熱流溫度場下功能梯度板的熱問題研究

劉 超，劉文光

（南昌航空大學航空制造工程學院，江西南昌330063）

高超音速飛行器飛行時會遇到惡劣的熱環境。當高超音速飛行器以36馬赫（12 250 m/s）的速度返回大氣層時，其機翼前緣駐點的溫度高達11 000 K左右［1］。高溫惡劣環境會對飛行器的可靠性、安全性及整體性能產生嚴重的影響。因此，熱防護系統是高超音速飛行器設計的重要內容之一。

為了改善高超音速飛行器的熱防護性能，選用合理的復合材料或涂層材料來設計熱防護系統極為重要［2］。然而，傳統的復合材料或涂層材料由于內部組分不連續變化，存在明顯的界面失配問題。其在宏觀力學性能上表現為應力集中和突變等問題。尤其是表層熱防護材料，當氣動加熱達到幾千攝氏度時，材料內部會出現嚴重的熱應力集中等現象，導致表層材料脫落，影響飛行器的飛行安全。功能梯度材料（functionally graded material，FGM）由于材料組分連續變化，能弱化甚至完全消除不同界面處的失配問題，對緩解結構熱應力集中等問題很有效［3］，因此可以應用在高超音速飛行器的熱防護系統中。

針對FGM結構的力學問題，學者們開展了大量的研究。Ma等研究了功能梯度梁在熱載荷作用下的非線性力學行為［4］；Nami等研究了在熱機械載荷作用下空心FGM圓柱殼的裂紋尺寸、裂紋形狀等對裂紋尖端應力強度因子的影響［5］；楊歡歡利用線彈性斷裂力學理論研究了FGM結構在動靜態載荷作用下裂紋尖端應力強度因子的變化規律［6］；Zhou等開發了虛擬節點斷裂單元，求解了含裂紋的FGM板的能量釋放率［7］；鄧昊等求得了沿軸向的指數分布的FGM梁的傳遞矩陣，并推導了在復雜邊界條件下多跨FGM梁的理論模型［8］；杜長城等通過數值積分和Poincaré映射研究了FGM圓柱殼在非線性自由振動時模態相互作用和能量交換的現象［9］；劉文光等通過建立FGM圓柱殼的動力學方程研究了熱應力、殼體厚度和材料組分含量對FGM熱防護殼振動模態的影響［10］；陳金曉等通過改進的傅里葉級數建立了FGM圓柱殼的振動方程，并探討了在彈性邊界條件下殼體尺寸、材料組分的體積分數等對結構模態頻率的影響［11］。

由于氣動加熱會導致FGM結構表面產生巨大的溫差，嚴重影響結構的正常運行，很多學者對FGM熱問題展開了研究。基于一階剪切變形理論和von‐Karman幾何非線性，Lee等研究了高超音速氣流中FGM板的熱變形，探究了FGM板的熱屈曲行為［12］；Nazargah利用等幾何有限元模型分析了雙向FGM梁的完全耦合熱機械行為［13］；Duc等研究了在熱環境下具有溫度依賴性的偏心加筋S‐FGM圓柱殼的非線性靜態屈曲行為［14］；針對FGM板的熱傳導問題，Zhou等按照給定的目標函數和邊界條件提出了FGM體積分布指數的優化方法［15］；基于平面穩態熱傳導基本方程，許楊健等探索了FGM板梯度參數和幾何組成對溫度場的影響［16］；Bouchafa等研究了溫度梯度對FGM結構殘余應力的影響［17］；Chen等分析了FGM夾芯板在熱環境中在任意周期載荷作用下的動態失穩區域［18］。

盡管研究者對FGM結構的熱機械行為開展了系統研究，但是很少有學者深入討論FGM在熱防護系統中的應用，也未見基于結構參數等的調控來提高FGM熱防護性能的相關報道。筆者以FGM板為研究對象，討論了在線性溫度場、正弦溫度場、熱流溫度場和非線性溫度場下FGM的物理特性，重點分析了板厚、陶瓷體積分數指數和熱流密度等參數對FGM板熱傳導、熱變形和熱應力的影響，以探究一種基于多參數調控的有效緩解結構熱應力集中觀象的方法，以促進FGM在高超音速飛行器熱防護系統中的應用。

1 FGM板的物理特性

非均質矩形截面FGM板如圖1所示。板的長、寬、厚分別為a、b和h，板的材料屬性只沿厚度方向連續變化，由底部純鈦合金Ti‐6Al‐4V連續變化到頂部純陶瓷ZrO2。在FGM板的中性面建立如圖1（a）所示的直角坐標系o-xyz。在中性面內金屬含量和陶瓷含量相等。

圖1 非均質矩形截面FGM板Fig.1 FGM plate with heterogeneous rectangular section

FGM板最大的特點在于其物理特性參數可視為空間位置（用z表示）和溫度T的連續函數。在已有文獻中，研究者對多種不同的材料物理特性的數學模型進行了描述［19］。筆者采用常用的冪律分布模型。FGM板的物理特性可表示為［20］：

式中：ξ代表密度ρ、彈性模量E、泊松比v、熱膨脹系數α和熱傳導系數β等材料本身的物理特性參數；下標c和m分別代表純陶瓷和純金屬；ηc為陶瓷的體積分數；k為陶瓷的體積分數指數，0≤k<∞。

FGM板的物理特性參數與溫度之間的非線性關系為：

式中：T=T0+ΔT（z），ΔT（z）為沿厚度方向的溫度梯度，T0為環境溫度；ψ0、ψ-1、ψ1、ψ2和ψ3均為材料的溫敏特性參數，其取值見表1［21］。

表1 ZrO2和Ti-6Al-4V的溫敏特性系數Table 1 Temperature‐dependent coefficients for ZrO2and Ti‐6Al‐4V

2 熱環境描述

高超音速飛行器的飛行空域是復雜多變的溫度場，所以探討不同溫度場對FGM物理特性的影響十分必要。溫度場的描述如下。

2.1 線性溫度場T1和正弦溫度場T2

設施加在FGM板底部和頂部的溫度載荷分別為Tb和Tt，則沿厚度方向按線性和正弦升高的溫度場可分別表示為：

2.2 熱流溫度場T3

在熱流溫度場下，材料組分之間由溫度不均勻引起的內能交換遵循傅里葉定律。設熱流密度為q，則沿厚度方向的溫度場可表示為：

式中：βcm=βc-βm。

2.3 非線性溫度場T4

在非線性溫度場下，沿厚度方向的溫度場主要由一維穩態熱傳導方程解得。一維穩態熱傳導方程和溫度場可分別表示為：

3 熱環境對FGM板物理特性的影響

在討論FGM板的熱傳導、熱變形和熱應力之前，先研究在不同溫度場下FGM板的組分含量和彈性模量的變化趨勢。計算時，取T0=300 K；在線性溫度場和非線性溫度場下，取Tb=0 K，Tt=600 K；在正弦溫度場下，取Tb=200 K，Tt=500 K；在熱流溫度場下，取Tb=0 K，q=100 mW/mm2。

FGM板的陶瓷體積分數ηc隨陶瓷體積分數指數k的變化曲線如圖2所示。由圖2可知：ηc隨k的增大而逐漸減小；當k=1.0時，ηc與z/h呈線性遞增關系；當k≥5.0，-0.5≤z/h≤-0.1 時，ηc的變化很小。因此，用FGM設計熱防護結構時應取k<5.0。

圖2 FGM板的陶瓷體積分數ηc隨陶瓷體積分數指數k的變化曲線Fig.2 Changing curve of ceramic volume fraction ηcof FGM plate with ceramic volume fraction index k

在不同溫度場下FGM板的彈性模量E沿厚度方向的變化規律如圖3所示。

由圖3可知：k一定時，溫度場對E的影響非常明顯；在線性溫度場下，當k≥1.0時，E基本呈線性變化趨勢；在正弦溫度場下，板底部的E值總是大于板頂部的E值；在熱流溫度場下，當k>1.0時，靠近板底部時E隨k的增大而減小，而在靠近板頂部時其變化趨勢則完全相反；在非線性溫度場下，當k≥1.0時，E近似呈二次函數變化趨勢。

圖3表明，熱流溫度場對E的影響最為顯著。而熱流溫度場最接近工程的實際狀態，因此下面主要分析在熱流溫度場下FGM板的熱傳導、熱變形和熱應力。

圖3 不同溫度場下FGM板的彈性模量E沿厚度方向的變化規律Fig.3 Changing rules of elastic modulus E along thickness di‐rection of FGM plate under different temperature fields

4 FGM板熱問題的仿真分析

4.1 FGM板有限元模型的建立

取 FGM 板的幾何尺寸為：a×b×h=40 mm×20 mm×1.8 mm。結合分層建模思想和Python編程，建立如圖4所示的有限元模型。模型分為25層，采用C3D8T六面體單元，共有31 250個單元。模型邊界條件設置為一端固支、一端自由。在FGM板的頂部（z/h=0.5）施加0.2 MPa的均勻外載荷。

圖4 FGM板的有限元模型Fig.4 Finite element model of FGM plate

基于所建立的FGM板的有限元模型，分析板厚h、陶瓷體積分數指數k和熱流密度q等參量對FGM板熱傳導、熱變形和熱應力的影響。

4.2 FGM板的熱傳導分析

由于內熱源對FGM板熱傳導的影響比外熱源小，本文只分析外熱源對FGM板熱傳導的影響。假設FGM沿厚度方向的比熱c=0.69×103J/（kg?°C），q的變化范圍為5～50 mW/mm2。當q=5 mW/mm2時，FGM板厚h和陶瓷體積分數指數k對板熱傳導的影響如圖5和圖6所示。

圖6 陶瓷體積分數指數k對板熱傳導的影響Fig.6 Effect of ceramic volume fraction index k on the heat conduction of plate

由圖5可知：隨著h的增大，FGM板底部溫度降低，板的熱防護性能增強；特別地，當h=7.2，9.0 mm時，在800 s的工作時間內板底部溫度不超過450 K，這說明適當增大h可以提高飛行器內部的抗熱性；當h從3.6 mm增大到9.0 mm時，溫度下降率從20%下降到8%，可見，隨著h的逐漸增大，降溫的速率變低。因此，熱防護材料無需太厚，選用7.2～9.0 mm厚的FGM板足以起到熱防護作用，也不會使板的質量過大。

圖5 FGM板厚h對板熱傳導的影響Fig.5 Effect of FGM plate thickness h on the heat conduc‐tion of plate

由圖6可知，k對熱傳導的影響非常小。因此，通過調節k值來減緩熱傳導并非最佳方案。

綜合圖2、圖5和圖6可知，當7.2≤h≤9.0 mm和1.0≤k≤2.5時，可實現FGM板的輕質和高效隔熱。

當h=7.2 mm，k=1.5時，熱流密度q對熱傳導的影響如圖7所示。

圖7 熱流密度q對板熱傳導的影響Fig.7 Effect of heat flux density q on the heat conduction of plate

由圖7可知：FGM板底部溫度隨q的增大而逐漸升高，且隨t的增加呈線性遞增的趨勢；當q=5 mW/mm2，t=800 s時，板底部溫度為450 K；當q=40 mW/mm2，t=800 s時，板底部溫度為1 800 K。因此，當q一定時，為確保FGM板底部溫度在某個安全范圍內，控制飛行時間對飛行器的安全至關重要。

4.3 FGM板的熱變形分析

當k=0.2，q=5 mW/mm2時，h對板自由端變形量ε的影響如圖8所示；當h=7.2 mm時，熱流密度q對板自由端變形量ε的影響如圖9所示。

圖8 FGM板厚h對板自由端變形量ε的影響Fig.8 Effect of FGM plate thickness h on the deformation of plate free‐end ε

圖9 熱流密度q對板自由端變形量ε的影響Fig.9 Effect of heat flux density q on the deformation of plate free‐end ε

由圖8可知：隨著t的增加，ε先快速增大后基本保持不變；當h=1.8 mm時，ε約為同一時刻其他板厚的5倍；當h≥5.4 mm時，隨著t的增加，ε的變化非常小。因此，為控制ε足夠小，保證飛行器長時間安全飛行，應取h≥5.4 mm。

由圖9可知：當q一定時，k對ε的影響很小；ε隨q的增大而逐漸增大，當q=30 mW/mm2時，ε約為q=5 mW/mm2時的5倍。因此，從控制ε的角度出發，應取5≤q≤10 mW/mm2。

4.4 FGM板的熱應力分析

按上文建立的FGM板模型的坐標系，分析FGM板底部節點（4 mm，8 mm，-h/2）處的von‐Mises熱應力。當k=5.0時，q對FGM板底部節點熱應力σ的影響如圖10所示；當h=7.2 mm時，k對FGM板底部節點熱應力σ的影響如圖11所示。

圖10 熱流密度q對FGM板底部節點熱應力的影響Fig.10 Effect of heat flux density q on thermal stress of FGM plate bottom node

圖11 陶瓷體積分數指數k對FGM板底部節點熱應力的影響Fig.11 Effect of ceramic volume fraction index k on thermal stress of FGM plate bottom node

由圖10可知：當q一定時，增大h有利于減小σ，當h=0.9，7.2 mm時尤為明顯；當h>7.2 mm時，增加h幾乎不能有效減小σ；當h一定時，增大q會使σ逐漸增大。因此，為保證飛行器在不同的熱流密度場下安全運行，應取h>3.6 mm；當h<2 mm時，應取q<10 mW/mm2，以保證FGM板的節點應力小于其抗彎強度1 018 MPa。

由圖11可知：k對σ的影響非常小；隨著q的增大，σ呈線性遞增的趨勢。

因此，k對FGM板的熱傳導、熱變形、熱應力的影響較小，而h、q和t對FGM板熱防護效果的影響較為明顯。

5 結 論

在分析熱環境對FGM板物理特性影響的基礎上，建立了FGM板的有限元模型，分析了在不同FGM板厚h、陶瓷體積分數指數k和熱流密度q下FGM板熱傳導、熱變形和熱應力的變化規律。主要結論如下：

1）當k一定時，溫度場對FGM彈性模量的影響明顯，且以熱流溫度場的影響最為顯著。

2）增加h有利于增強FGM板的熱防護性能，但是h不宜太大；當飛行器飛行時間較長時，增大h和選擇q較小的區域有利于減小FGM板溫度的變化；而k對FGM板熱防護效果的影響很小，不推薦將改變k值作為減小FGM板溫度變化的方法。

3）為保證飛行器長時間安全飛行，應取h=7.2 mm，1.0≤k≤2.5，5≤q≤10 mW/mm2，t≤800 s，以使FGM板的熱防護效果最佳。