連續排水邊界下雙層地基一維非線性固結解析解

楊曉燕　宗夢繁　吳文兵　梅國雄　蔣國盛

摘 ? ?要：基于Davis和Raymond土體一維非線性固結的假設，通過引入連續排水邊界條件研究了瞬時荷載下的雙層地基一維非線性固結問題. 利用變量代換及分離變量法得到連續排水邊界條件下雙層地基一維非線性固結問題的解析解，通過退化為Xie雙面排水解答驗證了本文解析解的正確性. 基于所得解析解，對不同界面參數以及非線性參數對土體固結特性的影響進行了分析. 結果表明：連續排水邊界條件下，按沉降定義的平均固結度解答（Us）始終大于按孔壓定義的平均固結度解答（Up），且兩者的差別隨著非線性參數Nσ值的增大而增大. 連續排水邊界條件下Us隨Nσ值的增大而增大，而Up隨Nσ值的增大而減小. 與Xie雙面排水解答相比，連續排水邊界下Nσ值對Up的影響較小. 此外，土層界面參數對土體固結有較大影響.

關鍵詞：非線性固結;連續排水邊界;雙層地基;界面參數;解析解

中圖分類號： TU 43 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Analytical Solution for One-dimensional Nonlinear Consolidation of

Double-layered Soil Based on Continuous Drainage Boundary

YANG Xiaoyan1，ZONG Mengfan1，WU Wenbing1，2，3， MEI Guoxiong1，2，3，JIANG Guosheng1?

（1. Faculty of Engineering，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China;

（2. College of Civil Engineering and Architecture，Guangxi University，Nanning 530004，China;

3. Key Laboratory of Engineering Disaster Prevention and Structural Safety

of Ministry of Education，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Abstract：Based on the assumptions of one-dimensional nonlinear consolidation of soil proposed by Davis and Raymond， the one-dimensional nonlinear consolidation problem of double-layered soil under constant loading is investigated by introducing the continuous drainage boundary condition. The analytical solution for the one-dimensional nonlinear consolidation of doubled-layered soil is derived by means of variable substitution method and separation of variables method. The rationality of the present solution is also verified by comparing with Xies solution. Based on the present solution， the effect of different interface parameter and nonlinear parameter on consolidation behavior of soil is analyzed. The results show that， under the continuous drainage boundary condition， the solution of the average consolidation degree，Us，defined as the settlement，is always larger than that of the average consolidation degree， Up， defined as the pore pressure， and the difference between Us and Up increases with the increase of Nσ（the ratio of final effective pressure to initial effective pressure）. In the continuous drainage boundary condition， the Us increases with the increase of Nσ， while the Up decreases with the increase of Nσ. Compared with the Xies solution， the influence of Nσ value on Up is smaller in the continuous drainage boundary. In addition， the soil interface parameters have a great influence on soil consolidation.

Key words：nonlinear consolidation;continuous drainage boundary;double-layered soil;interface parameter; analytical solution

由于地基的成層性和非線性，雙層地基的一維非線性固結研究具有重要的理論和工程意義. Davis和Raymond[1]基于e-lgσ′關系，假定固結過程中滲透系數kv與壓縮系數mv同步變化且自重應力沿深度保持不變，得到kv和mv隨深度及時間變化的土體一維非線性固結理論. 由于一維非線性固結求解的復雜性，現有的土體一維非線性固結解析解相對較少，其中成層地基一維非線性固結解析解仍然很少，Xie等[2-4]基于Davis和Raymond的假定，推導出雙層地基瞬時加載及單級加載、單層地基單級加載及循環加載條件下一維非線性固結問題的解析解. 施建勇等[5]基于雙曲線壓縮模型建立了土體一維非線性固結方程并獲得了解析解. Lekha等[6]基于e-lgσ′和e-lg kv關系，在作出進一步簡化假定后推導出瞬時荷載下土體一維非線性固結解析解. 而對于其他更復雜的情況，往往只有半解析解[7-10]和數值解[11-15]. 但以上非線性固結理論的研究僅限于對土體非線性壓縮和滲透特性的不斷深入，而對土體排水邊界隨時間發展過程的研究還不夠深入.

目前，土體固結問題的研究主要集中在固結方程和初始條件的優化上，有關邊界條件的研究相對較少. Terzaghi邊界已廣泛用于求解固結問題，其形式簡單但邊界只能表示為完全透水和完全不透水兩種. 雖然有一些關于半透水邊界的報道，如Gray[16]最早對半透水邊界進行了研究，隨后Schiffman和Stein[17]、方開澤[18]也對半透水邊界進行了研究，但半透水邊界求解相對困難. 基于此，梅國雄等[19]提出與時間相關的連續排水邊界并得到瞬時荷載下的單層一維固結方程的解答;隨后，蔡烽等[20]、Liu和Lei[21]、Wang等[22-23]、吳文兵等[24-27]對基于連續排水邊界的土體固結問題進行了跟蹤研究. 但以上基于連續排水邊界的固結研究中均未綜合考慮地基的成層性和土體非線性特性，而地基成層性和土體非線性對固結性狀的影響不容忽視.

本文基于Davis和Raymond的假定推導出連續排水邊界條件下瞬時加載的雙層地基一維非線性固結解析解，基于所得解詳細討論了連續排水邊界界面參數及非線性參數對土體一維非線性固結特性的影響. 然后與Xie等[3]所得解進行對比，驗證解答的合理性.

1 ? 連續排水邊界

土體固結特性非常復雜，不僅與土體參數有關，排水邊界形式對土體固結特性也有很大影響. 運用最廣的邊界形式是傳統Terzaghi排水邊界，包括完全排水和完全不排水兩種形式，表達式分別為式（1）和式（2）.

4 ? 解答的驗證與分析

基于Davis和Raymond的假定，Xie等[3]得到了Terzaghi雙面排水及單面排水雙層地基一維非線性固結解答. 本節通過與Xie的理論解進行全面對比，對本文解的合理性進行分析.

圖2反映了土層壓縮系數比值對按沉降定義的平均固結度Us的影響. 圖中Tv為時間因數，表達式前文已給出. 由圖2可以看出界面參數r取值等于1 000時，基于連續排水邊界固結解答與Xie雙面排水解答一致，表明界面參數取值較大時，連續排水邊界將退化為Terzaghi完全排水邊界，初步驗證了解答的正確性. 此外，從圖中還可以看出隨著下層土與上層土壓縮系數比值的減小，雙層地基固結速率變快，表明上軟下硬型地基固結更快.

圖3反映了連續排水邊界條件下最終有效應力與初始有效應力比值Nσ對Us和Up的影響. 由于kvi、mvi值隨Nσ值的增大而同步減小[7-8]，固結過程中kvi減小則土體內孔隙水越難排出即孔壓越難消散，而mv值減小則土體越難被壓縮即孔壓越容易消散，因此kvi減小則固結速率減小，而mvi值減小則固結速率增大. 從圖3中可以看出固結度曲線隨Nσ取值不同而發生改變，說明kvi、mvi對固結度的影響并未抵消. 圖中Us隨Nσ值的增大而增大，而Up隨Nσ值的增大而減小，這說明連續排水邊界條件下，按沉降定義的平均固結度計算時，壓縮系數對固結速率起主要作用;而按孔壓定義的平均固結度計算時，滲透系數對固結速率起主要作用. 此外，從圖3可以看出對于同一時間因數Tv，Us值均大于Up值，且兩者的差別隨著Nσ值的增大而增大，說明雙層地基一維非線性固結的沉降速率大于孔壓消散速率.

圖4和圖5分別反映了不同邊界條件下Nσ值對Us和Up的影響. 由圖4可以看出對于Xie單面及雙面排水解答，Us不隨Nσ值的變化而變化，這說明kvi和mvi對Us的影響相互抵消;而基于連續排水邊界所得解答Us隨Nσ值的增大而增大. 邊界的排水會影響土體變形的發展過程，排水邊界不同則土體變形過程也會產生差異，因此圖4中Xie所得解答Nσ值對Us沒有影響，而連續排水邊界下Nσ值對Us有影響，這可能是排水邊界不同引起的. 由圖5可以看出連續排水邊界解答和Xie單面及雙面排水解答，Up均隨Nσ值的增大而減小，這說明按孔壓定義的平均固結度計算時，滲透系數對固結速率起主要作用. 此外，從圖5還可以看出連續排水邊界條件下Nσ對Up的影響遠小于Xie所得解答下Nσ對Up的影響.

圖6反映了界面參數r值對按沉降定義的固結度的影響. 從圖中可以看出土體固結速率隨r值的增大而增大. 在固結初期，連續排水邊界條件下土體固結速率小于Xie解答下的土體固結速率，但在固結中后期，連續排水條件下固結速率在Xie單面和雙面排水條件之間變化，值越大越接近于雙面排水，越小越接近于單面排水. 當r取值較大時，連續排水邊界條件得到的固結曲線與Xie雙面排水得到的固結曲線相近;而當r取值較小時，連續排水邊界條件得到的固結曲線與Xie單面排水得到的固結曲線幾乎一致，這表明Xie解答的固結初期較快，而基于連續排水邊界所得解答后期固結更快. 對于實際工程而言，當排水邊界參考連續排水邊界模型進行設計時，可以通過調整r取值來設計實際工程中需要的固結排水速率.

在控制其他條件不變的情況下，圖7分析了土體滲透系數對孔壓曲線的影響. 從圖中可以看出，如果上土層孔壓消散慢則下土層孔壓消散速度快，反之上土層孔壓消散快則下土層孔壓消散慢，即滲透系數對孔壓的影響在上土層和下土層表現相反. kv02 /kv01比值越大表明上土層滲透系數相對于下土層滲透系數變小，對于上層土，孔壓隨比值kv02 /kv01的增大而增大，即kv02 /kv01比值越大上層土的孔壓越難消散，說明上土層滲透系數相對于下土層滲透系數小時，上土層的孔壓越難消散;反之，kv02 /kv01比值越大下層土的孔壓越容易消散，說明下土層滲透系數比上土層滲透系數大時，下土層孔壓越容易消散. 這表明上下土層中滲透系數相對較大的土層其孔壓消散更快.

圖8分析了土體體積壓縮系數對孔壓曲線的影響. 從圖8中可以看出，瞬時荷載作用下，在上下土層滲透性大小相等的情況下，孔壓隨mv02 /mv01值的減小而減小，mv02 /mv01值變小表明下土層體積壓縮系數與上土層體積壓縮系數比值變小，即上層土壓縮模量與下層土壓縮模量的比值變小. 孔壓隨mv02 /mv01的減小而減小，表明上軟下硬型的地基超靜孔隙水壓力消散更快，該類土層固結更快.

5 ? 結 ? 論

本文基于Davis和Raymond土體一維非線性固結的假設，通過引入連續排水邊界條件推導出瞬時加載下雙層地基的一維非線性固結問題的解析解. 利用所得解析解，對雙層地基非線性固結進行分析，得到以下結論：

1）連續排水邊界條件下Us隨Nσ值的增大而增大，而Up隨Nσ值的增大而減小，說明利用Us計算地基固結度時，體積壓縮系數對固結速率起決定性作用，而利用Up計算地基固結度時，滲透系數對固結速率起決定性作用.

2）連續排水邊界條件下Nσ對Up的影響遠小于Xie所得解答下Nσ對Up的影響.

3）在固結初期，連續排水邊界條件下土體固結速率小于Xie解答下的土體固結速率. 但在固結中后期，連續排水條件下固結速率在Xie單面和雙面排水條件之間變化，r值越大越接近于雙面排水，r越小越接近于單面排水.

4）連續排水邊界條件下雙層地基一維非線性固結，Us大于Up，且兩者的差別隨著Nσ值的增大而增大.

參考文獻

[1] ? ?DAVIS E H，RAYMOND G P. A non-linear theory of consolidation[J]. Géotechnique，1965，15（2）：161—173.

[2] ? ?XIE K H，LI B H，LI Q L. A nonlinear theory of consolidation under time-dependent loading[C]//International Proceedings of the Second International Conference on Soft Soil Engineering. Nanjing： Hohai University Press，1996：193—198.

[3] ? XIE K H，XIE X Y，JIANG W. A study on one-dimensional nonlinear consolidation of double-layered soil[J]. Computers and Geotechnics，2002，29（2）：151—168.

[4] ? ?謝康和，周瑾，董亞欽. 循環荷載作用下地基一維非線性固結解析解[J]. 巖石力學與工程學報，2006，25（1）：21—26.

XIE K H，ZHOU J，DONG Y Q. Analytical solution for one-dimensional nonlinear consolidation of soil under cyclic loadings[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2006，25（1）：21—26.（In Chinese）

[5] ? ?施建勇，楊立昂，趙維炳，等. 考慮土體非線性特性的一維固結理論研究[J]. 河海大學學報（自然科學版），2001，29（1）：1—5.

SHI J Y，YANG L A，ZHAO，W B，et al. Research of one-dimensional consolidation theory considering nonlinear characteristics of soil[J].Journal of Hehai University （Natural Sciences），2001，29（1）：1—5. （In Chinese）

[6] ? ?LEKHA K R，KRISHNASWAMY N R，BASAK P. Consolidation of clays for variable permeability and compressibility[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2003，129（11）：1001—1009.

[7] ? ?李冰河，謝永利，謝康和，等. 軟粘土非線性一維固結半解析解[J]. 西安公路交通大學學報，1999，19（1）：24—29.

LI B H，XIE Y L，XIE K H，et al. Semi analytical solution of one dimensional non linear consolidation of soft clay[J].Journal of Xi'an Highway University，1999，19（1）：24—29. （In Chinese）

[8] ? ?李冰河，謝康和，應宏偉，等. 變荷載下軟粘土非線性一維固結半解析解[J]. 巖土工程學報，1999，21（3）：288—293.

LI B H，XIE K H，YING H W，et al. Semi-analytical solution of one dimensional non-linear consolidation of soft clay under time-dependent loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1999，21（3）：288—293. （In Chinese）

[9] ? ?謝康和，鄭輝，李冰河，等. 變荷載下成層地基一維非線性固結分析[J]. 浙江大學學報（工學版），2003，37（4）：426—431.

XIE K H，ZHENG H，LI B H，et al. Analysis of one dimensional nonlinear consolidation of layered soils under time-dependent loading[J].Journal of Zhejiang University （Engineering Science），2003，37（4）：426—431. （In Chinese）

[10] ZHUANG Y C，XIE K H，LI X B. Nonlinear analysis of consolidation with variable compressibility and permeability[J]. Journal of Zhejiang University（Science A），2005，6（3）：181—187.

[11] ?BARDEN L，BERRY P L. Consolidation of normally consolidated clay[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division，ASCE，1965，91（S 5）：15—35.

[12] ?MESRI G，POKHSAR A. Theory of consolidation for clays[J]. Journal of the Geotechnical Engineering Division，ASCE，1974，100（8）：889—903.

[13] ?POSKITT T J. The consolidation of saturated clay with variable permeability and compressibility[J]. Géotechnique，1969，19（2）：234—252.

[14] ?DUNCAN J M. Limitations of conventional analysis of consolidation settlement[J]. Journal of Geotechnical Engineering，1993，119（9）：1333—1359.

[15] ?王宏志，陳仁朋，周萬歡，等. 雙層地基一維非線性固結的DQM解[J]. 水利學報，2004，35（4）：8—14.

WANG H Z，CHEN R P，ZHOU W H，et al. Computation of 1-D nonlinear consolidation in double-layer foundation by using differential quadrature method[J].Journal of Hydraulic Engineering，2004，35（4）：8—14.（In Chinese）

[16] ?GRAY H. Simultaneous consolidation of contiguous layers of unlike compressible soils[J]. Transactions of the American Society of Civil Engineering，1945，110：1327—1356.

[17] ?SCHIFFMAN R L，STEIN J R. One-dimensional consolidation of layered systems[J]. Journal of Soil Mechanics and Foundations Division，ASCE，1970，96（4）：1499—1504.

[18] ?方開澤. 半透水邊界一維固結的特征值解法[J]. 水利學報，1989，20（3）：48—53.

FANG K Z. Eigenvalue method for one dimensional consolidation of soil with impede boundary[J]. Journal of Hydraulic Engineering，1989，20（3）：48—53.（In Chinese）

[19] ?梅國雄，夏君，梅嶺. 基于不對稱連續排水邊界的太沙基一維固結方程及其解答[J]. 巖土工程學報，2011，33（1）：28—31.

MEI G X，XIA J，MEI L. Terzaghis one-dimensional consolidation equation and its solution based on asymmetric continuous drainage boundary[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2011，33（1）：28—31. （In Chinese）

[20] ?蔡烽，何利軍，周小鵬，等. 連續排水邊界下一維固結不排水對稱面的有限元分析[J]. 巖土工程學報，2012，34（11）：2141—2147.

CAI F，HE L J，ZHOU X P，et al. Finite element analysis of one-dimensional consolidation of undrained symmetry plane under continuous drainage boundary[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2012，34（11）：2141—2147. （In Chinese）

[21] ?LIU J C，LEI G H. One-dimensional consolidation of layered soils with exponentially time-growing drainage boundaries[J]. Computers and Geotechnics，2013，54：202—209.

[22] ?WANG L，SUN D A，LI P C，et al. Semi-analytical solution for one-dimensional consolidation of fractional derivative viscoelastic saturated soils[J]. Computers and Geotechnics，2017，83：30—39.

[23] ?WANG L，SUN D A，QIN A F. Semi-analytical solution to one-dimensional consolidation for unsaturated soils with exponentially time-growing drainage boundary conditions[J]. International Journal of Geomechanics，2018，18（2）：04017144.

[24] ?WU W B，ZONG M F，EL NAGGAR M H，et al. Analytical solution for one-dimensional consolidation of double-layered soil with exponentially time-growing drainage boundary[J]. International Journal of Distributed Sensor Networks，2018，14（10）：1—11.

[25] ?宗夢繁，吳文兵，梅國雄，等. 連續排水邊界條件下土體一維非線性固結解析解[J]. 巖石力學與工程學報，2018，37（12）：2829—2838.

ZONG M F，WU W B，MEI G X，et al. An analytical solution for one-dimensional nonlinear consolidation of soils with continuous drainage boundary[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2018，37（12）：2829—2838. （In Chinese）

[26] ?田乙，吳文兵，蔣國盛，等. 連續排水邊界下分數階黏彈性飽和土體一維固結分析[J].巖土力學，2019，40（8）：3054—3061.

TIAN Y，WU W B，JIANG G S，et al. One-dimensional consolidation of viscoelastic saturated soils with fractional order derivative based on continuous drainage boundary[J]. Rock and Soil Mechanics，2019，40（8）：3054—3061.（In Chinese）

[27] ?李稱，吳文兵，梅國雄，等. 不同排水條件下城市固廢一維降解固結解析解[J]. 巖土力學，2019，40（8）：3071—3080.

LI C，WU W B，MEI G X，et al. Analytical solution for 1D degradation-consolidation of municipal solid waste under different drainage conditions[J]. Rock and Soil Mechanics，2019，40（8）：3071—3080. （In Chinese）