基于無模型自適應控制算法的機械臂軌跡跟蹤控制

張 磊 ，孫會來

(1. 天津工業大學機械工程學院 天津300387；2. 天津市交通運輸綜合行政執法總隊 天津 300304)

1 無模型自適應控制算法(MFAC)

工業機器人目前正經歷著歷史發展的黃金時期，無論是工業機應用還是前沿技術研究都處于進步與發展過程中，工業機器人在汽車制造、電子產業、金屬加工、生活日化用品等行業已經得到廣泛應用。

中國電子學會整理了國際機器人聯合會(IFR)的數據，如圖1所示，2014年以來工業機器人市場正以8.3%的速度增長，自2018年以來中國、日本、美國和德國等主要國家占比超3/4，而我國是亞洲最大的銷售市場，未來幾年將繼續保持高速增長。

在機械手科研領域中離不開機械手仿真與編程技術的研究，其一方面可對機械手控制算法進行驗證，另一方面能夠在機械手優化設計上提供一個穩定的平臺。對于機械手控制系統的研究離不開動力學模型的分析和運動學模型的分析，動力學模型輸出為各軸的力矩τ，重點在于控制每個軸驅動力。運動學模型輸出為各個軸的位移角度θ，重點在于調控每個軸運動的角度。從上述分析可知，在機械臂研究領域，一定是運動學模型和動力學模型相互配合的，在控制方面使用運動學模型配合動力學模型完成相應研究工作。目前大多機械手的控制器設計都是基于動力學模型進行設計與研究的，而現實的控制中往往存在諸多的不確定性，首先不存在完美的數學模型，其次系統擾動不可控較難建模，最后測量傳感器也存在誤差。基于上述原因，本文使用無模型自適應控制算法(MFAC)作用到機械臂的被控對象中，進行相關的控制研究工作[1]。無模型自適應控制(Model Free Adaptive Control)是一種基于數據驅動的非線性系統控制算法[2]，是一種利用在線數據信息的控制策略，該策略針對離散化的非線性系統使用了一種新的線性化方法。該方法是一種不基于被控對象模型信息的控制器，只利用在線數據信息將每個點進行線性化處理，得到相應偽偏導數(PPD)、偽梯度(PG)、偽雅可比矩陣(PJM)，最后利用準則函數獲得控制量u (k)。通過軌跡跟蹤效果分析可知，該控制器控制效果比傳統的PID控制器更具有抗擾性和抗抖震等優勢。

2 機械手模型的建立

運動學模型的目的在于利用笛卡爾空間的坐標系[3]，建立位姿和各關節之間的角度關系，由于運動學模型無法在控制方面起到核心作用，只是對各個軸的角度進行統一設計，將角度位置指令傳遞給各個運動軸。而控制系統主要目的是調節各個軸的驅動力矩，從而能夠獲得理想的軌跡跟蹤[4]，所以更關注動力學模型的建立。一個典型的二自由度的機械手如圖2所示，本文以二自由度的機械手為被控對象，進行控制器設計與分析，為后續多自由度機械臂軌跡規劃問題奠定基礎。

考慮一個多關節機器人，其動態性能可由二階非線性微分方程描述：

其中：q∈Rn表示關節角位移量；M (q ) ∈Rn×n表示機械臂的慣性矩陣；C (q ,q˙ )q˙∈Rn表示離心力和哥氏力；G(q)∈Rn表示重力項；表示摩擦力矩；τ∈Rn表示控制力矩；τd∈Rn表示外加擾動。

針對被控對象1式，選用單關節機械手系統和雙關節機械手系統，其數學模型如下。

單力臂機械手數學模型：

其中：dτ為摩擦模型。摩擦模型為庫侖摩擦和粘性摩擦模型，即：

其中：1k和k2為正的常數。

雙關節機械手動力學模型：

其中：

試驗組的包裝質量、消毒質量、收回及時度、供給及時度等護理質量評分與對照組進行比較，對照組均低于試驗組，差異有統計學意義（P＜0.05）。見表1。

上述依據機械臂動力學模型列寫出單力臂和雙關節機械手的動力學模型，是機械臂控制系統的研究基礎。

3 無模型自適應控制器

MFAC系統數據的處理與人工智能機器學習控制算法具有很大區別，不需要利用大量數據對模型進行訓練，通過不斷改進神經網絡層間的權值關系優化自身策略，實時在線數據進行動態線性化的處理，并且具有不需要被控對象模型信息的特點。無模型自適應控制器繼承了線性系統中自適應控制器的研究成果，在每時每刻對非線性系統進行動態線性化，其對于系統未知模型和不確定的擾動項具有良好的魯棒性能，極大增強了控制系統對干擾或參數變化等的魯棒性(rubustness)。無模型自適應控制包括非線性系統的動態線性化、參數估計、控制律3部分。非線性系統的動態線性化方法有緊格式(CFDL)、偏格式(PFDL)、全格式(FFDL)3種，對應衍生出基于3種線性化的無模型自適應控制方法[5]。

3.1 SISO非線性系統的CFDL-MFAC控制算法

考慮如下的離散時間SISO非線性系統：

其中：ny，un分別表示系統輸出y(k)和系統輸入u(k)的未知階數，f(…)表示非線性函數。對于SISO系統：

假設 1，系統式(5)對有界的可控輸入信號存在有界的期望輸出y*(k+1)；

假設 2，f(…)關于控制輸入u(k)的偏導數是連續的；

假設3，系統(5)是廣義Lipschitz的，即對任意k當 Δ（u k）≠0時，滿 足其 中，且b＞0。

定理 1：對非線性系統(5)，滿足以上三點假設，當 Δ（u k）≠0時，存在偽偏導數量φ(k)，可將系統(3-1)描述為如下的緊格式動態線性化模型：

SISO無模型自適應控制方法的控制率可描述如下：

上列式中：μ，λ是權重因子。η，ρ是步長序列，且η∈(0，1)，ρ∈(0，1)。

3.2 MIMO非線性系統的CFDL-MFAC控制算法

其中：u (k ) ∈ Rm,y (k )∈Rm分別表示k時刻系統的輸入和輸出；ny、nu分別是兩個未知的正整數；是 未 知 的非線性向量值函數。

且對于任意時刻的k，Φ(k)是有界的。

MIMO無模型自適應控制方法的控制率可描述如下：

4 機械臂軌跡跟蹤仿真

本文通過對單力臂和雙關節機械手控制系統的MATLAB仿真實驗驗證，以實現機械臂高精度軌跡跟蹤控制的目的[6]。機械臂控制原理如圖3所示。

為了更好地進行仿真驗證，本文針對同一被控對象分別采用PID控制器和MFAC控制器進行仿真控制效果對比。

4.1 PID控制系統的仿真設計

PID控制借助其容易理解、控制簡單、理論背景比較完善等優點，是一種基于誤差消除誤差的控制策略[6]，當誤差產生后再利用控制量消除偏差。PID控制只需要進行簡單的數學計算后將積分、比例、微分的結果進行加權求和得到相應的控制效果。PID控制原理框圖如圖4所示。

PID控制算法的雙軸機械臂正弦跟蹤Simulink仿真如圖5所示，將上述(4)式雙關節機械臂被控對象用S-function表示出來，其雙關節機械臂參數為：

示波器觀測軸1和軸2的輸出與期望之間的關系，軸1、軸2分別相對應軌跡跟蹤輸出，如圖6、圖7所示，仿真環境：采樣時間為100 s，控制器參數目標位置指令均采用

4.2 無模型自適應控制算法控制系統仿真設計

采用緊格式線性化無模型自適應控制算法就上述式(2)單力臂機械手系統進行仿真[7]，其被控對象參數為控制器參數為ρ= 0.56，λ=0.02，η=1。基于無模型自適應控制的單關節機械臂Simulink仿真框圖如圖8所示，軌跡跟蹤輸出如圖9所示。

采用緊格式線性無模型自適應控制算法對上述式(4)雙關節機械手進行仿真，如圖10所示。相關機械臂參數已描述，此處不再贅述。其控制器參數兩個軸的軌跡跟蹤輸出分別如圖11和圖12所示。

利用仿真實驗對比分析，通過圖6、圖7發現PID控制二自由度機械臂在關節空間運動時，存在抖震現象，未能精確地跟蹤期望軌跡[8]；而通過圖9、圖11和圖12可以看出無模型自適應控制器對于單關節和雙關機機械手均能有很好的跟蹤性能。表明該控制器能有效提高軌跡跟蹤的精度，運行軌跡平穩，消除系統抖震，收斂更快，魯棒性較強，控制品質相比于傳統PID有較為明顯的改善[9]。

5 總 結

本文在研究過程中基于拉格朗日方法分別針對單軸和雙軸機械手系統建立其動力學模型，并分別介紹了基于緊格式的單輸入、單輸出和多輸入、多輸出的無模型自適應控制方法。在MATLAB/Simulink中分別進行了無模型自適應控制器和PID控制器的軌跡跟蹤仿真工作，從控制效果可以看出，無模型自適應控制器能夠使軌跡運行平穩，效果優于傳統PID控制，說明該控制策略對于控制機械臂軌跡跟蹤問題具有良好的效果。■