單向復合材料直梁的自由振動研究

黃 欣，郜浩然，郝 穎

（華北水利水電大學土木與交通學院，河南鄭州 450045）

1 微分方程

采用高性能纖維增強復合材料部分代替傳統金屬材料，是建筑物和汽車實現輕量化有效途徑。復合材料在變形過程中存在著拉伸—扭轉、彎曲—扭轉，以及不同面內變形之間的互相耦合。傳統的 Euler-Bernoulli 梁理論和 Timoshenko 梁理論[1、2]基本上都延用平截面假定，忽略梁橫截面的翹曲變形的影響。本文除了考慮空間軸線的曲率和扭率、經典的軸向、剪切變形和轉動慣量的影響之外，另外計入扭轉有關的翹曲變形的影響，推導得到單向復合材料矩形截面梁由14 個微分方程組成的運動微分方程來研究單向復合材料直梁的耦合振動。數值算例的結果證明方程的有效性，如圖1 所示。

圖1 矩形截面單向復合材料梁

設單向復合材料的柔度矩陣S 和剛度矩陣C=S-1，得到單向復合材料的應力應變關系。根據廣義虎克定律和經典層合板理論可得 σ2=σ3=σ4=0，得到：

假定梁只發生伸長、扭轉以及彎曲，則其位移場為：

單向復合材料矩形截面桿自由扭轉的圣維南扭轉翹曲函數為：

假定梁在外力作用下，作頻率為ω 的簡諧振動。則梁的運動微分方程為：

矩陣中各元素如下所示。本文采用改進的Riccati 傳遞矩陣法求解固有頻率。

表1 高寬比變化對梁固有頻率的影響（L=1m）

表2 梁長變化對梁固有頻率的影響

2 數值算例

兩端固支的單向復合材料矩形截面直梁，E1=40E2，E2=E3=2Gpa，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，μ=0.25，ρ=1500kg/m3，截面 2a×2b，梁長為L。

算例2.1：令L=1m，表1 展示了高寬比a/b 對梁固有頻率的影響，如圖2、圖3 所示。

圖2 不同高寬比對梁固有頻率的影響

算例 2.2：令 2a=0.1m，2b=0.15m，表 2 展示了梁長 L 對梁固有頻率的影響。

圖3 不同梁長度對梁固有頻率的影響

由表2 可知，隨著梁長度的增大，梁的固有頻率隨之減小，翹曲效應的影響也隨之增大。