粒徑的破碎煤樣進行配比。取Talbol 冪指數n 為0.2、0.4、0.6、0.8 進行配比，得出4 組不同級配破碎煤樣。為探究相對濕度對破碎煤樣壓碎過程分形特征的影響，將破碎煤樣放置于恒溫恒濕箱內，設置溫度及濕度，其中設置溫度25 ℃下4 個相對濕度（Relative Humidity，簡稱RH）梯度為30%、45%、60%、75%。整個試驗考慮相對濕度、Talbol 冪指數級配對破碎煤樣壓碎過程分形特征的影響，需制備16 組試樣，每組600 g，為方便說明對試樣編號如下：4 個相對濕度記為A、B、C、D，4 個Talbol 冪指數記為1、2、3、4，則相對濕度30%下Talbol 冪指數n 為0.2 的試樣為A-1，以此類推。

試驗為單軸側限壓縮試驗，加載方式為軸向應力控制，應力梯度為2、4、8、12、16 MPa。試驗步驟：①將煤樣放置在側限壓縮缸筒中，調試系統，設定參數；②開始各級應力加載，待到第1 級應力加載結束，進行數據儲存，然后取出煤樣篩分各粒徑并稱重記錄，將煤樣再裝回缸筒中，繼續下一級應力加載；③重復上步驟，完成不同濕度和級配的煤樣破碎試驗，利用Origin 等軟件對試驗結果進行處理。

1.2 分形理論

分形理論最初由Mandelbrot[12]創建并發展，該理論已被廣泛地應用于破碎巖石領域。研究[13-14]表明，由形狀與大小各異的巖體顆粒和孔隙組成的巖體具有分形特性。根據分形的基本定義有：

式中：Ni是特征尺度Ri的客體數目；C 是比例常數；Ri是客體的特征尺度；D 是分形維數。

將式（1）推廣至連續即為：

式中：r 為破碎煤樣粒徑；N（x＞r）為粒徑大于r的破碎煤樣數量。

破碎煤樣的顆粒質量與其粒徑存在以下關系：

式中：M（x＜r）為粒徑小于r 的破碎煤樣質量；s為煤樣顆粒的形狀系數；ρ 為煤樣密度。

結合式（2）和式（3），利用分部積分公式計算得：

當r 為最大粒徑時，式（4）變為：

令破碎煤樣中最小粒徑rmin為0，則破碎煤樣中粒徑小于r 的顆粒質量與煤樣總質量的關系為：

式中：Mmax為破碎煤樣總質量，即600 g；rmax為破碎煤樣中顆粒的最大粒徑。

對式（6）兩邊取對數處理可得：

根據式（7），將試驗數據作對數處理，并線性擬合兩對數數據得出其斜率為3-D，則可計算出破碎煤樣質量-粒徑分布下的分形維數。

2 試驗結果

2.1 煤樣破碎過程質量變化規律

為研究煤樣受應力加載破碎過程質量變化規律，對受載后的破碎煤樣進行篩分，篩分尺寸為0～＜2.5 mm、2.5～＜5 mm、5～＜10 mm、10～＜15 mm、15～20 mm，記錄各尺寸范圍的破碎煤樣質量。由于數據量較大，故以相對濕度RH=30%，n=0.2 為例，不同應力下破碎煤樣各粒徑區間質量分布如圖2。

圖2 不同應力下破碎煤樣各粒徑區間質量分布Fig.2 Mass distribution of broken coal samples in various particle size intervals under different stresses

由圖2 可知：隨加載應力增大，2.5 mm 以下破碎煤樣不斷增加，5 mm 以上破碎煤樣不斷減小，而2.5～5 mm 內的破碎煤樣有較多變化，但總體平緩，分析該原因是大粒徑破碎煤樣在整體結構突出，為首要承壓點，隨應力增大不斷破碎造成質量減小，由此，小粒徑破碎煤樣不斷增加，而2.5～5 mm 范圍內的破碎煤樣在受力過程有大粒徑破碎造成質量增加，也有自身破碎造成質量減小，兩者抵消使得該范圍煤樣質量變化。

濕度對2.5 mm 以下破碎煤樣質量變化影響明顯，當RH=30%和RH=45%時，2.5 mm 以下破碎煤樣質量占總質量不斷增至50%，而RH=60%和RH=75%時，2.5 mm 以下破碎煤樣質量占總質量不到33%，由此可以反映不同濕度下煤樣破碎程度存在差異，且濕度越大煤樣越不易破碎。

2.2 煤樣破碎過程質量-粒徑分布規律

分形維數是表征物體自相似性的度量，適用于描述一切不規則的現象，在巖石工程中能夠定量地反映巖石破碎的程度。煤樣加載破碎過程中軸向應力σ 與分形維數D 之間滿足對數關系，即：

式中：a、b、c 為擬合參數。

不同相對濕度下各級配破碎煤樣的分形維數與應力擬合曲線圖如圖3。

從圖3 可以看出，隨加載應力增大，質量-粒徑的分形維數D 呈現對數增長，且可用式（8）進行擬合。加載應力小于4 MPa，分形維數增長迅速，加載應力大于4 MPa，分形維數增長減緩。在加載初期，相同加載應力下，隨冪指數n 增加，分形維數D 單調減小，但隨加載應力增大，冪指數n 對分形維數的影響逐漸減小，該原因為顆粒破碎過程是趨于自相似分布[15]，即隨應力加載分形維數趨于一致。此外相對濕度對粒徑分布的影響較大，隨相對濕度增加，分形維數D 總體呈減小趨勢，相對濕度45%到60%之間分形維數減小幅度大于其他2 個相對濕度，即存在某個相對濕度，在該值附近分形維數變化幅度大，或者說該值下相對濕度對分形維數影響大。

圖3 不同相對濕度下各級配破碎煤樣的分形維數與應力擬合曲線圖Fig.3 Fractal dimension and stress fitting curves diagram of broken coal samples of different levels under different relative humidity

2.3 煤樣破碎過程能量耗散規律

能量耗散率，即內部耗能占外界輸入能量的比例，可有效反映破碎煤樣在壓實變形過程中所消耗的能量。考慮到顆粒破碎影響因素的復雜性，且顆粒摩擦引起的能量耗散遠低于破碎引起的能量耗散[10]，基于Einav 的破碎力學理論，假設能量耗散主要為顆粒破碎引起的能量耗散，并忽略顆粒摩擦引起的能量耗散，則能量耗散表達如下：

式中：GB為材料應變能常數，J；C 為材料的儲存能量，J。

式中：δe為應變增量，無量綱。

根據式（9）～式（12）可計算得出煤樣各級加載過程中能量耗散值，顯然能量耗散隨加載進行不斷增大，為更好對比各級加載能耗情況，定義能量耗散值與外力做功的比值為能量耗散率K，RH 為30%下能量耗散率K 與σ 的關系曲線如圖4。

圖4 RH 為30%下能量耗散率K 與σ 關系曲線Fig.4 The relationship curves between energy dissipation rate K and σ under RH of 30%

由圖4 可知，破碎能耗率主要為30%～42%，總體隨應力增加而呈現先增后減的趨勢，因為由加載初始到加載中期，煤樣趨于緊密，仍存在大粒徑顆粒破碎，而由加載中期到加載后期，煤樣中低于2.5 mm 的顆粒占總質量的1/3，甚至1/2 以上，根據Tsoungui[16]的“緩沖效應”，該階段以小顆粒破碎為主，能量耗散減小，由此破碎能耗率減小。此外，對比每個相對濕度下能量耗散率發現，隨相對濕度增加，能量耗散率呈現下降趨勢，結合質量分布情況，分析該原因為，濕度增加使得煤樣顆粒破碎減少，從而能量耗散率下降。

2.4 煤樣能量耗散規律與分形維數關系

分形維數D 變化可表征顆粒材料的級配曲線的變化，是影響顆粒材料的本構關系有重要因素，而破碎引起的能量耗散一定程度反映顆粒材料的破壞情況，兩者都與材料破碎相關，因此，分形維數與能量耗散之間存在聯系。

不同相對濕度下能量耗散率K 與分形維數D變化曲線如圖5。

圖5 不同相對濕度下能量耗散率K 與D 變化曲線Fig.5 Variation curves of energy dissipation rate K and D under different relative humidity

基于能量耗散與應力曲線分析，忽略第1 級加載，即分析后4 個加載點，由此可知能量耗散率隨分形維數增加而呈現先增加后減小的趨勢，這是因為顆粒破碎存在1 個臨界狀態，在此之前能量耗散率不斷增加，而到達這個臨界狀態時，顆粒破碎發生改變以致能量耗散率降低，這個臨界狀態就是“緩沖效應”，小顆粒緊挨大顆粒，應力加載下發生破碎的是小顆粒。此外，RH 為30%和45%下的煤樣，能量耗散率在分形維數為2.6 附近達到峰值，而RH 為60%和75%下的煤樣，其能量耗散率的峰值在分形維數為2.3 附近達到。但煤樣B-1、C-4、D-1 在12 MPa 下都出現減小現象，分析該原因為重新裝填對煤樣破碎的偶然影響。

3 結 論

1）煤樣破碎過程表現為5 mm 以上粒徑顆粒破碎使得2.5 mm 以下粒徑增加，且應力加載后期大粒徑顆粒破碎減少。相對濕度的增加會降低小粒徑顆粒含量，說明濕度對煤體破碎有減緩作用。

2）煤樣破碎過程質量-粒徑分布滿足分形特征，分形維數與應力滿足對數關系。分形維數隨加載應力的變化可分為4 MPa 之前的迅速增加階段和4 MPa 之后的緩慢增加階段。

3）能量耗散率的變化范圍為30%～42%，該值隨分形維數增加呈現先增后減的變化趨勢，相對濕度通過降低破碎而減小能量耗散率。