也證“平面平行運動剛體彈性碰撞前后相對速度大小相等”

王孝廠

(浙江省溫州中學 浙江 溫州 325014)

貴刊2020年第7期刊登了陳鐵松老師的《平面平行運動的剛體彈性碰撞問題的探討》[1]一文，文中作者證明了兩個做平面平行運動的自由剛體“發生碰撞過程中，若發生碰撞的兩點在碰撞力的方向上相對速度大小相等”，則“碰撞前后系統動能不變”[1]．

本文將從彈性碰撞出發，直接證明做平面平行運動的自由剛體和受理想約束的剛體發生彈性碰撞過程中，發生碰撞的兩點在碰撞前后沿碰撞力的方向上相對速度大小相等．

1 兩個自由的剛體發生彈性碰撞

如圖1所示，有兩個光滑剛體甲、乙，C1和C2分別為兩剛體的質心，其速度分別為vC10和vC20，兩剛體繞質心轉動的角速度分別為ω10和ω20．兩剛體在某一時刻發生彈性碰撞，剛體甲上的A1點與剛體乙上的A2點接觸，并且剛體甲對剛體乙的沖量為I．由于沒有摩擦，沖量I方向應沿過兩剛體接觸點的公法線(圖1中PQ)．假設碰撞后剛體甲、乙質心的速度分別為vC1和vC2，兩剛體繞質心轉動的角速度分別為ω1和ω2，對過質心垂直紙面的軸的轉動慣量分別為J1和J2．

圖1 自由的剛體發生彈性碰撞

對剛體甲、乙分別應用質點系動量定理[2]得

-I=m1vC1-m1vC10

(1)

I=m2vC2-m2vC20

(2)

在碰撞過程中剛體的質心對地有加速度，設某時刻剛體甲質心加速度為aC1，在剛體甲的質心系中，剛體甲中任意質量為Δmi的質元都會受到慣性力ΔFi=-ΔmiaC1[2]．質元受到慣性力與重力Gi=Δmig相類似，重力的等效作用點為質心(重心)，容易得到剛體甲各部分所受慣性力的等效作用點為剛體甲的質心，同理可得剛體乙在質心系中各部分所受慣性力的等效作用點為剛體乙的質心．所以在兩剛體的各自質心系中慣性力對質心的力矩為零．在兩剛體各自的質心系中，對剛體甲、乙分別應用質點系角動量定理[2]得

rC1A1×(-I)=J1ω1-J1ω10

(3)

rC2A2×I=J2ω2-J2ω20

(4)

由柯尼希定理[2]及碰撞過程的機械能守恒得

(5)

通過移項可化為

(6)

利用矢量點乘的性質可化為

(7)

將式(1)～(4)代入式(7)可得

I·(vC10+vC1)+(rC1A1×I)·(ω10+ω1)=

I·(vC2+vC20)+(rC2A2×I)·(ω2+ω20)

(8)

利用矢量混積的性質[2]

(a×b)·c=b·(c×a)

可將式(8)化為

I·(vC10+vC1)+I·[(ω10+ω1)×rC1A1]=

I·(vC2+vC20)+I·[(ω2+ω20)×rC2A2]

(9)

整理得

I·(vC10+ω10×rC1A1)-I·(vC20+ω20×rC2A2)=

I·(vC2+ω2×rC2A2)-I·(vC1+ω1×rC1A1)

(10)

式(10)除以I可得

(11)

令A1點碰前、碰后沿PQ的速度分量v10n和v1n，則

令A2點碰前、碰后沿PQ的速度分量v20n和v2n，則

所以式(11)即為

v10n-v20n=v2n-v1n

也就是碰撞前后沿碰撞力的方向上相對速度大小相等．

2 自由剛體與受約束剛體的彈性碰撞

在第1種情況中若剛體乙上的O點被光滑的槽限制在直線MN上運動，如圖2所示，則在兩剛體碰撞的過程中，光滑槽可能會對剛體乙施加一沖量，設為I1，I1垂直于MN．

圖2 自由剛體與受約束剛體發生彈性碰撞

對剛體甲、乙分別應用質點系動量定理得

-I=m1vC1-m1vC10

(12)

I+I1=m2vC2-m2vC20

(13)

慣性力在質心系中對質心的力矩為零，所以在兩剛體的質心系中，對剛體甲、乙分別應用質點系角動量定理得

rC1A1×(-I)=J1ω1-J1ω10

(14)

rC2A2×I+rC2O×I1=J2ω2-J2ω20

(15)

由柯尼希定理和碰撞過程的機械能守恒得

(16)

將式(12)～(15)代入式(16)，化簡可得

I·(vC10+ω10×rC1A1)-I·(vC20+ω20×rC2A2)=

I·(vC2+ω2×rC2A2)-I·(vC1+ω1×rC1A1)+I1·(vC2+ω2×rC2O)+I1·(vC20+ω20×rC2O)

(17)

由于O點只能沿著MN運動，可得

I1·(vC20+ω20×rC2O)=0

(18)

I1·(vC2+ω2×rC2O)=0

(19)

將式(18)、(19)代入式(17)得

也就是v10n-v20n=v2n-v1n，即碰撞前后，沿碰撞力的方向上相對速度大小相等．

若剛體乙只能繞O點無摩擦地定軸轉動，則在碰撞過程中剛體乙也會受到一個過O點的沖量I2，則可認為光滑槽沿著與I2垂直的方向，所以v10n-v20n=v2n-v1n也顯然成立．

由上證明可見，平面平行運動的剛體不管是否受到理想約束，在彈性碰撞過程中，碰撞前后沿碰撞力的方向上相對速度大小相等，利用此關系列出的方程為一次方程，可以代替能量守恒與動量、角動量相關的關系式一起求解碰撞之后剛體運動各參量．