多段壓裂水平井產能預測常用解析模型適用性與精度分析

田 剛，蘭正凱，陳 昂，馬明偉

(1.中國石油新疆油田分公司工程技術研究院，新疆 克拉瑪依 834000；2.南京特雷西能源科技有限公司，江蘇 南京 210000；3.中國地質大學(武漢)資源學院，湖北 武漢430074)

近年來，石油行業對非常規油氣田(如致密油、頁巖氣等)開采的技術需求越來越大，而這種油氣藏基質的滲透率往往都比較低，為了達到一定的開采效能，在工程上不可避免地要使用壓裂的方法來提高水平井的產量和油氣藏的采收率[1-3]。因此，水平井壓裂后的產量預測與模擬的工作逐漸成為油藏工程研究人員的研究重點。

非壓裂水平井的解析公式目前已經發展成熟，主要包括JOSHI公式[4-5]、BORISOV公式[6]、GIGER公式[7]、陳元千公式[8]、RENARD-DUPUY公式[9]等。這些產能公式通過將三維流動轉換為二維流動，基于復勢疊加原理和鏡像反映原理進行數學推導而得[10]，通過解析公式對水平井產能進行快速粗略的估計，在現場開發中具有重要意義[11-13]。對于多段壓裂水平井，一部分學者開始在非壓裂水平井產量公式推導的基礎上，進一步得出一定條件下水平壓裂井產量的解析解公式，如郎兆新等[14]假設壓裂水平井每條裂縫產量相同、間距相同且穿透整個油層，利用位勢理論和疊加原理，推導得出了多裂縫水平井的穩態產量公式；范子菲等[15]假定油藏為各向同性，將矩形油藏通過保角變換成橢球體油藏，進而推導出水平壓裂井的穩態產量為裂縫的條數、平均長度、平均開度、油藏邊界尺寸、基質滲透率等函數；苗和平等[16]將模擬范圍擴大到生產初期的非穩態階段，即將壓裂水平井的產量分為初期、中期和后期三期求解，其中初期采用數值求解方法，中期和后期采用解析解形式求得。這三種解析模型在現場應用中最為廣泛，但需要注意的是，上述幾種模型都是基于若干理想化的假設條件和一定的簡化處理得出的，其預測結果與真實值必然存在一定誤差，需要通過具體計算和對比得出各個模型的適用性。

本文選取了廣泛應用的郎兆新方法、范子菲方法和苗和平方法進行整理分析，通過商業模擬軟件建立數值模擬模型，從裂縫參數、油藏屬性參數、水平井參數等方面，剖析了這三種方法在各種條件下的適用性與精度。本文研究結果對非常規儲層多段壓裂水平井產能預測解析模型的選擇具有指導意義。

1 壓裂水平井產能預測解析模型

1.1 郎兆新方法

假設壓裂水平井每條裂縫產量相同、間距相同且穿透整個油層，利用位勢理論和疊加原理，郎兆新等[14]推導出了多裂縫水平井的穩態產量公式，產量Q計算見式(1)。

(1)

式中：K為基質滲透率，mD；h為油藏厚度，m；N0為中間產量，計算見式(2)；ΔP為油藏的生產壓差，MPa，計算見式(3)；d為井距(兩相鄰裂縫間距)，m；Lf為單條裂縫的半長，m；R為油藏供給半徑(圓柱體或矩形油藏)，m。

(2)

Δp=pe-pwf

(3)

式中：Nf為裂縫條數；pe為油藏邊界處壓力，MPa；pwf為生產井的井底流壓(中間裂縫與水平井段交界點處壓力)，MPa。

1.2 范子菲方法

范子菲等[15]導出的水平壓裂井的穩態產量Q計算見式(4)。

(4)

式中：Kh為水平滲透率，mD；Kf為裂縫滲透率，mD；B0為原油體積系數；L為水平井長度，m；rw為水平井井半徑，m；Lf為Nf條垂直裂縫的平均長度，m；bf為其平均開度，m。a×b×h為油藏邊界(邊界a平行于裂縫延伸方向，矩形油藏)，與垂直裂縫平行的兩側為恒壓邊界(壓力為pe)；ω1計算見式(5)。

(5)

1.3 苗和平方法

郎兆新方法和范子菲方法主要針對穩態條件下壓裂水平井的產量解析解模擬；苗和平等[18]將模擬范圍擴大到生產初期的非穩態階段，即將壓裂水平井的產量分為初期階段、中期階段和后期階段三期求解，其中初期采用數值求解方法，中期和后期采用解析解形式求得。

初期階段，壓裂后各條裂縫由各自臨近油層區域內供給，各區域互不干擾，可認為裂縫均為無窮大邊界生產。假設每條裂縫產量相同、間距相同且穿透整個油層；對油藏及裂縫進行網格劃分，利用五點隱式差分方法對油相滲流方程寫做式(6)。

(6)

式中，Cx和Cy2,j計算見式(7)。

(7)

對于初期產量，可以將生產期t與供給半徑R(t)關系，用壓力降邊緣半徑R(t)隨時間的關系計算，見式(8)。

(8)

式中：CL為液體壓縮系數，MPa-1；Cf為巖石壓縮系數，MPa-1。水平井產量也可用各裂縫產量之和表示，用上述數值計算結果求出。

中期階段，裂縫之間發生相互干擾，這時各個裂縫的產量都將發生變化。此時要計算出周邊油層任意時刻流入各縫臨近區的流量，臨近油層的總采出產量計算見式(9)。

(9)

每條裂縫的產量根據穩定滲流公式計算見式(10)。

(10)

后期階段，油藏無窮大邊界供給與生產井生產達到平衡時，地層基本上為穩定滲流，可利用等值滲流法求出每條裂縫的產量見式(11)。

(11)

式中：b(m)×h(m)為油層的垂直斷面尺寸；Lf(m)×hf(m)為裂縫斷面尺寸；其他參數所表示的物理量與前述相同，各物理量均采用SI單位制。

2 壓裂水平井數值模型

通過商業數值模擬器(eclipse)對壓裂水平井在真實地層中的產量變化進行了數值模擬，進而分別與郎兆新方法、范子菲方法和苗和平方法進行對比，揭示這些穩態解析解公式在油藏生產模擬中的適用性。

如圖1所示，網格模型是基于塊中心網格建立。模擬的油藏區域為長×寬×高為10 km×10 km×1 km方形油藏。裂縫采用不等間距網格來進行刻畫，其中，X方向的網格大小為0.01～330 m，Y方向的網格大小為5～625 m，Z方向的網格大小為100～150 m；建立的模型網格尺度為49×19×9=8 379。模擬的生產井水平段的長度為1 000 m，水平段共壓裂10段。考慮到解析模型的假設條件，數值

圖1 多壓裂水平井數值模擬模型Fig.1 Numerical model set up for multistage hydraulic fracturing horizontal well

模型中的裂縫均勻分布在水平井段上，裂縫半長均為25 m，主裂縫寬度為0.01 m。模擬為一次采油單相生產(無注入過程)，模擬時間2年，時間步長為1個月。模型基本物性參數見表1。為了便于數值模擬與解析解模擬結果的比較，上述數值模型均采用油單相穩態形式進行模擬。

表1 油藏壓裂水平井數值模擬基本參數表Table 1 Basic input parameters for the numerical model

3 解析解與數值模擬結果對比

考慮到流體自身的重力水頭損失(H)、流體流動與井筒內壁發生的摩擦效應(F)和裂縫中流體匯入水平井段可能產生的加速度效應(A)[17]，本文還采用了多段井模式，將水平井從已劃分的油藏網格中剝離出來進行分段模擬，進一步比較壓裂水平井在油藏、水平井、裂縫的不同參數和尺度范圍內數值解與解析解的關系。考慮上述附加三效應(HFA)，并將水平井按照井段所在網格與新分井段一一對應的關系進行多段井的構建。模擬中，設井筒壁面粗糙度為0.001 m。

3.1 裂縫參數

在壓裂水平井的產量模擬中，描述壓裂后產生的裂縫的主要物理量有裂縫的滲透率、裂縫開度、裂縫延伸長度、裂縫間距、開裂的條數等。其中，穩態解析解模型對于裂縫分布的限制較多，如裂縫垂直均勻分布在水平井段上(裂縫與水平井段正交，裂縫間距相同)、裂縫貫穿地層(裂縫開裂深度與地層厚度相等)。表2～表4是裂縫滲透率、裂縫長度和裂縫條數在一定變化范圍內變化時的數值模擬結果與解析解結果比較。在計算過程中，通過數值模擬輸出的壓差作為解析解計算的已知量，計算后得到的結果與初設的已知產量進行對比，其中，表2～表4解析解模擬結果后面括號中的值是解析解相對數值解模擬結果的相對誤差。

表2 裂縫滲透率(裂縫開度)變化時對比結果Table 2 Model comparison for different fracture permeability(fracture width)

表3 裂縫長度變化時對比結果Table 3 Model comparison for different fracture length

表4 裂縫條數(裂縫間距)變化時對比結果Table 4 Model comparison for different fracture numbers (distance between each fracture)

通過對比結果可以發現，當滲透率較小時，郎兆新方法的計算結果大大高估實際產量；當滲透率較大時，苗和平方法的計算結果大大高估實際產量;而范子菲方法的計算結果在模擬滲透率范圍內相對誤差較小，擬合效果更好。將三者的解析表達式放在一起進行比對后也可以發現，范子菲方法對于裂縫分布和開展狀態的描述更豐富，考慮因素更全面，失真程度更低。此外，多段井模擬時各項生產壓差均在一定程度上高于普通井模式，其中，有部分算例為了保證穩態生產，使得油藏產率降低，自然多段井帶來的附加效應影響也將減少。

3.2 油藏屬性參數

壓裂水平井的產量同樣與描述油藏和基質物性(滲透率與孔隙度)相關。大尺度油藏的供給量更大，水平井的產量在相同壓差下也就更高。對于多孔介質來說，滲透度與孔隙度呈正相關關系，兩者都影響著油藏允許流體通過的能力，即油藏供給能力。以下就油藏厚度、油藏尺度以及基質物性等三個物理量在不同取值范圍條件下進行模擬比較，對比結果見表5～表7。其中，裂縫長度取50 m，其余參數均和前述模型相同。模擬結果表明，油藏厚度變化對郎兆新方法和范子菲方法的計算誤差影響小，而在油藏厚度較小時，苗和平方法的計算誤差大。油藏尺度的變化對三種方法的計算結果影響都相對較小，特別是范子菲方法，其計算誤差在10%以內。油藏滲透率的影響中，在致密儲層，郎兆新方法的計算結果偏小，誤差達到70%以上，范子菲方法和苗和平方法的計算結果相對可靠；在低滲儲層(1 mD)，苗和平方法會大大高估實際的產量，誤差達到了170%。

表5 油藏厚度變化時對比結果Table 5 Model comparison for different reservoir thickness

表6 油藏尺度變化時對比結果Table 6 Model comparison for different reservoir size

表7 基質滲透率(孔隙度)變化時對比結果Table 7 Model comparison for different matrix permeability (porosity)

3.3 水平井參數

壓裂水平井水平段長度模擬與解析模型計算的結果見表8。由表8可知，郎兆新方法的預測結果與數值模擬的結果最接近，但是采用多段井模擬結果與常規井模擬結果在水平段較長時出現了明顯的差異。當水平段為1 000 m時，多段井模擬結果的壓差比常規井的模擬結果有超過1 MPa的差異。但是解析模型多段井模擬的結果擬合更好，這體現出了解析解對HFA三效應產生的額外壓降有較好的適應。

表8 水平井長度變化時常規井與多段井模擬結果Table 8 Model comparison for different well length by using conventional well and multi-stage well modes

為了進一步探究三效應在附加壓差中各自的貢獻大小，從Eclipse模擬器在多段井模擬條件下對HFA三效應的定義以及數值模擬的實例進行討論。

對于H(Hydrostatic)效應，Eclipse模擬器只強調流體由于重力作用導致的混合，在水平井段中間，這種效應可以忽略。

對于F(Friction)效應，Eclipse中對其帶來的附加壓降有這樣的計算表達，計算見式(12)～式(14)。

(12)

(13)

其中，

(14)

式中：2 000≤Re≤4 000，f通過線性內插法求得；cf=4.343×10～15；cr=0.014 74；f為曼寧系數；l為水平井段長；為流體密度；D為井筒內徑；Qq為局部流量(段內流量)，m3/d；e為井筒壁面粗糙度(算例中0.001 m)；μ為流體黏度，cP；Re為雷諾數。其他物理量均采用SI單位制。由此可以看出，摩阻對生產壓差的影響與流體在井筒內流態通過雷諾數相關聯，特別是當基質供給量較大時，水平井各段射孔匯流量較均勻，一定程度上加大了流體在井筒內的混合程度，流態趨于湍流化，附加壓差較大。

對于A(Acceleration)效應，Eclipse中對流速水頭損失的描述見式(15)。

(15)

式中，cf=2.679×10～15；ω為流體質量流速，kg/s；A為水平井井筒匯流面積，m2；μ為流體黏度，cP。

從上述表達式可以分析得出，當基質供給量較大時，水平井前后段流速差異小，流速水頭較小。由表9可知，當水平井長度增加時，由于流體與井筒壁面的接觸面積增大，摩阻對生產壓差的影響增長顯著，而流速水頭帶來的附加壓差影響很小。

表9 水平井長度變化時多段井模擬三效應影響Table 9 Effects of horizontal well length on HFA by using multi-stage well mode

4 結 論

1) 目前較成熟的壓裂水平井產量解析解公式都是基于經典的“雙孔雙滲”模型展開的，其理論基礎是達西公式和平面徑向流假設。各類解析模型的差異主要是對于基質和裂縫中流體向水平井段的流動過程的處理方法不同而造成的。其中，郎兆新方法和苗和平方法都只考慮了裂縫對生產的貢獻；而范子菲方法則分別考慮了基質和裂縫對生產的貢獻，最終通過匯流面積得出的權重進行產量的分配。

2) 對于各向同性的單相常規儲層而言，解析公式僅能在一定油藏尺度及參數范圍內預測壓裂水平井的穩態產量，但不適用于全部。因為解析解模型需定義在嚴格的達西流條件下，即產量與生產壓差成線性關系，但實際數值模擬時滲透率和壓縮系數也都與生產壓差相關，這種耦合關系需要數值迭代來完成，所以會造成一定的模擬誤差。

3) 每個解析解公式都會有各自的擬合最佳尺度和參數范圍。從模擬結果上看，在低滲致密儲層中，范子菲方法和苗和平方法預測精度較高，而范子菲方法在擬合水平井長度和裂縫參數上也具有一定的優勢。