概率積分法參數反演的SAAFC模型

葉 偉 徐良驥 張 坤1

（1.安徽理工大學空間信息與測繪工程學院，安徽 淮南 232000；2.深部煤礦采動響應與災害防控國家重點實驗室，安徽 淮南 232000）

我國存在大量的建筑物、水體和鐵路的“三下”壓煤［1-2］，“三下”采煤造成的建筑物裂縫、傾斜甚至坍塌、鐵路塌陷、水體流失等現象普遍存在，對人民生命財產安全以及生態環境產生了較大影響。因此對煤炭開采引起的地表移動變形進行精確預計顯得尤為重要。煤炭開采地表移動變形預計的常用方法有全曲線擬合法、特征值法、剖面函數法和概率積分法［3］，其中概率積分法仍然是目前開采沉陷預計的主要方法［4-6］。概率積分法因其所用的移動和變形預計公式中含有概率積分而得名，基礎理論是隨機介質理論，又可稱為隨機介質理論法［7］。提高概率積分法參數的反演精度是運用概率積分法進行地表移動變形預計的關鍵。現有的最小二乘法［8］、模矢法［9］等傳統算法適合進行非線性程度較低的模型參數反演［3］；神經網絡算法、遺傳算法、粒子群算法、模擬退火算法等智能優化算法在過去數十年內進行參數反演時取得了較好效果［10-14］，但這些基于生物進化理論的智能優化算法反演的參數存在隨機性［3］。為了提高概率積分法參數的反演精度，有必要引入新的反演方法［15］。

目前關于概率積分法參數反演的流行方法是群智能尋優算法，如人工蜂群算法［16］、果蠅算法［17］、蟻群算法［18］等。人工魚群（Artificial Fish Colony，AFC）算法是中國學者李曉磊等于2002年提出的一種模擬魚類群體行為方式的新型群智能尋優算法［19］。AFC算法求解最優化問題可理解為生成的初始魚群內的各條人工魚分別模擬魚的4種行為（覓食、聚群、追尾、隨機），并比較各行為經過試探后視野內的食物濃度，再用公告牌記錄食物濃度最高的點和當前食物濃度值并選擇食物濃度最高的一種行為繼續執行［20-22］。通過這種尋優方式，可以實現目標問題的最優化求解［19-21］。該算法具有全局尋優、計算迅速、初始值要求低、參數設定容許范圍大的特點［20］。但是由于AFC算法的視野和步長都是給定的固定值，往往制約了魚的活動范圍和行動能力，使得算法存在求解精度偏低、收斂速率慢的局限性［20］。針對AFC算法的收斂速率和求解精度不高的問題，諸多學者提出了不同的改進方法，如通過多條人工魚動態影響某條魚的步長、利用迭代次數動態影響視野和步長的魚群算法、采用混合尋優魚群算法等來提高算法的求解精度和收斂速率［20-22］。本研究以朱集東礦1242（1）工作面為例，采用劉彥君等［23］提出的一種變步長和變視野的改進人工魚群算法，即自適應人工魚群（Self-adaptive Artificial Fish Colony，SAAFC）算法，并結合礦區開采沉陷預計理論，對概率積分法參數進行精確反演。

1 工程實例概況

朱集東礦1242（1）工作面位于-906 m水平西一盤區，開采11-2煤層。該工作面于2013年7月開始回采，到2015年4月地表穩定。工作面傾斜長220 m，實際回采走向長1 292 m，平均采深949 m，煤層平均采厚為1.8 m，煤層傾角3°，可近似視為水平煤層。本研究在1242（1）工作面上方地表沿煤層走向和傾向方向上分別設置了一條走向觀測線和一條傾向觀測線，走向觀測線設置了83個監測點，并以“ML”作為點名進行編號，傾向觀測線設置了61個監測點，并以“MS”作為點名進行編號，傾向和走向觀測線共設置了11個控制點。走向觀測線整體近似平行于工作面走向方向，傾向觀測線則與煤層走向方向成銳角分布，該角度為77°11'。1242（1）工作面形狀及其巖移觀測站布設如圖1所示。

2 模型建立與參數反演

2.1 SAAFC算法

針對AFC算法的局限性，本研究采用SAAFC算法［23］來反演概率積分法參數。SAAFC算法的步長和視野改進思路為：迭代前，計算出的某條人工魚與公告牌（記錄最優行為）中當前狀態最優人工魚的距離VisualF，將其作為當前人工魚的視野，再引入視步系數a（0～1區內的隨機數），令步長為視野的a倍，最后將步長和視野代入到人工魚的4種行為中進行計算［21-23］。在SAAFC算法中，將每條人工魚的步長和視野更改為動態變化并確保隨著迭代次數增加，步長和視野逐漸變短［21-22］。假設某一人工魚用F表示，最優人工魚用Fbest表示，則自適應算法中人工魚的視野和步長可分別表示為［22］

式中，VisualF表示人工魚F的視野；StepF表示人工魚的步長［22］。

人工魚的覓食行為、聚群行為、追尾行為、隨機行為可分別按照下列方法執行：

（1）覓食行為。設當前人工魚的狀態為Xi，在其感知范圍內隨機選擇一個狀態Xj，按照式（3）執行［21，23］。

式中，a為視步系數［22］。

定義f(Xi)為當前狀態人工魚適應度函數，Yi為相應函數值；f(Xj)為異于當前狀態人工魚的適應度函數，Yj為相應函數值。若Yj=f(Xj)>Yi=f(Xi)，則

否則重新選擇Xj，判斷是否滿足前進條件，嘗試Try_Num次后，若仍不滿足，則按規則隨機前進一步：

式中，Xj為異于當前狀態的人工魚；為嘗試Try_Num次選擇后的當前狀態人工魚；為按規則隨機前進一步得到的當前狀態人工魚。

（2）聚群行為。設當前狀態人工魚為Xi，探索當前鄰域內的伙伴數目nf及中心位置Xc。若Yc/nf>δYi′，表明伙伴中心有較多食物且不太擁擠，則朝伙伴的中心位置方向前進一步，按照式（6）執行［21，23］。否則，執行按式（3）規則的覓食行為。

（3）追尾行為。設當前狀態人工魚為Xi，探索當前鄰域內所有伙伴中Xj的Yj最大，則朝Xj的方向前進一步，按照式（4）執行［21，23］。

（4）隨機行為。若人工魚在覓食試探次數達到最大后適應度仍無明顯改善，則執行隨機行為，在定義域內隨機選擇一種狀態人工魚，然后向該方向移動，按照式（5）執行［21，23］。

2.2 參數反演的SAAFC模型

2.2.1 概率積分法預計原理

利用概率積分法進行地表移動變形預計時主要涉及8個參數，分別是下沉系數q，主要影響角正切tanβ，開采影響傳播角θ0，水平移動系數b，下山、上山開采邊界拐點偏移距S1、S2和走向左、走向右開采邊界拐點偏移距S3、S4。其中，拐點偏移距會受到老采空區影響，當工作面靠近老采空區時，拐點偏移距會向老采空區方向偏移，否則，向本工作面內側平移［24-25］。因此在進行概率積分法預計時必然要考慮拐點偏移距的存在，考慮拐點偏移距的工作面稱為計算工作面，計算工作面和實際工作面在幾何上存在一定差異，具體關系如圖2所示［7］。

工作面計算尺寸和實際尺寸之間的關系可表示為［7］：

式中，α表示煤層傾角，（°）；D1和D3表示工作面實際開采寬度和長度，m；L和l分別表示工作面計算寬度和長度，m。

利用概率積分法進行地表移動變形預計時，地表任意點A(x,y)的下沉和沿任意方向的水平移動預計模型如圖3所示［7］。

概率積分法地表變形移動預計公式分別為［7］：

式中，Wmax為充分采動條件下地表最大下沉值，mm；Wmax=mqcosα，其中，m為平均采厚，mm；erf()·為概率積分法中涉及的誤差函數；r為主要影響半徑，m；，其中，為平均采深，m；x為地面任意點A點的橫坐標，m；y為地面任意點A點的縱坐標，m；φ為計算水平移動時任意方向與X軸正向的夾角，（°）；分別是A點位于X軸上任意位置時，有限開采條件下A點下沉和水平移動量，mm；分別是A點位于Y軸上任意位置時，有限開采條件下A點下沉和水平移動量，mm；

將式（11）、式（12）代入式（10）得到：

2.2.2 SAAFC模型構建與參數反演

模型在參數反演中涉及的單條人工魚是指8個概率積分法參數中在定義域內的某一參數值；最優人工魚是指使得目標函數最小的當前生成的8個參數空間的某8個概率積分法參數；魚群規模是指初始狀態時由定義的參數解空間生成的8個參數的總數量；視野是在得到當前最優解狀態后繼續進行尋優過程中，參數總量中存在的概率積分法參數與最優參數之間的差距；步長是在視野基礎上乘以視步系數達到變步長的目的，以實現隨著迭代次數的增加逐漸逼近最優解。覓食、聚群、追尾、隨機4種行為表示所建模型對8個概率積分法參數的4種尋優方式。

模型選取包括下沉系數q、主要影響角正切tanβ、水平移動系數b、開采影響傳播角θ0和拐點偏移距S1、S2、S3、S4在內的8個參數作為最優解輸出。PIP=[q,tanβ,b,θ0,S1,S2,S3,S4]為目標參數空間；Scale為其解空間。概率積分法參數反演問題因此轉換成在給定解空間中搜索能滿足目標函數值最小的一組全局最優解向量［26］。目標函數為

式中，ERROR為目標函數；Wi為實測下沉量，mm；Wi′為預計下沉量，mm；UEWj為實測走向水平移動量，mm；UEWj′為預計走向水平移動量，mm；USNk為實測傾向水平移動量，mm；USNk′為預計傾向水平移動量，mm；m、n、o分別為參與模型反演的下沉點和走向、傾向水平移動點數量。

本研究參考朱集東礦與1242（1）工作面鄰近的工作面巖移觀測站實測數據解算的概率積分法參數，并根據1242（1）工作面的地質采礦條件查閱參考文獻［2］，設定解空間為Scale=[0.51.0；1.5 1.9；0.3 0.6；88 90；22 32；66 76；80 90；135 145]。

基于SAAFC算法的概率積分法參數反演步驟為［22］：

（1）給定基本參數，如魚群規模FN，單條人工魚嘗試的最大迭代次數、視步系數、初始步長、初始感知距離等參數。

（2）初始化包括當前的迭代次數fn為1，在定義域內隨機生成FN條人工魚。

（3）計算魚群個體間各條人工魚的適應度值，用公告牌記錄當前最優的人工魚的狀態。

（4）計算每條人工魚與最優人工魚的距離并作為當前狀態下該條人工魚的視野，并計算步長。

（5）每條人工魚模擬覓食、聚群、追尾、隨機行為，選擇行動后適應度值最優的行為執行。

（6）人工魚模擬一次行為后均要檢驗自身適應度值及最優的人工魚的適應度值，并更新公告牌。

（7）終止條件，fn是否達到最大迭代次數；否則，執行fn=fn+1，轉步驟（4）。

本研究采用MATLAB語言實現基于SAAFC模型的概率積分法參數反演，流程如圖4所示（圖中“N+”表示正整數）。

根據1242（1）工作面概況和建立的SAAFC概率積分法參數反演模型，選取了走向和傾向觀測線共73個監測點的實測數據參與模型反演，其中走向42個監測點，傾向31個監測點。經過反復測試分析得到最優解狀態下的參數設置為初始魚群人工魚數量為200，最大迭代次數為1 500，最大試探次數為450。SAAFC模型反演所得的概率積分法參數如表1所示。

3 結果與討論

3.1 模型精度評定

結合保存完好的點位的高程觀測數據并考慮到平面觀測數據的完整性，選取部分監測點的實測數據用于檢驗模型反演精度。SAAFC模型反演精度主要通過決定系數［27］和泛化性能指標［28］進行綜合評定。

跟據監測點下沉擬合值和擬合誤差值計算決定系數，公式［27］為：

式中，SSR為預計下沉值平方和［27］；SSE為預計誤差平方和［27］。將相關數值代入式（15），計算得RW2=0.930 0，擬合度較好。

采用威爾莫特一致性指數（IWA，Willmott's Index of Agreement）來評定模型的泛化性能，一般認為泛化性能大于0.6時，所求參數具有預計價值［20，28］。

式中，wi為實測下沉值，mm；i為預計下沉值，mm；為實測下沉值平均數，mm，。

將相關數據代入式（16）得到模型泛化性能值為0.971 7，說明模型反演所得參數具有較高的沉陷預計可靠性。

基于SAAFC模型反演的參數（表1）以及概率積分法原理，預計了1242（1）工作面巖移觀測站各監測點的下沉量、水平移動、傾斜變形、曲率變形及水平變形，與相應的實測值的誤差分布如圖5所示。

根據圖5（a）可知：下沉預計效果較好，誤差分布曲線顯示的最大下沉點附近誤差值較大，主要是因為能夠為解空間提供參考的相鄰工作面巖移參數量較少，導致解空間參數范圍設置方面存在偏差；其次是所建模型為了降低復雜度和提高收斂速率并未將工作面地質采礦條件引入模型。其他監測點的下沉預計誤差為0～20 mm，說明整體預計效果較好。根據圖5（b）可知：極少部分監測點水平移動實測值與預計值相差超過100 mm，其他監測點水平移動實測值與預計值誤差均保持在50 mm以內，超過100 mm的異常點處于高大樹干下方，信號遮擋嚴重是主要誤差來源，總體可看出水平移動預計效果較好。根據圖5（c）、5（d）、5（e）可知：傾斜變形、曲率變形及水平變形等3種變形在不考慮極少部分異常點的情況下，整體誤差保持在較低水平，預計效果較好。

3.2 模型反演參數精確性和收斂速率評定

巖移觀測站設計包括若干條走向觀測線和若干條傾向觀測線，因此通過實測數據難以繪制出真實下沉曲面，故將傾向觀測線和走向觀測線各監測點下沉量擬合成空間下沉曲線，構造成空間實測下沉曲面的主輪廓，并與概率積分法預計的下沉曲面進行比較。根據表1得到1242（1）工作面擬合下沉盆地與實測空間下沉曲線如圖6所示。根據圖6（a）中實測空間下沉曲線形狀可看出1242（1）工作面開采傾向并未達到充分采動，走向近似達到充分采動，因此實際下沉曲面應呈現出以走向為長軸的近似橢圓開口的漏斗形狀。圖6（b）中擬合下沉曲面從開口形狀和漏斗形狀整體來看較為接近于上述分析所得的實際下沉曲面，說明擬合效果較好。

在工作面地質采礦條件和參數解空間相同的條件下，分別利用最小二乘法（Least Square Method，LSM）、AFC、SAAFC算法反演的概率積分法參數進行下沉預計和水平移動預計，所得下沉預計中誤差和水平移動預計中誤差如表2所示。3種模型的參數反演收斂速率如圖7所示。

由表2可知：3種算法中，SAAFC算法在下沉預計，走向、傾向方向的水平移動預計中精度都是最高的，未改進的AFC算法的參數反演精度略高于LSM算法。

3種模型在設定迭代次數相同、參數解空間相同、反演參數個數和實測數據相同的條件下反演8個概率積分法參數時，SAAFC算法在迭代1 100次左右達到全局最優解，未改進的AFC算法和LSM算法則需要迭代到1 400次左右才能達到最優解狀態，因此SAAFC算法的參數反演收斂速率較高，AFC算法收斂速率略高于LSM算法（圖7）。

利用3種模型反演所得概率積分法參數進行了1242（1）工作面走向和傾向監測點的下沉和水平移動預計，將預計結果繪制成空間下沉和水平移動曲線，并與實測下沉和水平移動空間擬合曲線進行對比，如圖8所示。

由圖8可知：SAAFC算法反演所得參數的預計結果更接近實測下沉空間曲線，其中傾向下沉預計效果優于走向下沉（圖8（a））；從水平移動空間曲線（圖8（b））來看，走向和傾向的擬合度均較好，按擬合度高低依次為SAAFC、AFC、LSM算法。

4 結 論

（1）結合SAAFC算法的技術優勢構建了概率積分法參數反演模型，該模型有助于克服概率積分法參數反演容易陷入局部最優解的問題而達到全局最優解；在建模時對概率積分法參數反演問題進行了簡化處理，在參數解空間內隨機搜索參數值用于下沉和水平移動預計，并與實測數據進行比較，要求所有誤差平方和最小，從而將參數反演問題轉化為目標優化問題，在構建適應度函數時同時考慮到下沉元素和水平移動元素，使得約束條件更全面、更符合實際需要。

（2）決定系數、泛化性能指標計算結果以及5種變形預計曲線對比分析表明，SAAFC算法的參數反演性能具有較高可靠性，通過SAAFC算法反演的參數預計的下沉曲面較符合實際情況。相對于AFC算法和LSM算法，SAAFC算法反演參數的收斂速率更高，開采沉陷預計精度更高。

（3）在解空間各參數范圍控制方面，未能充分利用朱集東礦1242（1）工作面地質采礦條件建立與概率積分法參數之間的精確量化關系，對模型參數反演精度產生了一定的影響。后續工作中將通過精確控制初始解空間各參數的范圍，修正概率積分法固有誤差來進一步提升概率積分法參數反演精度。