抓住函數性質　研究圖形特征

顧宏萍

中考對函數內容的考查，除了考查函數的圖像與性質及其應用等基礎知識外，還會將函數與圖形結合，考查同學們綜合運用相關知識及數學思想解決多知識點融合問題的能力。

例1 （2020·四川涼山）如圖1，矩形OABC的面積為[1003]，對角線OB與雙曲線y=[kx]（k>0，x>0）相交于點D，且OB∶OD=5∶3，則k的值為。

【分析】反比例函數y=[kx]（k>0，x>0）圖像上任意一點（m，n）與k滿足k=mn的關系，過反比例函數圖像上的點D作DH⊥OA于點H，則k=2S△ODH。通過研究圖形特征，利用矩形和相似三角形的性質求出△ODH的面積，從而求得k的值。

解：過點D作DH⊥OA于點H。

∵矩形OABC的面積為[1003]，OB是對角線，∴S△OBA=[503]。

∵DH∥AB，∴△ODH∽△OBA，

∴S△ODH∶S△OBA=9∶25，則S△ODH=6。

設點D的坐標是（m，n），則S△ODH=[12]mn=6，∴mn=12。

把D的坐標代入函數表達式y=[kx]，則k=mn=12。

【點評】解答反比例函數表達式的題目，多數可以運用反比例函數的比例系數k的幾何意義求解。

例2 （2020·四川成都）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數y=[mx]（x>0）的圖像經過點A（3，4），過點A的直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于B、C兩點。

（1）求反比例函數的表達式;

（2）若△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，求此直線的函數表達式。

【分析】（1）把A（3，4）代入y=[mx]（x>0）即可得到結果。

（2）根據題意，可知△AOB和△BOC都可以看作以BO為底邊的三角形。根據等底的兩個三角形面積之比等于他們的高之比，結合畫出的圖形，可以直接得到y軸上點C的坐標，再將點A（3，4）和點C的坐標代入y=kx+b即可求出此直線的函數表達式。

當然，我們也可以直接根據直線表達式得到點B（[-bk]，0）、點C（0，b），再根據三角形的面積公式列方程即可得到結果。

解：（1）∵反比例函數y=[mx]（x>0）的圖像經過點A（3，4），

∴m=3×4=12，

∴反比例函數的表達式為y=[12x]。

（2）∵直線y=kx+b過點A，∴3k+b=4。

∵過點A的直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于B、C兩點，

∴B（[-bk]，0），C（0，b）。

∵△AOB的面積為△BOC的面積的2倍，

∴[12]×4×[-bk]=2×[12]×[-bk]×[b]，

∴b=±2，

當b=2時，k=[23];當b=-2時，k=2。

∴直線的函數表達式為y=[23x]+2或y=2x-2。

【點評】本題的第（2）問雖然給出的是兩個三角形面積的關系，但圖中并沒有給出滿足條件的圖形，這就需要同學們根據條件自主畫圖。可以從圖形角度進行分析，獲得線段之間的數量關系，即將所得的平行于坐標軸的線段長轉化為坐標代入一次函數表達式求解，經歷從形到數的轉化過程;也可以直接從一次函數表達式入手，通過待定系數法，用k、b的代數式表示相關點的坐標，將坐標轉化為線段，再通過兩個三角形面積的關系構造方程求解。

在平面直角坐標系中，我們要關注坐標與線段的轉換，求點的坐標很多時候是通過求平行于坐標軸的線段長度來解決的。本題充分展現了函數題中利用數與形相互轉換的解題思路。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學）