基于功能尺寸最短路徑的零件尺寸標注模式的設計

王友利，劉 飛，董洪全，王曉慧

（1.太原科技大學機械工程學院，山西太原030024；2.重慶長安汽車股份有限公司汽車工程研究院，重慶401133）

機械設計中零件的幾何尺寸、尺寸的標注模式和尺寸公差直接影響機械產品的精度及制造成本。除了確定零件的幾何尺寸和公差外，國內外學者對零件尺寸標注的合理性和正確性也作了大量研究。如：Dori等［1］通過對尺寸標注問題的求解，提出了2條驗證尺寸標注方案合理性的依據；Yue等［2］提出了基于零件CSG（constructive solid geometry，構造立體幾何）模型的尺寸標注方法，對零件表面的形體和邊界之間的關系進行分析，得到需要標注的尺寸；Chen等［3‐4］提出了基于特征提取的機械零件和圓柱面位置尺寸的智能標注方法；賀金華等［5‐6］對零件尺寸標注的完整性、合理性進行了探討；張樹有等［7］將非關聯尺寸間的干涉處理問題轉化為干涉偶集中所有尺寸狀態向量的轉換問題，并在此基礎上，實現非關聯尺寸的自適應處理；于海燕等［8］提出了一個快速標注尺寸的方案，實現了工程圖樣的智能化尺寸標注；陸國棟等［9‐10］引入分治思想，提出在三維空間分治中解決尺寸標注的合理性、完整性問題，在二維空間分治中解決尺寸標注的正確性、清晰性問題，并研究了由“一圖”“一樹”“二鏈”構成的面向工程圖樣的智能理解關系模型；張聞雷等［11］提出了零件尺寸自動標注算法和知識表達法，設計開發了零件尺寸自動標注系統。在利用裝配尺寸鏈進行零件尺寸標注方面，很多學者也進行了研究。如：劉嘉敏等［12］提出了一種建立機械裝配的有向功能圖的建模方法，為零件尺寸的自動標注提供數據信息；曾堅陽等［13］根據尺寸的作用，對尺寸功能語義進行分類，建立了三維尺寸模型以實現尺寸標注的合理性和完整性；王恒等［14］通過定義裝配性能特征，利用圖論，構建了特征與尺寸、裝配約束關系與裝配關系的傳遞圖，獲取了尺寸鏈圖和尺寸方程，為零件尺寸標注模式的建立提供了新思路；王曉慧等［15‐16］提出用裝配尺寸式和裝配尺寸路徑圖來描述裝配尺寸與尺寸標注模式的關系；王友利等［17］提出建立裝配尺寸的最短路徑圖來確定零件尺寸的標注模式和尺寸模型。

以上研究對零件尺寸標注設計起到了一定的作用，但未建立零件尺寸標注與機械產品功用及整體尺寸之間的關系，導致產品的精度由于零件尺寸基準選擇不合適或零件尺寸公差設計不合理而達不到要求。本文基于零件尺寸與裝配體尺寸之間的關系，建立裝配尺寸聯系路徑圖和最短路徑生成樹，以期實現裝配體中所有零件尺寸標注的合理設計。

1 裝配尺寸聯系路徑圖和功能尺寸最短路徑生成樹理論

機械產品中零件尺寸可能的標注模式有多種。假設某零件有n個端面，若把每一個端面映射為圖的一個頂點，把每一個尺寸標注映射為圖的一條邊，那么按照完備圖生成樹理論，這個零件可能的尺寸標注模式有 nn‐2種［18］。

零件尺寸標注、裝配尺寸聯系路徑圖和最短路徑生成樹如圖1所示。假定零件軸向有5個面，將每個面用1，2，3，4，5表示為完備圖的一個頂點，如圖1（a）所示，則生成樹的數量為53=125棵，零件可能的尺寸標注模式有53=125種，其中某一種可能的標注模式如圖1（b）所示。

圖1 零件尺寸標注、裝配尺寸聯系路徑圖和最短路徑生成樹示意圖Fig.1 Schematic diagram of part dimension marking,assembly dimension connection path diagram and the functional dimension shortest path spanning tree

裝配體由多個零件裝配而成。零件之間通過裝配基準面發生關系。裝配體中零件的尺寸關系也是通過裝配基準面產生的。假設某一個裝配體由零件A、B、C、D 組成，其中零件A有4個面，零件B有5個面，零件C有5個面，零件D有6個面，將每個零件的每個面用數字加零件代號表示，如1A、2A、3B、5C等，則每個零件的可能標注模式如圖1（c）中的方框所示。裝配體軸向正常定位，2個零件之間只有1個裝配基準面。假定3A面和4B面是零件A和零件B的裝配基準面，則將這2個零件的裝配基準面簡化為1個面，在面上標上該2個零件的代號，則該裝配基準面表示為3A4B。同理，假定零件4A面和5D面是零件A和零件D的裝配基準面，則對應的裝配基準面表示為4A5D。通過裝配基準面，將零件尺寸與裝配尺寸建立關系，如圖1（c）所示。圖中包含了裝配體中所有零件的面，也就包含了每個零件所有可能的尺寸標注模式，同時蘊含了裝配體中所有尺寸關系，故將此圖稱為裝配尺寸聯系路徑圖。裝配尺寸聯系路徑圖清晰地顯示了裝配體中各個尺寸的形成路徑與零件尺寸可能標注的關系。

將裝配體中滿足功能約束關系的尺寸，即滿足零件強度和剛度要求的尺寸、工藝凸臺的尺寸以及裝配精度和運動等所要求的空間尺寸，定義為裝配體的功能尺寸［15］。從滿足裝配體功能出發，基于裝配尺寸聯系路徑圖，可以找到唯一一條確定的滿足裝配體某一功能尺寸的最短路徑。假定零件5C面與2D面之間的尺寸為該裝配體功能要求第1的尺寸，則從圖1（c）中可搜索出一條唯一確定的最短路徑。因此若能獲得一棵滿足所有功能尺寸最短路徑的生成樹，則可獲得零件最優尺寸標注模式。然而裝配體中功能尺寸眾多，不可能保證所有功能尺寸的形成路徑都最短，因此，應按裝配精度要求高低的順序，盡可能使各功能尺寸對應的形成路徑最短，則此時生成的最短路徑樹其實是一棵多目標多約束的最短路徑生成樹，如圖1（d）所示。該最短路徑生成樹確定了裝配體中所有零件尺寸合理的標注模式。

2 基于最短路徑理論的零件功能尺寸最短路徑生成樹的建立

為描述裝配體中各個面的特征，用數字表示裝配體每個面在水平方向從左至右的序號，用字母表示零件的代號，采用數字加字母的標識符來表示裝配體中的各個面［15］。如4AD表示一個裝配基準面，4表示序號，AD表示這個面既屬于零件A，又屬于零件D。圖2所示為對開齒輪箱的裝配簡圖，其中，A與B為上下對稱的結構相同的零件。只研究水平方向的尺寸，因此在要素描述中省略零件B，則最終的要素描述如裝配圖上所示，其裝配尺寸聯系路徑圖如圖3所示。

圖2 對開齒輪箱裝配簡圖Fig.2 Schematic diagram of assembly of opposite gearbox

圖3 對開齒輪箱裝裝配尺寸聯系路徑圖Fig.3 Assembly dimension connection path diagram of oppo‐site gearbox

按照裝配尺寸聯系路徑圖和最短路徑生成樹理論，確定零件尺寸標注的功能尺寸最短路徑生成樹的建立方法有2種。下面詳細介紹對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的2種建立方法。

2.1 功能尺寸最短路徑生成樹的第1種建立方法

對開齒輪箱裝配體在水平方向有13個面，則功能尺寸的數量為12個。對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的第1種建立方法如圖4所示。首先，為保證齒輪軸和軸套的軸向間隙，選取該裝配體精度要求最高的功能尺寸8C9E（文中功能尺寸采用表示面的2個標識符組合來表示）。基于其裝配尺寸聯系路徑圖，搜索出功能尺寸8C9E的一條最短路徑，如圖4（a）所示。接著，按照裝配體的精度要求，選取出排序第2的功能尺寸3C5CD，基于尺寸聯系路徑圖，搜索出3C5CD的一條最短路徑，添入圖4（a），得到圖4（b）。然后，選取精度要求排序第3及之后的功能尺寸，按照上述操作依次將對應路徑添加到上一路徑樹中，分別如圖4（c）至圖4（f）所示。當確定了功能尺寸8C11C，搜索其最短路徑，并添加到上一路徑樹圖（圖4（f））中時，最短路徑樹圖（圖4（g））已經包含了其裝配尺寸聯系路徑圖中所有的頂點。這樣，最短路徑生成樹已經建立，無需后續功能尺寸的路徑搜索。

圖4 對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的第1種建立方法Fig.4 The first method of setting up the functional dimension shortest path spanning tree of opposite gearbox

2.2 功能尺寸最短路徑生成樹的第2種建立方法

對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的第2種建立方法與第1種基本相同，不同的是第2種方法將標注零件總長尺寸的頂點直接連接作為已有存在路徑，然后基于裝配尺寸聯系路徑圖，按照功能尺寸精度要求排序和最短路徑問題求解，進行功能尺寸的最短路徑搜索，從而生成一棵能直接確定零件尺寸標注模式的最短路徑生成樹。對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的第2種建立方法如圖5所示。首先，基于對開齒輪箱的裝配尺寸聯系路徑圖，將表示零件總長尺寸路徑的頂點連接，即將同一零件最小序號和最大序號的頂點連接起來，將圖3中相應的頂點1A和13A，3C和11C，2D和5CD、9E和12E直接連接，如圖5（a）所示。接著，基于圖3和圖5（a），將各總長路徑作為功能尺寸最短路徑樹的已有路徑，按照功能尺寸精度要求的排序和功能尺寸最短路徑的搜索方法，依次建立其功能尺寸的路徑樹，直到包含其裝配尺寸聯系路徑圖中的所有頂點，如圖5（f）所示。此后無需后續功能尺寸的確定和最短路徑的搜索，最短路徑生成樹已經建立。

圖5 對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的第2種建立方法Fig.5 The second method of setting up the functional dimension shortest path spanning tree of opposite gearbox

3 零件尺寸標注模式的確定

零件尺寸的標注應考慮標注習慣、加工條件等因素。零件總長尺寸一般須標注，即將表示零件總長尺寸的2個頂點（即同一字母的最大和最小序號）直接連接，圖5所示的最短路徑生成樹已經將總長頂點連接，圖4所示則沒有連接總長尺寸，須修正。其修正過程基于以下2個規則［15］：一是尺寸鏈的不封閉性；二是功能尺寸的高精度優先。圖4（g）所示的最短路徑生成樹的修正如圖6所示，其最終確定零件尺寸標注的功能尺寸最短路徑生成樹如圖6（c）所示。

圖6（c）所示的修正后的最短路徑生成樹與圖5（f）所示的最短路徑生成樹是同一顆樹，可以確定零件唯一合理的尺寸標注模式。路徑樹中包含的同一字母的2個頂點所對應的2個要素即為一個設計尺寸，所有含相同字母的要素的連接方式即確定了該零件的標注模式。如圖2中零件C（軸）的標注模式可以從圖5（f）中抽取出來，即將含字母C的路徑抽取出來，便可確定軸的標注模式，如圖7所示。其余零件尺寸標注模式的獲得方式與此相同，在此省略。

圖6 對開齒輪箱功能尺寸最短路徑生成樹的修正Fig.6 Revision of the functional dimension shortest path spanning tree of opposite gearbox

圖7 軸的尺寸標注路徑和尺寸標注模式Fig.7 Dimension marking path and dimension marking mode of the shaft

比較最短路徑生成樹的2種建立方法可以發現：1）2種方法都是基于同一裝配尺寸聯系路徑圖建立的，2種方法中功能尺寸的排序是相同的，但是須搜索的功能尺寸并不完全相同（圖4中排序第5的功能尺寸12E13A在圖5中不需要搜索），且中間路徑也不同，但是最終建立的最短路徑生成樹是一樣的。功能尺寸的確定和排序決定了生成樹的結構，但是在某些時候，個別功能尺寸的改變或者排序的改變對生成樹的結構沒有影響（如圖4中需要功能尺寸8C11C，圖5則不需要，也就無關后面的排序問題）。因此裝配體結構不同，功能尺寸及其排序也不同，其影響是未知的。2）第1種方法中最短路徑樹的建立須確定的功能尺寸數量有9個，第2種為5個，都比建立尺寸模型時需要的功能尺寸的數量（12個）少。且本例中第2種方法須確定的功能尺寸數量較少，搜索次數也較少，則最短路徑生成樹的建立更高效。對于其他裝配結構來說，2種建立方法所需要的功能尺寸數量和搜索次數無法確定，也無法比較。但是第1種方法須進行路徑樹的修正，且修正過程較為麻煩，而第2種方法無須修正，可以直接建立確定零件尺寸標注模式的功能尺寸最短路徑生成樹。由此可知，第2種最短路徑生成樹的建立方法更好。

4 功能尺寸最短路徑生成樹的建立流程

在基于裝配尺寸聯系路徑圖建立功能尺寸最短路徑生成樹的過程中，在搜索各個功能尺寸最短路徑搜索時會出現以下情況：1）若功能尺寸對應的兩頂點已存在于前面所生成的路徑樹中，如果兩頂點有路徑連通，則不再對該功能尺寸進行最短路徑搜索；如果兩頂點沒有路徑連通，則可以從兩頂點中的任一頂點出發進行最短路徑搜索。2）若功能尺寸對應的某一頂點已存在前面所生成路徑樹中，并有路徑存在，則應從已存在的路徑出發進行最短路徑搜索。3）若所有頂點已經全部存在于生成樹中，但是還沒有對最后一個或者最后幾個功能尺寸進行搜索，此時則不再進行最短路徑的搜索。

功能尺寸最短路徑生成樹的建立可通過計算機輔助實現。第2種建立方法的流程圖如圖8所示。

圖8 功能尺寸最短路徑生成樹第2種建立方法的流程Fig.8 The flow diagram of the second method of setting up the functional dimension shortest path spanning tree

5 結論

在裝配體結構確定的情況下，建立了裝配尺寸聯系路徑圖。根據裝配體功能尺寸及其精度要求的排序，基于裝配尺寸聯系路徑圖和最短路徑生成樹的建立方法，獲得裝配體功能尺寸最短路徑生成樹，以確定零件尺寸合理的標注模式。對2種最短路徑生成樹的建立方法進行了比較，為零件尺寸標注基準的設計和尺寸標注的計算機輔助設計提供了新途徑。