高考立體幾何空間角解題技巧探討

陳偉堅

廣東省連州市連州中學 廣東 連州513400

1 引言

高中數學教學中,對學生數學核心素養的培養是通過學科教學來引導學生用數學的眼光觀察世界,能夠用數學思維來思考世界,并學會用數學語言表達世界。在高中數學中,立體幾何是重要的一部分內容,通過立體幾何教學來培育和發展高中生的數學學科核心素養是有效的途徑。近幾年的高考試卷中關于立體幾何的題目類型呈現多樣化特征,有選擇題、填空題、解答題,既包括對空間幾何的概念、空間想象能力和運算能力的考察,還包括對線線關系、線面關系和面面關系等邏輯推理能力的考察。在立體幾何題目中,空間幾何角計算是近幾年高考立體幾何的必考內容之一。這部分內容既是重點又是難點,每年山區連州考生在這部分題目中整體得分較低。為了幫助高中生更好地掌握和解決立體幾何空間角問題的能力,本人對這部分內容進行了分析和研究。

2 空間角例題分析

例題1(2019高考全國Ⅲ卷理數):圖1所示為矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿著AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,得到圖2。

(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小。

例題解析:

(1)根據已知條件可以知道AD//BE,CG//BE,因此可以得到AC//CG,故AD和CG兩條平行線可以確定一個平面,即A,C,G,D四點共面。

根據題目條件AB⊥BC,AB⊥BE,因此AB⊥平面BCGE。又因為AB∈平面ABC,因此可以得到平面ABC⊥平面BCGE。

因此,二面角B-CG-A的大小為30°。

例題1考察了多面體折疊,學生需要考慮在折疊的過程中變化的量,以及不變的量,然后通過建立坐標系,采用向量解法將二面角轉化為二面角的平面角進行求解。

3 一題多解方法探究

在立體幾何空間角的解題過程中,通常可采用不同的解題思路和方法。以二面角大小求解為例,通常可分為兩種情況,一種情況是直二面角,另一種情況是非直二面角。

當二面角是直二面角時,一般是采用幾何求證來解題,依據是直線與平面垂直的判定定理,通過確定面面垂直來得到所求的二面角的大小。

當二面角是非直二面角時,可采用以下幾種方法進行解題。

第一種方法是利用二面角的定義,即通過證明某角為二面角的平面角。通常題目中找不到現成的,因此一般需要通過三垂線定理做輔助線,然后再計算。

第二種方法是利用二面角的余弦值來進行解題。只要找到射影圖形并計算出某一個半平面在另一個半平面的射影面積和該平面面積的比值,即計算出二面角的余弦值。這種方法計算量較大,但是不需要找出兩平面的平面角。

第三種方法是先找出二面角的一個面內一點到另一個面的垂線,然后利用三垂線定理作出平面角,直接找不到垂線需要根據題目已知條件作出點到面的垂線。

第四種方法是利用向量來求解,這是相對萬能的一種方法,是上述傳統解題方法的補充,通常在一些無從下手比較困難的二面角解題中應用。在實際的應用中,向量法又可以分為兩種情況。一種情況是先做出二面角的平面角,然后利用向量的內積公式來進行解題。另一種情況是分別做出兩個半平面的法向量,然后根據向量夾角公式進行解題。解題中,學生們要注意向量夾角不一定是二面角,還可能是二面角的補角。

4 結語

如今,新課程改革已經全面進入實施階段,高中數學教學必須僅僅圍繞核心素養培養的理念,以發展學生數學學科核心素養為導向實施教學。本文結合高考例題對高中立體幾何空間角這一重點和難點進行了分析研究。通過用一題多解的方法幫助高中生建立空間思維,使考生能夠在面對這部分題目時能更順利地解題,提升學生的數學核心素養。通過對立體幾何的學習,引導學生建立數學思維,用數學的知識規律來解決問題。