論“平均安培力”快速解題的依據(jù)及可靠性

張 旭 農(nóng)艷鴦

(柳州市第二中學(xué) 廣西 柳州 545001)

1 引言

在高考中采用不同方法和手段分析、處理信息進(jìn)而準(zhǔn)確而又快速地解決問題是學(xué)生應(yīng)該要掌握的科學(xué)思維．教師作為學(xué)生的引導(dǎo)者，在學(xué)生已經(jīng)掌握的情況下，如何引導(dǎo)學(xué)生去探究發(fā)現(xiàn)一些快速可靠的解法也應(yīng)該是廣大中學(xué)物理教師的一門必修課．這里我們從2020年柳州市二模的一道選擇題引入，討論一下安培力在哪些情況下可以用“平均值法”解題．

圖1 例1題圖

D.右端電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為mgh

答案：A，C.

解：由題意得

故選項(xiàng)A對(duì)．

針對(duì)選項(xiàng)C，設(shè)導(dǎo)軌進(jìn)入磁場(chǎng)速度為v，從靜止釋放到進(jìn)入磁場(chǎng)前由動(dòng)能定理有如下解法.

常規(guī)答案解法：

(1)

(2)

(3)

令

得

平均值解法：

(4)

(5)

得

2 討論與證明

如圖2所示，假設(shè)光滑導(dǎo)體棒ab以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒電阻為R，其余電阻不計(jì)，求安培力與導(dǎo)體棒ab運(yùn)動(dòng)位移的關(guān)系．

圖2 證明用圖

證明：

方法1：微積分證明

(6)

(7)

設(shè)t時(shí)刻安培力為

(8)

t時(shí)刻向前的位移

(9)

由式(8)、(9)可知

即

(10)

方法2:采用高中方法證明

設(shè)t時(shí)刻，位移為x，安培力為F

得

(11)

則安培力

(12)

以上兩種證明結(jié)果是一致的，都說明該過程的變力安培力與位移成一次函數(shù)關(guān)系．如圖3所示,在這種一次函數(shù)圖像中，我們很容易用三角形或者梯形面積求出該過程中變力安培力做的功．也可以從表1中v-t圖像和F-x圖像對(duì)比理解．類比v-t圖像我們得到了如式(14)瞬時(shí)速度與位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系，式(15)做功與位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系，式(16)做功與瞬時(shí)速度以及位移的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

圖3 F-x成一次函數(shù)關(guān)系

表1 v-t圖像與F-x圖像對(duì)比

續(xù)表1

3 勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)

如圖4所示，當(dāng)光滑導(dǎo)體棒受到一個(gè)變力F從靜止開始向右做加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)．此時(shí)導(dǎo)體棒做勻變速運(yùn)動(dòng)，速度v=at與時(shí)間t之間本身就是線性關(guān)系，很明顯這種情況下安培力能用“平均值法”這種快速解法思想解題．

圖4 導(dǎo)體棒做勻加速運(yùn)動(dòng)

4 不存在線性關(guān)系的情況

5 平均值方法解題應(yīng)用拓展

【例2】如圖5所示，兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，左邊連接定值電阻R=2 Ω,導(dǎo)軌間距L=1 m．整個(gè)裝置處在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2 T.一質(zhì)量m=1 kg、電阻r=1 Ω的金屬棒放在導(dǎo)軌上，在外力F的作用下以恒定的功率P=12 W從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)距離x=3 m時(shí)金屬棒達(dá)到最大速度，此時(shí)撤去外力，金屬棒最終停下，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)．求：在這個(gè)過程中，外力的沖量大小？

圖5 例2題圖

解法1：金屬棒速度最大時(shí)，所受合外力為零，即

BiL=F

感應(yīng)電流

根據(jù)電功率的計(jì)算公式

P=Fvm

聯(lián)立解得

vm=3 m/s

設(shè)外力的沖量為I沖，作用時(shí)間為t，根據(jù)動(dòng)量定理可得

I沖-BiLt=mvm-0

其中

所以有

運(yùn)動(dòng)距離

x=vt=3 m

代入數(shù)據(jù)解得I沖=7 N·s

解法2：設(shè)F作用時(shí)間為t1，位移為x，撤去F后運(yùn)動(dòng)到停的時(shí)間為t2位移為d.

在撤去F階段，由

(17)

得

(18)

對(duì)全程列式,由

(19)

【例3】如圖6所示，電阻不計(jì)，間距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置．導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻．以導(dǎo)軌的左端為原點(diǎn),沿導(dǎo)軌方向建立x軸,導(dǎo)軌處于豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．一根電阻也為R,質(zhì)量為M的金屬桿垂直于導(dǎo)軌置于x0處,不計(jì)金屬桿與導(dǎo)軌間的接觸電阻,現(xiàn)給金屬桿沿x軸正方向的初速度為v0,金屬桿剛好能運(yùn)動(dòng)到2x0處,在金屬桿的運(yùn)動(dòng)過程中( )

圖6 例3題圖

答案：A，B，D.

這里我們只討論選項(xiàng)D.

解法1：對(duì)于選項(xiàng)D，由

令

(20)

當(dāng)滑到1.5x0處時(shí)，設(shè)速度為v，時(shí)間為t1

-BiLt1=mv-mv0

(21)

解法2：

(22)

(23)

由式(23)有

(24)

式(24)代入式(22)得到方程

(25)

或v=-v0(舍去)

解法3：采用表1中式(14)直接代入求解

當(dāng)位移為x0時(shí)速度為零

(26)

(27)

6 總結(jié)

綜上所述可以得出，安培力“平均值法”在解題中有方便快捷的作用．對(duì)于其正確性，主要是基于:第一，當(dāng)安培力隨位移成一次線性函數(shù)關(guān)系成立時(shí)；第二，平均值本就是一種等效替代的思想．文中總結(jié)了3種情況下安培力“平均值法”可以應(yīng)用：第一，導(dǎo)體棒只受到安培力做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)；第二，有外力，但導(dǎo)體棒做勻變速運(yùn)動(dòng)時(shí)；第三，涉及用到安培力的沖量時(shí)．“平均值法”為學(xué)生在解決安培力的選擇題提供了又快又準(zhǔn)的解決方法．