井口究竟變大還是變小？

賈艷萍 江舟軍 洪和森

(浙江省舟山中學 浙江 舟山 316021)

1 問題的提出

在學習人教版選修3-4“光的反射和折射”時，學生做到這樣一道題目：如圖1所示，井口大小和深度相同的兩口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，兩井底部各有一只青蛙，則( )

圖1 題圖

A.水井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

B.枯井中的青蛙覺得井口大些，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

C.水井中的青蛙覺得井口小些，晴天的夜晚，枯井中的青蛙能看到更多的星星

D.兩只青蛙覺得井口一樣大，晴天的夜晚，水井中的青蛙能看到更多的星星

此題正確答案為選項A，然近一半的學生選擇了選項B．為了了解學生錯誤的原因，筆者請幾位選擇選項B的學生說出自己的解題思路．其中一典型的解釋是這樣的：學生畫了一光路圖(圖2)，認為AB長度是枯井中的青蛙看到的井口真實的大小，折射光線反向延長線上A′B′的長度為水井中的青蛙看到的井口大小，因此枯井中的青蛙覺得井口大些．

圖2 學生作光路圖

筆者發現一些權威性的資料中也是這樣解釋的．問題是這種作圖法畫出的A′，B′是A，B的像嗎？井口究竟是變大還是變小呢？下面筆者利用物理規律結合數學方法推導水井中的青蛙看到的井口位置和實際井口位置的關系．

2 理論推導

2.1 構建模型

如圖3所示，設A為井口左邊緣一點，根據折射定律，兩條折射光線反向延長線的交點A′即為A點的像．假設兩條折射光線均能進入青蛙的眼睛，由于青蛙的瞳孔很小，因此，M，N兩點的距離必須非常小，這樣兩入射角大小差別很小，我們記為γ和γ+dγ．兩折射角的差別也很小，我們記為θ和θ+dθ[1～4]．為了討論方便，取空氣的折射率為1，水的折射率用n表示．光在水中的臨界角用C表示，則

A點距水面的高度為h，A′距水面的高度為h′，A和A′的水平距離用d表示(圖3)．

圖3 構建模型

2.2 數學推導

由折射定律可知

(1)

nsinθ=sinγ

ncosθdθ=cosγdγ

得

(2)

由幾何關系知

MN=h[tan(γ+dγ)-tanγ]=

h′[tan(θ+dθ)-tanθ]

得

(3)

由式(1)、(2)、(3)得

討論：由已知信息可知，h′>0，說明A′在A的上方，如圖3所示．當θ=0時，h′=nh，即青蛙在A點正下方觀察到A′在其正上方(n-1)h位置．當θ增大且小于臨界角C時，h′也將增大，即當青蛙從A點正下方向右移動時，它看到的A′點將上移．

由幾何關系知

d=h′tanθ-htanγ=

化簡得

討論：由已知信息可知，d>0,說明A′在A點左側，正如所作圖像．當θ=0時，d=0，即A′和A點在同一豎直線上．當θ增大且小于臨界角時，d也將增大，即當青蛙從A點正下方向右移動時，它看到的A′點將向左側移．

2.3 結論

從以上討論可知，青蛙從水面下方看井口左邊緣A點時，看到的A′點在A點上方且向左偏離觀察者．同樣道理，青蛙觀察井口右邊緣的B點，看到的像B′點在B點上方且向右偏離觀察者．由此可知，水井中的青蛙看到的井口大小A′B′大于枯井中青蛙看到的井口大小AB．

2.4 釋疑解惑

學生之所以像圖2那樣分析問題，實際上是犯了“想當然”的錯誤．知道利用折射定律分析問題，但是又沒有規范地根據成像原理畫光路圖．在關鍵時刻，憑自己的感覺找到了自認為正確的答案．從對物理問題的認識角度分析，學生混淆了青蛙眼中井口大小和天的大小的區別．青蛙眼中天的大小取決于視角，枯井中青蛙的視角為α，水井中青蛙的視角為β(圖4)．因為α>β，所以枯井中青蛙看到的天比較大．雖然枯井中的青蛙覺得天比較大，但是，在晴朗的夜晚，它只能看到光線3到光線4范圍內的星星，而水井中的青蛙看到光線1到光線2范圍內的星星．因此，水井中的青蛙看到的星星更多．

圖4 青蛙的視角

3 實驗驗證

3.1 實驗器材

水下攝像機，內徑高8.70 cm的飯桶，手機，刻度尺，水等．

3.2 實驗過程

步驟一：打開攝像機自帶的wifi,用手機連接其wifi．將水下攝像機放在飯桶中心，打開其拍照功能．打開手機中GoPlus Cam軟件，調整攝像機的位置，確保看到的井口是圓形的，并在屏幕中心．最后打開手機的錄屏功能．

步驟二：開始往飯桶中加水，感受到井口的大小有明顯變化時，測量水的高度約為3.40 cm．繼續往桶中加水，大約水的高度為8.00 cm時，停止加水．錄屏結束．

步驟三：借助暴風影音的截屏功能，截取未加水時，水高約3.40 cm時和水高約8.00 cm時的圖片．

3.3 實驗結果

未加水、水高3.4 cm、水高8.00 cm時截取的圖片如圖5所示.

圖5 截取的圖片

3.4 實驗結論

圖5為視頻中截取的3幅圖片，對比可以發現桶口的大小隨著水位的升高，逐漸變大．參考天花板上燈的位置，可以看出桶外的視野也逐漸變大．因此選項A是正確的．

4 總結

要想解決因為“想當然”導致的錯誤，最有效的方法就是規范化做題．物理課堂上，不僅要熟練掌握每個知識點，對于教師強調的如何規范化答題也要作為重點內容．這樣才能提高解題能力和應試能力，才能削弱所謂的“物理題一聽就懂，一做就錯”的魔咒．另一方面，物理有趣的原因之一就是實驗，因此，對于一些易錯題，如果可以做實驗的話，教師應該通過實驗突破學生的錯誤點．不僅效果好，而且還可以增強學生學習物理的興趣．