基于雙窗全相位FFT雙譜線插值的諧波和間諧波分析算法

李一然，田立軍，吳 勇，王志強(qiáng)

（1.山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，濟(jì)南 250061；2.和遠(yuǎn)智能科技股份有限公司，濟(jì)南 250101）

隨著電力系統(tǒng)中非線性負(fù)荷的增加，尤其是電力電子裝置的廣泛應(yīng)用，向電網(wǎng)注入大量諧波和間諧波成分，導(dǎo)致電網(wǎng)電能質(zhì)量嚴(yán)重惡化。因此，精確檢測(cè)出諧波和間諧波分量，對(duì)諧波治理和維護(hù)電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行具有重要意義。

目前，應(yīng)用較為廣泛的電力諧波和間諧波檢測(cè)算法包括快速傅里葉變換FFT（fast Fourier transform）[1]、小波分析法[2-3]、Prony算法[4-5]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[6-7]等。其中，F(xiàn)FT算法因其處理速度快和易于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)而成為諧波和間諧波檢測(cè)最常用的算法，但在非同步采樣或非整數(shù)周期截?cái)鄷r(shí)，容易產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，進(jìn)而影響諧波和間諧波的分析結(jié)果。小波變換的檢測(cè)算法具有良好的時(shí)頻特性，然而在諧波分解時(shí)易存在頻帶混疊現(xiàn)象。Prony算法頻率分辨率高，在無噪聲或小噪聲情況下可以準(zhǔn)確估計(jì)諧波和間諧波分量特征指標(biāo)，但此方法對(duì)噪聲信號(hào)非常敏感。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)電力諧波的檢測(cè)精度高，但需要大量的訓(xùn)練樣本和已知精確的基波頻率。目前，多采用加窗插值FFT算法來提高諧波和間諧波的分析精度[8]，合適的窗函數(shù)能有效抑制頻譜泄漏，插值算法可以在一定程度上減小柵欄效應(yīng)造成的誤差。文獻(xiàn)[9-10]通過選擇和優(yōu)化窗函數(shù)與插值公式來提高電力諧波檢測(cè)精度。文獻(xiàn)[11]利用基于遺傳算法的窗函數(shù)參數(shù)優(yōu)化方法，獲得6項(xiàng)5階組合余弦優(yōu)化窗函數(shù)，具有優(yōu)良的旁瓣特性，可以有效減小頻譜泄漏，但隨著窗函數(shù)階數(shù)的增高，主瓣寬度也會(huì)變寬，相應(yīng)的頻率分辨率的損失也會(huì)增大，為保證同樣的頻率分辨率，又需要更長(zhǎng)的時(shí)窗。文獻(xiàn)[12-15]結(jié)合不同的窗函數(shù)對(duì)FFT譜峰值頻點(diǎn)附近的單根或多根譜線進(jìn)行插值修正，諧波和間諧波的檢測(cè)精度隨譜線的增多而有效提高，但譜線增多后算法復(fù)雜程度也會(huì)增加，而且當(dāng)頻譜泄漏嚴(yán)重或頻率分辨率較低時(shí)，相鄰諧波成分相互干擾，諧波附近間諧波分量容易被淹沒和產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象，從而導(dǎo)致檢測(cè)精度降低，尤其是相位誤差較大。

因此，在傳統(tǒng)加窗FFT的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[16]提出了全相位快速傅里葉變換apFFT（all-phase fast Fourier transform）頻譜分析法，該方法和傳統(tǒng)FFT相比具有優(yōu)良的頻譜泄露抑制能力和相位不變性特點(diǎn)[17]。之后出現(xiàn)的apFFT相位差頻譜校正法[18]是把a(bǔ)pFFT和傳統(tǒng)FFT各自相位頻譜分析的結(jié)果引入相位差頻譜校正，文獻(xiàn)[19-20]通過采用性能優(yōu)良的高階窗函數(shù)對(duì)上述apFFT相位差法進(jìn)行改進(jìn)，使apFFT相位差法對(duì)諧波檢測(cè)精度有所提高，但其需要進(jìn)行兩次快速傅里葉變換，運(yùn)算量很大。文獻(xiàn)[21-22]所提出的諧波檢測(cè)算法名稱雖然不同，但原理都是基于傳統(tǒng)FFT比值法改進(jìn)的apFFT比值法進(jìn)行頻譜校正，該方法推導(dǎo)的修正公式簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。但是在校正幅值時(shí)只利用了實(shí)際頻點(diǎn)附近的最強(qiáng)譜線進(jìn)行插值校正，而沒有利用次強(qiáng)譜線的信息，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)不滿足足夠大條件時(shí)，無法保證檢測(cè)結(jié)果的精確性。

基于apFFT良好的性能，本文提出了一種雙窗apFFT雙譜線插值的電力諧波和間諧波分析方法。利用apFFT譜距峰值頻點(diǎn)最近的左右兩根譜線插值校正，并結(jié)合多項(xiàng)式逼近方法推導(dǎo)出頻率和幅值的修正公式，以提高諧波和間諧波的檢測(cè)精度。通過仿真算例對(duì)比驗(yàn)證了該算法在密集頻譜分析、復(fù)雜諧波和間諧波檢測(cè)以及白噪聲影響下的準(zhǔn)確性與有效性。

1 經(jīng)典余弦窗函數(shù)及其特性

在非同步采樣或非整周期截?cái)鄷r(shí)，通過采用性能優(yōu)良的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理，能夠有效抑制FFT過程中的頻譜泄露，其中經(jīng)典余弦窗的使用較為廣泛。經(jīng)典余弦窗函數(shù)[23]為

經(jīng)典余弦窗的頻譜函數(shù)為

將ω=2πk/N代入式（2）可得

常用的經(jīng)典余弦窗的旁瓣特性如表1所示。在選擇窗函數(shù)時(shí)，主瓣寬度、旁瓣峰值和旁瓣衰減速率影響了窗函數(shù)的性能。一般要求窗函數(shù)的主瓣寬度盡可能窄，以提高系統(tǒng)的頻率分辨率，同時(shí)還要求旁瓣峰值電平小且漸進(jìn)衰減速率快，使能量集中在主瓣并較好地抑制頻譜泄漏。然而由表1可知，主瓣和旁瓣的優(yōu)劣不可兼得。因此通常需要綜合考慮性能指標(biāo)，選擇合適的窗函數(shù)[23]。

表1 經(jīng)典余弦窗的旁瓣特性Tab.1 Sidelobe characteristics of classical cosine windows

2 apFFT頻譜分析原理簡(jiǎn)述

apFFT頻譜的分析流程如圖1所示。首先，用長(zhǎng)為(2N-1)的卷積窗wc對(duì)中心樣點(diǎn)x(0)前后的(2N-1)個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)；然后，將間隔為N的數(shù)據(jù)兩兩疊加形成N個(gè)數(shù)據(jù)；最后，對(duì)這N個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT分析，可得apFFT頻譜的分析結(jié)果[17]。

圖1 apFFT頻譜分析流程Fig.1 Flow chart of apFFT spectrum analysis

圖1中卷積窗wc為長(zhǎng)度為N的前窗w1和翻轉(zhuǎn)的后窗w2的卷積，即

若w1=w2≠RN（RN為矩形窗），則稱為雙窗全相位頻譜分析。當(dāng)前窗w1和后窗w2相同且皆為對(duì)稱窗w時(shí)，由時(shí)域卷積定理可得卷積窗函數(shù)wc(n)的離散傅里葉變換DFT（discrete Fourier transform）Wc(ejω)為

式中：W1(ejω)、W2(ejω)分別為前窗w1和后窗w2的DFT。

3 加窗信號(hào)離散頻譜性能分析

3.1 傳統(tǒng)加窗FFT頻譜分析

假設(shè)1個(gè)頻率為f0、幅值為A、初相位為φ0的單一正弦頻率信號(hào)，經(jīng)過采樣頻率為fs的模數(shù)變換，得到離散時(shí)間信號(hào)為

式中，n=0,1,2,…,N-1。用長(zhǎng)度為N的窗函數(shù){w(n)}對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)的離散序列{x(nTs)}加窗截?cái)嗟玫揭唤M新序列xw(n)，即

式中：x(nTs)為x(t)的無限長(zhǎng)采樣序列；Ts為采樣周期，Ts=1fs。

根據(jù)傅里葉變換，加窗截?cái)嗪蟛蓸有蛄袑?duì)應(yīng)的頻譜Xw(ejω)為

式中：X(ejω)為原始采樣序列對(duì)應(yīng)的頻譜；ω0=2πf0fs。

此時(shí)，忽略負(fù)頻點(diǎn)-f0處頻峰的旁瓣影響，在ω=2πk N上離散采樣，并對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，可得正頻點(diǎn)f0附近的DFT的表達(dá)式為

式中：Δf為離散頻率間隔，Δf=fsN；k0為峰值頻點(diǎn)f0對(duì)應(yīng)的譜線號(hào)。

3.2 雙窗apFFT頻譜分析

若圖1中輸入信號(hào)為上述正弦信號(hào)x(n)，apFFT下將采樣區(qū)間擴(kuò)展為(n=-N+1,…,0,1,2,…,N-1)。根據(jù)文獻(xiàn)[16-17]的推導(dǎo)，并結(jié)合apFFT原理和卷積窗的對(duì)稱性，加權(quán)兩兩疊加后的數(shù)據(jù)yw(n)可以表示為

根據(jù)頻域卷積定理和傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)，可得加雙窗截?cái)嗪蟛蓸有蛄袑?duì)應(yīng)的頻譜為

同上述傳統(tǒng)加窗FFT的頻譜分析，并結(jié)合式（5），在正頻點(diǎn)f0附近的離散頻譜函數(shù)可以表示為

比較式（9）和式（12）可知，在雙窗apFFT頻譜中，窗旁瓣譜線相對(duì)于主譜線按照平方關(guān)系衰減，使主譜線更為突出，因此其具有比傳統(tǒng)FFT更好的頻譜泄露抑制能力。此外，傳統(tǒng)FFT譜線上的相位值與其頻率偏移值有關(guān)，而apFFT主譜線上的相位值不受頻偏影響，始終為中心樣點(diǎn)x(0)處的理論初相值φ0，稱為apFFT的“相位不變性”[24]。

4 雙窗apFFT雙譜線校正算法

4.1 apFFT雙譜線插值算法原理

在對(duì)上述正弦信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，由于非整周期采樣容易導(dǎo)致柵欄效應(yīng)，使得實(shí)際apFFT譜峰頻點(diǎn)f0=k0Δf一般不處于離散頻點(diǎn)處，即k0一般不是整數(shù)。設(shè)峰值頻點(diǎn)左右兩側(cè)的譜線分別為k1和k2，則k1＜k0＜k2=k1+1。此時(shí)引入輔助參數(shù)α=k0-k1-0.5，則α的取值范圍為α∈(-0.5,0.5)。假設(shè)這兩條譜線的幅值分別為y1= |Yw(k1Δf)| 和y2= |Yw(k2Δf)| ，即為峰值頻點(diǎn)附近幅值最大和次最大譜線。

當(dāng)N較大時(shí)，式（13）可簡(jiǎn)記為β=t(α)，則其反函數(shù)為α=t-1(β)。在Matlab中利用ployfit函數(shù)對(duì)α=t-1(β)進(jìn)行多項(xiàng)式逼近，可求取α的擬合多項(xiàng)式，進(jìn)而可得諧波和間諧波頻率的修正公式為

為提高諧波和間諧波的檢測(cè)精度，采用雙譜線插值算法選擇apFFT譜緊鄰峰值譜線頻點(diǎn)的左右兩根離散譜線修正幅值，此時(shí)對(duì)k1和k2兩條譜線加權(quán)平均并代入式（12），得到幅值的修正公式為

當(dāng)N較大時(shí)，同樣采用上述擬合函數(shù)多項(xiàng)式逼近法，式（15）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

由于apFFT具有相位不變性，可以直接取apFFT主譜線相位值作為信號(hào)的初相位φ0，無需修正便可得到較精確的測(cè)量結(jié)果。

本文算法的流程如圖2所示。

圖2 算法流程Fig.2 Flow chart of algorithm

4.2 常用窗函數(shù)的插值修正公式

當(dāng)選用一些典型余弦窗函數(shù)時(shí)，由多項(xiàng)式逼近和雙窗apFFT雙譜線插值算法推導(dǎo)出典型窗函數(shù)下頻率和幅值的修正公式。

1）Hanning窗

2）Hamming窗

3）Blackman窗

4）Blackman-Harris窗

5）4項(xiàng)3階Nuttall窗

5 仿真分析

5.1 含密集頻譜成分信號(hào)仿真分析

由于密集頻譜中相鄰諧波及間諧波成分相互干擾，容易產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象。為了檢驗(yàn)本文提出的雙窗apFFT雙譜線插值修正算法對(duì)密集頻譜的檢測(cè)精度，尤其考慮到諧波和間諧波頻率鄰近的情形，選擇采樣頻率fs=1kHz，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024。在本文算法中對(duì)仿真信號(hào)加漢寧雙窗，采用式（18）～（19）頻率和幅值的逼近公式，同時(shí)與漢寧窗雙譜線FFT插值算法[13]進(jìn)行比較。當(dāng)輸入信號(hào)的諧波頻率為150 Hz且間諧波頻率分別為142 Hz、145 Hz和153 Hz時(shí)，對(duì)密集頻譜的檢測(cè)結(jié)果如表2所示。

表2 密集頻譜檢測(cè)結(jié)果Tab.2 Detection result of dense spectrum

以上仿真結(jié)果表明，在頻率密集場(chǎng)合，傳統(tǒng)FFT雙譜線插值法對(duì)鄰近諧波的間諧波的頻率、幅值的檢測(cè)誤差大，而且無法實(shí)現(xiàn)相位校正；而本文提出的雙窗apFFT雙譜線插值算法有較強(qiáng)的頻譜泄漏抑制能力，其譜間干擾程度低于傳統(tǒng)FFT譜，且對(duì)諧波附近幅值較小的間諧波信號(hào)有相對(duì)較高的檢測(cè)精度，滿足國(guó)家間諧波測(cè)量誤差要求。

5.2 復(fù)雜諧波和間諧波信號(hào)仿真分析

為了與傳統(tǒng)FFT雙譜線插值法、apFFT相位差法及apFFT比值法相比較，采用文獻(xiàn)[25]所給出的諧波和間諧波信號(hào)模型，即

這里選取采樣頻率fs=3kHz，實(shí)際基波頻率為50.1 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=1 024，屬于非同步采樣。其中，各次諧波、間諧波的幅值A(chǔ)m和相位φm如表3所示。

表3 仿真信號(hào)參數(shù)Tab.3 Parameters of simulation signal

基于Matlab平臺(tái)，依次采用文獻(xiàn)[13]中的漢寧窗雙峰譜線FFT插值算法、文獻(xiàn)[18]中的漢寧窗雙窗apFFT相位差頻譜校正法、文獻(xiàn)[21-22]中的漢寧窗雙窗apFFT比值頻譜校正法和雙窗apFFT雙譜線插值校正方法進(jìn)行仿真對(duì)比。其中，考慮到漢寧窗在檢測(cè)時(shí)間和檢測(cè)精度上良好的綜合性能，更為保證仿真中與其他算法的窗函數(shù)相同，本文對(duì)仿真信號(hào)加漢寧雙窗。仿真得到的諧波和間諧波的幅值、頻率和相位的相對(duì)誤差如表4～表6所示。

表4 幅值相對(duì)誤差比較Tab.4 Comparison of relative errors in calculated amplitude %

表5 頻率相對(duì)誤差比較Tab.5 Comparison of relative errors in calculated frequency %

表6 相位相對(duì)誤差比較Tab.6 Comparison of relative errors in calculated phase%

由以上仿真對(duì)比結(jié)果可以看出，本文采用的算法在檢測(cè)復(fù)雜諧波和間諧波時(shí)，對(duì)諧波幅值、頻率和相位檢測(cè)的相對(duì)誤差的數(shù)量級(jí)基本保持在10-5%～10-6%、10-7%～10-8%和10-7%～10-9%之間；對(duì)間諧波幅值、頻率和相位檢測(cè)的相對(duì)誤差的數(shù)量級(jí)基本保持在10-3%～10-5%、10-5%～10-7%和10-4%～10-6%之間。本文綜合了雙譜線插值與apFFT算法的優(yōu)點(diǎn)，在對(duì)幅值和頻率的檢測(cè)精度上相比其他3種算法平均提高了1～3個(gè)數(shù)量級(jí)，對(duì)初相位的檢測(cè)精度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)FFT雙譜線插值法。故本文提出的雙窗apFFT雙譜線插值算法具有較好的綜合性能，能夠明顯提高復(fù)雜諧波和間諧波的參數(shù)檢測(cè)精度。

5.3 含白噪聲信號(hào)仿真分析

在實(shí)際電力系統(tǒng)中，諧波和間諧波信號(hào)很容易受到高斯白噪聲的干擾，尤其會(huì)影響到基波分量參數(shù)的分析精度。為檢驗(yàn)雙窗apFFT雙譜線插值算法的抗噪聲能力，選擇信噪比SNR（signal-noise ratio）大小為20～100dB的白噪聲信號(hào)，以10dB為步長(zhǎng)，依次疊加到上述仿真信號(hào)模型中，從而得到白噪聲影響下基波參數(shù)的相對(duì)誤差如圖3和圖4所示。

圖3 白噪聲影響下基波幅值相對(duì)誤差Fig.3 Relative errors of fundamental amplitude under white noise

圖4 白噪聲影響下基波相位相對(duì)誤差Fig.4 Relative errors of fundamental phase under white noise

由圖3和圖4可以看出，各種算法的檢測(cè)精度隨著不同強(qiáng)度的白噪聲的干擾而相應(yīng)改變。當(dāng)噪聲強(qiáng)度較大（SNR＜40 dB）時(shí)，雙窗apFFT雙譜線插值修正算法對(duì)基波幅值和相位的檢測(cè)精度有所降低，但相對(duì)誤差都分別保持在0.001%和0.003%之內(nèi)，仍然可以滿足相應(yīng)檢測(cè)精度標(biāo)準(zhǔn)要求。隨著SNR的增加，以上4種算法對(duì)信號(hào)參數(shù)的檢測(cè)誤差都在不同程度上減小。當(dāng)噪聲強(qiáng)度較小（SNR＞60 dB）時(shí)，采用雙窗apFFT雙譜線插值算法的抗噪聲干擾能力最強(qiáng)。此時(shí)基波幅值的相對(duì)誤差小于1.45×10-5%，相位的相對(duì)誤差小于8.44×10-5%，檢測(cè)誤差較小且保持在穩(wěn)定狀態(tài)。故本文提出的雙窗apFFT雙譜線插值算法能夠有效降低高斯白噪聲對(duì)幅值和相位檢測(cè)的影響，且在抗白噪聲干擾方面較其他算法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)語

針對(duì)目前常用的加窗插值FFT諧波和間諧波檢測(cè)算法存在的不足，本文提出了一種雙窗apFFT雙譜線插值算法。該算法對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行加雙窗apFFT變換后利用峰值頻點(diǎn)附近的左右兩根譜線進(jìn)行頻率和幅值的插值修正，并利用多項(xiàng)式擬合簡(jiǎn)化計(jì)算過程和推導(dǎo)出常用窗函數(shù)下的實(shí)用修正公式。通過仿真對(duì)比分析，該方法在密集頻譜分析、復(fù)雜諧波和間諧波的高精度檢測(cè)及克服白噪聲污染等方面具有較高的應(yīng)用價(jià)值，可為以后的電力諧波的治理和補(bǔ)償提供可靠的信息。