可變參數的有理分形插值曲線建模

張欣悅，雷一凡，劉培培，包芳勛，張云峰

可變參數的有理分形插值曲線建模

張欣悅1，雷一凡1，劉培培2，包芳勛1，張云峰2

(1. 山東大學數學學院，山東 濟南 250100；2. 山東財經大學計算機科學與技術學院，山東 濟南 250014)

為了有效地處理復雜真實現象中的不規則數據，提出一種利用有理分形插值進行分形曲線建模的方法。首先，基于傳統的具有形狀參數的有理樣條，構造了一類具有函數尺度因子的有理迭代函數系統，并定義了有理分形插值曲線。然后，研究了有理分形曲線的一些重要性質，包括光滑性、穩定性以及收斂性。最后，估計了有理分形曲線計盒維數的上下界。提出的可變參數的有理分形插值推廣了傳統的單變量有理樣條，適用于擬合不規則數據或逼近具有連續但不規則導數的函數，具有更好的靈活性和多樣性。數值實例和曲線建模表明，該方法不僅在視覺效果上明顯優于Bézier插值，B樣條插值以及基于多項式的分形插值方法，而且在均方根誤差的數值對比中也具有顯著優勢。

有理分形插值；函數尺度因子；不規則數據；分析性質；曲線建模

由迭代函數系統(iterated function system，IFS)生成的分形插值是處理復雜真實現象中高度不規則數據的一種強大而有效的工具。目前，許多研究對分形插值曲線做出貢獻。例如，文獻[1-5]討論了分形插值函數(fractal interpolation functions，FIFs)和遞歸分形插值函數(recursive fractal interpolation functions，RFIFs)的構造。單變量FIFs的一些重要性質已經被探討，包括分形維數、中心變差、光滑性、穩定性和擾動誤差等[6-9]。進一步的，FIFs被推廣到Hermite分形插值和樣條分形插值[10-12]。近年來，一些文獻詳細討論了正數據、單調數據和凸數據等形狀數據的保形問題[13-15]。

在以上的研究中，FIFs的垂直尺度因子僅限于常數。這種分形插值具有明顯的自相似特征，很難對自相似性較小的不規則數據進行精確擬合或逼近。于是，為了有效處理復雜真實現象中的不規則數據，研究可變參數分形插值是一個重要的課題。然而，迄今為止這一問題還沒有得到很好的探索，只有少數文獻對此進行了研究。文獻[16]給出了可變參數FIF的顯式函數形式；文獻[17]在普遍使用的IFS的基礎上提出了一類可變參數的FIFs，并研究了FIFs的一些分析性質。本質上，以上研究均是基于多項式的帶有函數尺度因子的分形函數，其生成的分形函數具有結構簡單，易于計算的優點，但不夠靈活。相對于多項式函數而言，有理函數能夠更有效、更靈活地描述復雜的真實現象。對于具有可變尺度因子的有理分形插值已經引起了學者們的關注。文獻[18]基于經典有理三次樣條，提出了一類光滑有理樣條分形插值函數(rational spline fractal interpolation functions，RSFIFs)，很好地逼近了原始函數；文獻[19]在經典的有理三次樣條基礎上構造了1連續的RSFIFs，實現了對分形曲線的約束和保單調；文獻[20]使用具有函數尺度因子的有理IFS生成了分形插值，估計了計盒維數的上下界。目前，對于可變參數有理分形插值的研究已經成為一個重要的課題。

本文利用可變參數單變量有理FIFs構造了一種新的分形插值曲線，研究了有理FIFs的光滑性、穩定性和收斂性，并估計了有理分形曲線計盒維數的上下界。本文所研究的單變量有理插值能夠提供插值對象的形狀屬性和導數的分形性，比現有插值方法更具靈活性和多樣性。

1 分形曲線IFS

目前最常用的FIFs基于以下IFS，即

2 函數尺度因子有理分形插值曲線的構造

本文提出一種帶有函數尺度因子的分形曲線。可以將這類分形曲線視為由有理擾動曲線得到的有理插值曲線的“分形擾動”。

類似于式(4)的結構，擾動基函數B()可以描述為

本文在式(4)和式(5)下改進的IFS。定義

3 有理FIFs的性質

3.1 有理FIFs的光滑性

在適當的假設下，由IFS生成的有理分形曲線是光滑的，且下面的定理成立。

證畢。

進而可得

3.2 有理分形曲線的穩定性

3.2.1 有理FIFs基函數表達式

有理FIFs基函數表達式如下

由式(20)，式(16)定義的FIFs具有如下形式

3.2.2 有理FIFs穩定性分析

插值函數的穩定性是評價插值函數質量的一個重要指標，其衡量插值函數對插值數據擾動的抗干擾能力。

證明：由式(16)可知

由式(20)和式(22)可得

同樣有

證畢。

3.3 有理FIFs的收斂性

由式(20)和式(22)可得

因此，可以確定上界

另外，通過三角不等式和式(7)，有

因此，只需要討論式(32)右邊的第二個和。

根據式(33)可得

其中，

根據式(37)可得

其中，

基于以上分析，可以得出定理3。

3.4 有理分形曲線的計盒維數

曲線的分形維數是曲線不規則性的度量，其描述了曲線的粗糙度。下面將研究上述有理分形曲線的計盒維數。

由引理2，每個區間I內的最大范圍為

其中，

且

因此，根據式(49)，可得

因此，可以推導出

因此

通過式(49)，可得

因此

證畢。

注2.當垂直尺度因子函數s()為常數s時，吸引子的計盒維數如下：

4 數值實例和曲線建模

4.1 數值實例

表1 插值數據

表2 表1的擾動數據

圖1 具有不同函數標度因子的有理分形曲線((a)分形曲線j1(x)；(b)分形曲線j2(x)；(c)分形曲線j3(x)；(d)分形曲線j4(x))

圖2 具有不同函數標度因子的光滑有理分形曲線((a)分形曲線j1(x)；(b)分形曲線j2(x)；(c)分形曲線j3(x)；(d)分形曲線j4(x))

圖3 有理分形曲線在插值數據擾動下的穩定性((a)誤差曲線；(b)誤差曲線； (c)誤差曲線；(d)誤差曲線)

4.2 自然對象建模

算例中，采用有理分形插值模型擬合海岸線。本文從NOAA獲取數據(北緯：5°32.88096?至5°59.12388?；東經：5°2.02002?至5°33.25278?)。圖4(a)為海岸線原始曲線。圖4(b)，圖4(c)和圖4(d)分別為Bézier曲線，B樣條曲線和基于多項式分形插值的曲線建模結果。圖4(e)為本文提出的有理分形插值函數曲線建模結果。從圖中可以看出，與其他3種方法相比，本文方法能更有效地保留局部細節。

圖4 不同方法在海岸線上的比較((a)原始曲線； (b) Bézier；(c) B-spline；(d)基于多項式的分形插值； (e)本文方法)

另外，本文采用均方根誤差(root mean square error，RMSE)作為真實值與擬合值的誤差分析指標，其是預測值與真實值偏差的平方與觀測次數比值的平方根，對誤差反映敏感，能夠很好地反映出測量的精密度。不同方法的誤差值大小見表3。從表中可以看出，與Bézier，B樣條以及基于多項式的分形插值相比，本文方法誤差數值明顯低于另外3種方法，進一步印證了可變參數的有理分形插值優于其他插值方法。

表3 不同方法的誤差值

4.3 機翼形狀建模

本文提出的有理分形插值函數不僅可以對分形數據集進行擬合與逼近，還可以描述一般數據集(當s()滿足定理1的條件時，相應的FIFS是光滑的)。以用于飛機工業的機翼形狀設計為例，其數據來源UIUC翼型坐標數據庫。圖5(a)為原始曲線，圖5(b)~(d)分別為Bézier插值，B樣條插值和基于多項式分形插值的曲線擬合結果，圖5(e)為本文提出的可變參數的有理分形插值曲線擬合結果。圖像右上方紅色矩形框與右下方藍色矩形框為局部放大圖像，整體擬合圖像表明，4種方法均能實現對一般數據集的擬合，但從局部細節可以看出，與本文方法對比，Bézier插值曲線擬合效果差異較大，基于多項式分形插值的曲線擬合效果光滑度相對不足，B樣條插值曲線擬合效果與本文方法差異不大，說明B樣條插值與本文方法在擬合簡單的一般數據集時均具有良好的效果，由此看出，本文方法在對一般數據集進行擬合和逼近時具有較好的競爭力，可有效地用于曲線的幾何建模。

圖5 不同方法的機翼形狀擬合曲線((a)原始曲線； (b) Bézier；(c) B-spline；(d)基于多項式的分形插值； (e)本文方法

5 結束語

本文提出了一種有理分形插值曲線的構造方法。在經典的有理樣條插值的基礎上，構造了一種具有函數尺度因子的單變量有理FIFs。所建立的有理FIFs在一定的條件下是光滑的，能夠更加逼近原始函數，并且對插值數據的攝動性保持了良好的穩定性。

有理FIFs通過選擇合適的IFS參數值，可以提供插值函數的形狀特性和導數的分形性，相較于傳統的非遞歸插值函數更適合逼近具有連續不規則導數的函數。此外，函數尺度因子的存在為選擇合適的插值曲線提供了更多的靈活多樣性。實驗結果表明，本文提出的可變參數的有理分形插值曲線在處理實際問題中具有很好的應用價值。

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Curve modeling using rational fractal interpolation with variable parameters

ZHANG Xin-yue1, LEI Yi-fan1, LIU Pei-pei2, BAO Fang-xun1, ZHANG Yun-feng2

(1. School of Mathematics, Shandong University, Jinan Shandong 250100, China; 2. School of Computer Science and Technology, Shandong University of Finance and Economics, Jinan Shandong 250014, China)

In order to deal with irregular data from complex real phenomena, a constructive approach to fractal curves was proposed using the rational fractal interpolation. First, based on the traditional rational spline with shape parameters, we constructed one class of rational Iterated Function Systems (IFS) with function vertical scaling factors. Rational IFSs were hyperbolic and rational fractal interpolation curves were defined. Then, some important properties of rational fractal curves were investigated, including smoothness, stability and convergence. Finally, lower and upper bounds in the box-counting dimension of rational fractal curves were estimated. The presented rational fractal interpolation with variable parameters generalized the traditional univariate rational spline, which is more suitable for fitting irregular data or approximating a function with continuous but irregular derivatives, and is more flexible and diversiform. Numerical examples and curve modeling show that this method can not only significantly outperform the Bézier interpolation, B-spline interpolation, and polynomial-based fractal interpolation methods in terms of visual effects, but also display prominent advantages in numerical comparison of root mean square errors.

rational fractal interpolation; function scaling factor; irregular data; analytical property; curve modeling

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021020245

A

2095-302X(2021)02-0245-11

2020-09-10；

10 September，2020；

2020-10-23

23 October，2020

國家自然科學基金項目(61672018，61972227)；山東省自然科學基金項目(ZR2019MF051)；山東省重點研發計劃(2018GGX101013)

National Natural Science Foundation of China (61672018, 61972227); Natural Science Foundation of Shandong Province (ZR2019MF051); Key Research and Development Project of Shandong Province (2018GGX101013)

張欣悅(1996-)，女，河北唐山人，碩士研究生。主要研究方向為CAGD、圖像處理。E-mail：812426204@qq.com

ZHANG Xin-yue (1996-), female, master student. Her main research interests cover CAGD and image processing. E-mail：812426204@qq.com

包芳勛(1968-)，男，山東濟南人，教授，博士。主要研究方向為函數逼近、分形、CAGD。E-mail：fxbao@sdu.edu.cn

BAO Fang-xun (1968-), male, professor, Ph.D. His main research interests cover function approximation, fractal and CAGD. E-mail：fxbao@sdu.edu.cn