降低GFDM 峰均功率比的低復雜度算法

蔡建輝，李光球，沈靜潔

（杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州 310018）

1 引言

廣義頻分復用（generalize2 frequency 2ivision multiplexing，GFDM）是一種靈活的多載波調制方案，具有較小的帶外輻射、較低的時延、較高的頻譜效率以及無須嚴格時間同步等優點，非常適用于物聯網、觸覺互聯網和工業自動化等領域應用[1-4]。但是，GFDM 存在峰均功率比（peak to average power ratio，PAPR）較高的問題[5]，需要采取措施加以解決。

降低GFDM 系統PAPR 的方法大致可分為信號預畸變和信號非畸變兩類。信號預畸變類包括限幅法[6]、分段非線性壓縮技術[7]、改進型壓擴技術[8]、多項式壓擴技術[9]等。非畸變類包括預編碼算法[10-12]、選擇映射（selecte2 mapping，SLM）法[13]、部分序列傳輸法[14]、隨機分配濾波器算法[15]等，其中預編碼算法和SLM 算法較為常用。

預編碼算法是通過降低信號的非周期相關性來降低系統的PAPR[12]，參考文獻[10-12]分別提出用沃爾什－哈達瑪變換（Walsh-Ha2amar2 transform，WHT）、加權分數傅里葉變換、離散哈特萊變換等來降低GFDM 系統的PAPR。SLM算法是將隨機產生的多個相位序列與經過星座映射的頻域信號進行點乘，之后經GFDM 調制，選擇時域信號中PAPR 最小的GFDM 信號進行傳輸[13]。參考文獻[13]通過引入相位旋轉矩陣提出了修正的SLM 算法，其設計思想是要獲得更多的GFDM 時域備選信號以降低GFDM 的PAPR。受上述設計思想的啟發，若將預編碼和SLM 算法聯合應用于GFDM 系統，則預期可降低GFDM 的PAPR，為此需要求解串聯的WHT 和離散傅里葉逆變換（inverse 2iscrete Fourier transform，IDFT）。參考文獻[16]提出了正交頻分復用（orthogonal frequency 2ivision multiplexing，OFDM）系統中可用T 變換實現串聯的WHT 和IDFT 以降低其PAPR 和實現復雜度，本文將之推廣應用于GFDM系統，于是提出了降低GFDM 系統PAPR 和實現復雜度的TSLM 算法。

參考文獻[17]提出在OFDM 系統中引入基于轉換向量（conversion vector，CV）的SLM 算法，其中轉換向量由兩個基向量及其循環移位構成，該算法可有效降低OFDM 系統的PAPR 和實現復雜度。本文擬將CV 向量引入TSLM 算法，提出了TCSLM 算法，該算法利用CV 向量與GFDM時域信號循環卷積以產生更多的時域備選信號，從而降低GFDM 系統的PAPR。下面擬從實現復雜度和仿真結果兩個方面證明 TSLM 算法和TCSLM 算法的有效性。

2 GFDM 收發信機及SLM 算法

2.1 GFDM 收發信機

GFDM 收發信機框架如圖1 所示。輸入比特流先經正交幅度調制（qua2rature amplitu2e mo2-ulation，QAM）得到長度為N=KM的QAM 調制信號矢量d，經串并變換形成M個子符號、K個子載波的數據塊結構，其中，dk,m表示第m個子符號中第k個子載波上傳輸的數據符號，k=0,1, …,K?1,m=0,1, …,M?1。然后經過由IDFT 和上采樣、濾波、循環移位、求和操作（簡稱UFCS 模塊）等組成的GFDM 調制器得到N×1維的輸出向量x，最后添加循環前綴（cyclic prefix,CP）并發送出去。輸出向量x可表示為[12]：

其中，dm=(d0,m,d1,m, …,dK?1,m)T表示第m個子符號，(· )T表示轉置，F是K×K維的IDFT 矩陣；Q(M)由M個K×K維的單位矩陣IK串聯而成，即Q(M)=[IK, …,IK]T，該操作可等效于對每個子符號進行M倍的上采樣處理；D(M)是N×N維的濾波器矩陣，其對角線元素由升余弦（raise2 cosine filter，RC）濾波器g[n]組成，其余元素為0，g[n]的時域形式為g[n] =sinc(n)cos(παn)/(1 ?4α2n)，其中，n=0,1, …,N?1，α為RC 濾波器的滾降系數；P(m)是N×N維矩陣，定義為P(m)=ψ(p(m))?IK，每個子符號通過P(m)變換到其對應位置，其中，?表示克羅內克積，ψ(p(m))是M×M維的循環矩陣，p(m)表示第m個位置的元素為1 而其余為0 的M× 1維向量，p(m)是ψ(p(m))矩陣的第一列，其余M? 1列是p(m)的循環移位。

圖1 GFDM 收發信機框架

其中，2iag( · )為對角矩陣，其對角線元素為β[n]=1/g[n]，是迫零接收濾波器的脈沖響應；FH表示K×K維的離散傅里葉變換（2iscrete Fourier transform，DFT）矩陣。最后，經GFDM 解調的輸出信號y通過并串變換和QAM 解調得到原始輸入比特流的估值。本文GFDM 系統的參數、數學符號和矩陣函數的定義見表1。

表1 系統參數、數學符號和矩陣函數的定義

2.2 SLM 算法

圖2 降低GFDM 系統PAPR 的SLM 算法原理

3 改進的SLM 算法

3.1 TSLM 算法

WHT 變換能夠有效降低 GFDM 系統的PAPR[10]，因此，本文將WHT 變換和SLM 算法相結合提出了一種改進的低復雜度TSLM 算法，如圖3 所示，但在該算法中需要完成串聯的WHT變換和IDFT 變換，計算相對復雜。經分析可知，參考文獻[16]中用于OFDM 系統的T 變換可以實現本文中串聯的WHT 變換和IDFT 變換，因此本文提出利用T 變換降低GFDM 系統的PAPR，同時利用T 變換的稀疏特性降低其實現復雜度。

低復雜度TSLM 算法的實現步驟如下：

（1）將QAM 調制信號與U個不同的隨機相位序列UR進行點乘；

（2）將點乘后的U個信號進行串并變換；

（3）將串并變換后的信號依次通過T 變換和UFCS 模塊完成T-GFDM 調制；

（4）從U個GFDM 時域備選信號中選擇PAPR 最小的信號進行傳輸。

由參考文獻[16]的式（9）可得以上步驟中T變換矩陣為：

3.2 TCSLM 算法

增加備選GFDM 信號可以降低系統的PAPR，本文在TSLM 算法的基礎上引入CV 向量，提出了TCSLM 算法，其基本原理是將經過T-GFDM調制后的信號與CV 向量進行循環卷積，該操作增加了T-GFDM 時域備選信號數目，但沒有增加系統的復數乘運算次數，原理如圖4 所示。

TCSLM 算法的實現步驟如下：

（1）將QAM 調制信號與U個不同的隨機相位序列UR點乘；

（2）將點乘后的U個信號進行串并變換；

（3）對串并變換后的信號進行T-GFDM 調制；

（4）T-GFDM 調制后的信號通過CV 向量，此時時域備選信號的個數為2U；

（5）從2U個時域備選信號中選擇PAPR 最小的信號傳輸。

圖3 降低GFDM 系統PAPR 的TSLM 算法原理

圖4 降低GFDM 系統PAPR 的TCSLM 算法原理

根據循環卷積的線性性質，經過CV 向量而生成的GFDM 時域備選信號可表示為：

4 性能分析

4.1 實現復雜度分析

本節對采用SLM、WHT-SLM、TSLM 和TCSLM 算法的各GFDM 系統進行發射端復數乘法和復數加法的復雜度分析。參考文獻[12, 15,18-19]對GFDM 系統的實現復雜度分析均以復數乘法作為性能指標，故本文將復數乘法作為實現復雜度分析的性能指標。

根據式（1），圖1 的GFDM 調制需要以下步驟：（1）M次K點的IFFT 變換，一次K點的IFFT 變換需要執行KlbK/2次復數乘和KlbK次復數加；（2）M次濾波，一次濾波需要執行KM/2次復數乘。因此，GFDM 調制的復數加次數J=MKlbK，復數乘次數C為[12]：

根據參考文獻[16]，一次K點的T 變換需要執行的復數乘和復數加次數分別為(KlbK)/2 ?(K? 1)和(3KlbK)/2 ?3(K? 1)。圖3中的T-GFDM 調制需要以下步驟：（1）M次K點的T 變換；（2）M次濾波。因此，T-GFDM調制的復數乘和復數加次數分別為C?M(K?1)和3J/2 ?3M(K? 1)。

SLM 算法是利用U個隨機相位序列產生U個頻域備選信號，然后進行U次的GFDM 調制得到U個時域備選信號。因此，SLM 算法的復數乘和復數加次數分別為UC和UJ。

根據圖2 和圖3，TSLM 算法是在SLM 算法的基礎上利用T 變換實現串聯的WHT 變換和IDFT變換，而WHT 變換由于其元素由1 和?1 構成不會增加WHT-SLM 算法的復雜度，故WHT-SLM 算法的復數乘和復數加次數分別為UC和UJ。TSLM 算法需要進行U次的T-GFDM 調制，因此，TSLM 算法的復數乘和復數加次數分別為U[C?M(K? 1)]和3U[J/2?M(K? 1)]。4 種降低GFDM 系統PAPR算法的發射端實現復雜度比較見表2。

表2 4 種降低GFDM 系統PAPR 算法的發射端實現復雜度比較

根據圖3 和圖4，TCSLM 算法是在TSLM算法的基礎上利用CV 向量得到了2U個時域備選信號，需要以下步驟：（1）U次的T-GFDM；（2）U個T-GFDM 調制信號與CV 向量循環卷積得到2U個時域備選信號，需要執行3UKM次復數加[17]。因此，TCSLM 算法的復數乘和復數加次數分別為U[C?M(K? 1)]和3U(M+J/2)，產生相同數量的備選信號，TCSLM 算法的復數乘次數是TSLM 的1/2。

4.2 仿真結果

本文通過計算機仿真比較采用上述4 種降低PAPR 算法的GFDM 系統性能。仿真參數設置如下：圖5 中子載波數K取值為64～1 024，相位序列數U= 2 8、；圖6 中取K=64，U= 2 8、；圖7 中取K=64，U=2 ；其余參數均為子符號數M=3 ，RC 濾波器的滾降系數取0.1，調制方式采用16QAM，CP 長度取16。

圖5 為GFDM 系統的實現復雜度（即復數乘法次數）隨子載波數K的變化曲線，其中考慮了SLM、WHT-SLM、TSLM、TCSLM 4 種降低PAPR算法。由圖5 可知：

（1）隨著相位序列數增加，不同算法的復雜度隨之增加；

（2）當不同算法的GFDM 系統的隨機相位序列U取相同值時，算法復雜度排序由高到低依次是SLM（或WHT-SLM）、TSLM、TCSLM 算法，當K=64 、U=2 時，SLM（或WHT-SLM）算法、TSLM 算法和TCSLM 算法的復數乘次數依次為1 728、1 350 和675 次，與SLM（或WHT-SLM）算法相比，TSLM 和TCSLM 算法實現復雜度分別降低約21.9%和60.9%。

圖5 不同算法的GFDM 系統復雜度對比

圖6 不同算法的GFDM 系統PAPR 降低效果對比

采用不同算法降低GFDM 系統PAPR 的CCDF 性能曲線如圖6 所示。由圖6 可知：

（1）隨機相位序列數U越大，SLM、TSLM和 TCSLM 算法降低 PAPR 的效果越好，當CCDF =10?3，相位序列數U=8時，采用SLM、TSLM 和TCSLM 算法的GFDM 系統PAPR 值比U=2時分別降低約1.6 2B、1.4 2B、1.2 2B；

（2）采用WHT 和T 變換的CCDF 曲線基本重合，結合表2 可知T 變換能夠保持降低PAPR的效果并且降低復雜度；

（3）降低GFDM 系統PAPR 效果排序由強到弱排序依次是TCSLM、TSLM 和SLM 算法，如當CCDF =10?3，相位序列數U=2時，采用TCSLM算法的GFDM 系統PAPR 值比采用TSLM、SLM算法降低約0.4 2B、1 2B。

在頻率選擇性信道下采用不同算法的GFDM系統的誤比特率（bit error rate，BER）性能曲線見圖7，與參考文獻[2]中一樣，在仿真中設置L=16，由圖7 可知以下結論。

（1）SLM 算法與原始GFDM 系統的BER 性能基本相同，這是因為SLM 算法將選定的相位序列作為邊帶信息進行傳輸[20]，接收機能夠根據邊帶信息正確恢復出原始信號。如當SNR=12 2B 時，SLM 算法與原始GFDM 系統的BER 分別約為0.059 78 和0.059 72。

圖7 不同算法的GFDM 系統BER 性能對比

（2）采用WHT 變換、T 變換、TSLM、TCSLM等算法的各GFDM 系統的BER 性能基本相同，這是因為T 變換實現了串聯的WHT 變換和IDFT變換，可保持與WHT 變換基本相同的BER 性能[16]；TSLM 算法是在SLM 算法的基礎上引入T 變換，接收機能夠根據T 反變換和邊帶信息恢復出原始信號，因而TSLM 算法保持了與T 變換基本相同的BER 性能；TCSLM 算法是在TSLM 算法的基礎上引入CV 向量，由于CV 向量的周期性自相關函數是沖激函數，其所有元素具有相同的大小，不會造成系統BER 性能的損失[21]，因此，TCSLM和 TSLM 算法的 BER 曲線基本相同。如當SNR=12 2B 時，WHT 變換、T 變換、TSLM 和TCSLM 算法的BER 分別約為0.062 72、0.062 60、0.062 68 和0.062 81。

（3）包含WHT 預編碼算法的GFDM 系統能夠有效對抗頻率選擇性衰落，但在低信噪比（SNR＜12 2B）下系統的BER 性能要劣于GFDM系統，這是因為ZF 解調引入的噪聲分量在解碼操作過程中對其他子載波造成了干擾[10]，低信噪比下該干擾對系統BER 性能的影響大于預編碼方法改善效果。

綜合圖6 和圖7 可知，TSLM 算法、TCSLM算法均能夠有效降低GFDM 系統的實現復雜度和PAPR 值，同時基本不會造成其BER 性能的損失。

5 結束語

本文提出了TSLM 算法、TCSLM 算法降低GFDM 系統的PAPR，TSLM 算法的特點是利用T變換實現串聯的WHT 變換與IDFT 變換，達到同時降低GFDM 系統PAPR 和實現復雜度的目的；TCSLM 算法是在TSLM 算法的基礎上使用轉換向量進一步擴充時域備選GFDM 信號的數目，從而進一步降低GFDM 系統的PAPR。計算機仿真結果驗證了TSLM 算法和TCSLM 算法的有效性；在高信噪比下還能夠改善GFDM 系統的BER 性能；增加隨機相位序列U，可進一步改善GFDM系統的PAPR 性能，其代價是實現復雜度會略微增加。