線性參數變化系統建模與控制研究進展

王東風 朱為琦

由于工業過程固有的非線性,當線性模型無法準確描述過程的動態特性時,使用單一的線性模型設計的控制器的性能會大大縮減.工業過程中,經常遇到工作點由于經濟考慮或環境變量的變化而不可避免地發生變化,從而改變了工業過程的動態特性[1?2].通常,由質量、動量、能量守恒等構建的機理模型可以描述非線性過程的全局特性.然而,由于機理建模的復雜性和難度,導出的模型通常是非線性的并且難以求解,這使得控制器的設計非常復雜,甚至是不可行的.因此,眾多學者在尋找描述非線性過程的相對簡單的模型結構方面已經做出很大努力.

上世紀90年代,變增益控制技術理論逐漸成熟,但該技術局限于控制器參數的開環改變,沒有來自閉環系統性能的反饋作用,并且缺乏嚴格的穩定性理論證明.為此,Shamma 等[3]提出了LPV系統,解決了傳統變增益控制技術不足,更重要的是可以從理論上證明系統的穩定性.在眾多文獻的結果中,線性參數變化(Linear parameter varying,LPV)模型由于其線性的模型結構和良好的描述復雜非線性系統的能力而引起了許多研究者的關注[4?7].由于LPV 描述具有線性模型結構,因此可以使用成熟的線性控制理論進行控制器設計.通常選取一個或多個可測或可計算的時變信號作為可以反映系統動態特性的調度變量.LPV模型可以看作是介于線性模型和非線性模型之間的一種模型描述,它既具有簡單的線性結構,同時它的時變模型參數使之具有精確描述非線性或時變系統的能力[8].目前,LPV系統的研究已成為國際學術界的一項重要熱點領域.然而,隨著LPV 理論研究的不斷深入,對于LPV系統的辨識方法的研究卻十分有限,對于實際過程中普遍存在的問題(時滯系統、多率系統等)較少關注;控制系統的保守性高,計算量大,系統復雜等問題凸顯;雖然LPV 對非線性系統具有精確的描述能力,但其目前的應用卻主要在于航空航天、車輛控制等領域,LPV 的研究仍然存在著巨大的潛力.

本文旨在對LPV 的基本結構、辨識方法、控制理論及其應用領域等方面的發展現狀,進行較為全面的總結,重點綜述LPV的一些代表性改進工作和應用研究,并指出LPV在多方面的若干進一步的研究內容.

1 LPV系統的模型描述

LPV 模型的參數是時變的,在一定的模型結構下,其參數通常表示為可測量調度信號的多項式函數,便能夠充分表達系統的非線性.多數采用的是狀態空間模型(LPV-SS(Sterte space))和輸入輸出模型(LPV-IO(Input output))兩種結構形式.其中連續LPV-SS模型通常描述為

式中,x(t)為狀態向量,y(t)為輸出向量,u(t)為輸入向量,ρ(t)為調度變量.

離散LPV-SS模型通常描述為

式中,x(k)為狀態向量,yyy(k)為輸出向量,uuu(k)為輸入向量,ρ(k)為調度變量.

在上述模型(1)和模型(2)中,當調度變量為系統的狀態變量時,該模型則稱為準LPV 模型.

對于輸入輸出模型,一般針對的是帶隨機干擾的離散時間最小二乘結構形式,離散LPV-IO模型通常描述為

式中,y(k)為k時刻的輸出,u(k)為k時刻的輸入,na和nb分別為模型的自回歸部分和滑動平均部分的階次,ξ(k)代表均值為零方差有限的白噪聲,ρ(k)為調度變量.

通常,根據控制對象的特性來選擇LPV-SS或者LPV-IO模型.對于系統特性認識清晰,可通過機理分析建立系統模型的被控對象,通常采用LPV-SS模型,如文獻[2,4,6,9?13],而對于系統機理特性不夠明確的被控對象,如果能夠定性的認識影響對象特性的主導參數,通常根據其輸入輸出數據辨識得到LPV-IO模型,如文獻[1,5,7?8,14?17].在LPV-IO模型中,一些學者將LPV 模型與現有的一些特殊模型結構相結合,分別提出了LPV Box-Jenkins模型[14],LPV-ARX模型[5],LPV-FIR模型[15],LPV-OE模型[16]和LPV-HoKalman 模型[17].

2 LPV 系統的建模方法與參數辨識

2.1 局部建模方法

局部建模方法最為常見且應用最為廣泛,目前多用于航天、能源等領域.LPV系統的模型結構主要依賴于調度變量,當調度變量為固定值時,該模型可以看作是一個線性時不變(Linear time-invariant,LTI)系統模型.根據這個思想,局部建模一般先采用機理建模方法,得到對象的動力學方程,然后選取一定的工況點線性化,得到一組固定參數的LTI 模型集,然后對該模型集進行插值,最終得到LPV模型,代表性的有文獻[9?12].該建模方法要求熟悉實際過程中所涉及到的基本定律,需要對系統有全面的了解.Marcos等[17]分析了3種由系統線性模型轉換為LPV模型的方法:雅克比線性化(Jacobain linearization)、狀態變換(State transformation)和方程替換(Function substution),其中雅克比線性化方法最為普遍.

常用的插值方法有參數插值策略[18]和輸出插值策略[19].Chen 等[20]考慮了具有不確定調度變量的非線性系統的局部辨識問題,引入狀態空間模型來描述調度變量和測量過程變量之間的函數關系.將期望最大化(Expectation maximization,EM)算法和粒子濾波器用于處理辨識問題.該方法在文獻[21]中進行了擴展,以處理多個相關的調度變量.Mercere等[18]對換熱器建立LPV模型,采用參數插值策略,將LPV 模型參數寫為調度變量的多項式函數,利用預測誤差方法辨識局部模型,并通過求解最小二乘問題來計算參數多項式函數的系數.但是,參數插值策略要求所有局部模型具有相同的模型結構類型,并且通過參數插值獲得與局部模型結構相同的全局LPV 模型.LPV 域中不同模型類型之間的轉換可能導致參數估計的偏差和困難,同時參數多項式函數的高階次也會增加估計的難度.Xu等[22]提出了一種具有輸出插值策略的局部LPV辨識方法,根據若干工作點處的數據建立局部模型,使用由過程數據估計出的加權函數來組合不同工作點處的局部模型.

2.2 全局建模方法

盡管局部建模方法的操作方便,但是很多工業過程不允許調度變量或工作點在長時間內保持不變,以保證能夠收集足夠的數據來進行局部模型辨識和解決模型過渡期的逼近和平滑問題.同時,局部工作點的選擇,以及插值引起的過渡區間的逼近誤差等,可能極大地影響局部建模方法的性能[23].為了避免這些問題,全局建模方法提供了一個很好的替代方案,并且可以生成一個能夠準確描述整個工作范圍內系統動態的模型.在全局方法中,調度變量在整個調度空間中變化,并且全局LPV 模型參數函數的系數是直接從所有采集到的過程數據估計的.因此,近年來全局建模方法得到了廣泛的關注[13?14,24?25].全局建模方法需要使用所有采樣時刻的輸入輸出數據和調度變量數據,這意味著需要在整個過程中對系統進行持續激勵.因此,Bamieh等[26]根據輸入和參數軌跡,給出了系統持續激勵的基本條件.在此基礎上,Bamieh 等[27]提出了一種全局LPV模型參數辨識方法,使用最小二乘法和遞歸最小二乘法來估計模型參數.Zhao等[28]將預測誤差方法擴展到LPV系統辨識,通過使用數值優化算法優化預測誤差函數來估計加權函數的參數.Golabi等[29]提出使用貝葉斯方法來辨識LPV模型.Marcos等[17]提出了一種具有靜態仿射依賴結構的LPV 離散時間狀態空間模型的全局辨識方法,并提出了一種基于LPV-HoKalman 的模型降階方案.Wingerden等[30]提出了一種在開環和閉環條件下仿射參數依賴的LPV 系統的子空間模型辨識方法.Paijmans等[14]提出了一種在有色噪聲情況下辨識LPV-OE模型和LPV-BJ模型的最優精選工具變量方法.Cerone等[31]考慮輸出和調度參數的測量都受有界噪聲影響時的線性變參數模型的辨識問題,將參數不確定性區間的計算問題轉化為非凸優化問題,采用半定優化的方法來估計LPV 模型參數的不確定區間.

3 LPV 模型辨識的若干典型研究方向

目前,關于LPV的控制理論和工業應用的研究得到廣泛的關注,但在實際的工業應用中存在著諸如參數變化時滯,不確定量測或數據缺失,多率系統,魯棒參數估計等無法避免的問題,國內外學者對這些問題進行了細致的研究,提出了大量解決方案.

3.1 時滯系統的LPV模型辨識

時滯現象在工業生產過程中廣泛存在,時滯的存在會降低系統控制性能和穩定性,這就需要在系統設計時準確估計時滯參數.LPV 系統中的時滯多為定常時滯和參數變化時滯[32].現有的時滯系統辨識方法大多將模型參數和時滯參數分開辨識,而時滯參數估計誤差極大的影響著系統的模型精度和控制性能.Jin等[33]將期望最大化算法(EM)引入LPV 模型辨識,通過極大似然方法(ML)辨識模型未知參數.在此基礎上,Yang 等[34]采用EM算法對具有變參數時滯和定常時滯的LPV系統進行多模型辨識,同時處理該過程的參數變化特性和時滯特性.Yang 等[11]考慮了具有輸出誤差(Output error,OE)的單輸入單輸出時滯系統的LPV模型參數估計問題.采用多模型LPV 結構,使用全局最大法為每個工況點估計出具有外部輸入的自回歸(Auto-regressive model with extra inputs,ARX)時滯模型,再根據這組模型和輸入輸出數據,采用極大似然法來辨識全局LPV-OE模型.

3.2 帶有不確定量測或數據缺失系統的LPV 模型辨識

實際工業過程中,系統數據的測量和采集往往由于多種原因出現缺失或誤差較大,這就導致難以獲得準確的系統模型.現有的研究成果大多采用局部辨識方法來處理具有不確定量測或數據缺失的LPV 系統.Gopaluni等[35]等提出了一種非線性過程辨識方法,當系統的部分輸出數據缺失時,通過使用EM算法用于處理丟失的數據,結合粒子濾波器,推導得到LPV 模型.Deng 等[36]在預先選擇的工作點上確定幾個局部非線性模型,并通過用歸一化指數函數插值局部非線性模型,從而獲得系統的全局LPV 模型.Yang 等[10]采用廣義最大期望(GEM)算法來處理該問題,采用多模型LPV結構,通過局部模型來獲得有限脈沖響應(FIR)LPV 模型.為了減輕潛在的過度參數化問題,通過FIR 模型進行先驗估計,改良GEM算法對多模LPV-FIR 模型進行后驗估計.Liu等[37]研究了一類帶噪聲(不確定)調度變量的LPV-ARX模型的辨識問題.用ARX模型描述系統特性,用非線性狀態空間模型對噪聲調度變量進行建模,利用基于序列蒙特卡羅法(SMC)的粒子濾波器對不確定調度變量進行估計,在EM算法的框架下,根據輸出數據辨識LPV-ARX模型中的所有未知參數.

3.3 多率系統的LPV模型辨識

實際工業過程中,由于一些無法通過傳感器直接獲得的數據需進一步處理,或者由于過程中不同通道之間的特性差別較大等原因,使得系統中存在不同的采樣周期,產生了多率數據.現有的研究成果大多采用在線系統辨識方法.Yang 等[38]通過建立輸出誤差模型來解決LPV 雙速率系統辨識問題,該系統由于隨機的測量延遲導致低速輸出數據損壞.Yan等[39]研究了具有緩慢采樣輸出的系統的辨識,使用具有多模型結構的LPV 模型來解決該問題,將輸出誤差(OE)方法用于估計模型參數,提出了一種將過程知識與最終輸出誤差標準(FOE)相結合的工程方法來辨識系統參數.Hooshmandi等[40]解決了多率LPV系統的魯棒性和穩定性問題,考慮輸入延遲及實際參數和測量參數之間的誤差,為任意依賴于參數的LPV系統推導出新的穩定性條件.

3.4 LPV模型魯棒參數估計

實際工業過程收集的數據集通常并不理想,并且諸如異常值,缺失測量值和時間延遲等問題在工業過程中經常遇到并且是不可避免的[41?42].異常值可能是由傳感器故障、數據寫入或讀取錯誤,系統干擾、數據傳輸錯誤等引起的.異常值也可以是從過程分布模型中抽取的真實數據.當直接應用于具有異常值的數據集時,諸如線性平方方法、工具變量方法和極大似然方法(或EM算法)之類的傳統辨識方法可能遭受性能劣化.這是因為這些方法基本上在正常數據點和異常值上分配等效權重,從而導致參數估計的偏差甚至估計的模型無效.因此,在辨識過程中應特別注意處理異常值.Yang 等[43]為了處理過程建模中的異常值,用廣義期望最大化(GEM)算法來處理魯棒LPV 建模問題.在該算法中,噪聲建模采用學生氏t分布模型而不是使用傳統的高斯分布,通過GEM算法自適應地調整魯棒性.在此基礎上,Yang 等[44]討論了LPV 雙速率系統的魯棒全局辨識和快速速率輸出估計問題,其中輸出測量受到隨機時間延遲和系統外部因素的影響;給出了LPV雙速率模型,并利用拉普拉斯分布處理魯棒的全局辨識和輸出估計問題.在GEM算法框架中推導出用于估計所有未知參數和輸出數據的魯棒辨識算法,并且在辨識過程中自適應地處理輸出數據中的隨機時間延遲和異常值.

4 LPV 系統的控制

在過去十幾年中,國內外學者都將LPV 控制作為多變量系統的傳統增益調度的替代方案.增益調度是對大部分動態系統設計控制器的標準方法.它是一個通過一系列局部線性化的控制器進行插值而得到的全局控制器.這種方法的缺點在于工況點的選擇,不合理的工況點無法保證系統的穩定性和性能,尤其在調度變量快速變化時尤為明顯.采用LPV模型的增益調度控制技術與傳統增益控制先設計局部控制器,然后不停切換控制器的方式不同,該方法可以直接設計全局控制器,這樣能夠在選定的參數變化范圍內保證系統的穩定性和其他性能指標.

由于控制器基于動態的調度參數,可以自行調節,所以不必設計復雜的調度計劃.設計控制器時,先固定調度參數,為每一個線性系統設計控制器,最后的控制器必須依賴于調度變量ρ(t),連續狀態空間形式的控制器如下:

式中,x(t)為狀態向量,y(t)為測量輸出向量,u(t)為控制輸入向量,ρ(t)為調度變量.

隨著LPV 控制理論的不斷發展,保守性高,計算量大,系統設計復雜等問題凸顯出來,國內外學者對這些問題進行了細致的研究,提出了多種解決方案.

4.1 LPV魯棒變增益控制

雖然傳統的變增益控制已在實際工程應用中發揮著良好的效果,但該方法只能在所選擇的工作點上保證系統穩定,而不能保證在整個工作區間內有良好的穩定性和魯棒性.1994年,Apkarian等[45]為保證全局H∞性能,針對一類仿射參數依賴系統,提出一種魯棒變增益控制器,引起了學者們的廣泛關注.Bianchi等[46]提出基于LPV 系統的增益調度控制來解決質子交換膜燃料電池的穩定性和高性能需求問題,確保能源的高效轉換的同時避免了對聚合物膜的損害.Dabiri等[47]針對具有輸入飽和約束的離散時間LPV 系統,開發了一種增益調度狀態反饋控制器,提出一種特殊的控制器結構及相應的求解方法,并應用于匝道流量控制.Wang 等[48]針對離散時滯系統設計LPV 狀態反饋控制器,提出參數依賴的Lyapunov 函數H2/H∞性能標準,通過引入松弛變量,提出了改進的參數依賴的H2/H∞性能標準.Robert等[49]針對一類具有時變采樣周期的系統,提出以采樣周期為調度變量,設計一種H∞LPV 控制器,應用于T型倒立擺,該方法不僅極大的降低了系統的保守性并且簡化了系統的計算.Jiang 等[50]針對一類同時具有參數不確定性和外界干擾的非線性系統,設計連續時間多胞LPV 系統變增益H2/H∞輸出反饋控制.將滿足期望性能的混合目標魯棒動態輸出反饋控制問題轉化為線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)框架內的有限維凸優化問題,進一步降低了系統的保守性.

4.2 多胞LPV控制

對LPV系統設計控制器時,通常將問題轉化為求解調度變量ρ(t)的變化軌跡上的一組LMI,當在參數變化范圍內的所有LMI都有解時,才能保證系統穩定.然而,調度參數通常是連續變化的,這就意味著需要求解無窮個LMI,這顯然很難實現.將系統模型轉化為多胞結構便是一種有效的解決方案.多胞體集合屬于一個多頂點的凸集合,整個系統可以通過這些不同的頂點來描述.這樣,對于整個系統的分析可以轉化為對這些頂點的分析,即可以將求解無窮多個LMI 的問題簡化為求解有限頂點的LMI問題.Jabali等[51]采用不確定的多胞LPV模型,在期望的LMI區域內,利用極點配置約束來分配閉環系統的極點.基于系統的期望狀態軌跡,利用拉格朗日方程,建立了系統的不確定多胞LPV模型.通過求解LMI,推導出控制器的控制增益矩陣,使得H2/H∞混合性能滿足要求.但該方法需要用到大量的LMI,使得計算量較大.黃金杰等[52]等針對輸入電壓和輸出負載發生變化會影響Buck變換器動態特性的問題,建立了Buck變換器多胞LPV模型,同時引入多胞優化技術,基于LMI最優化的方法,利用狀態反饋將閉環系統的極點配置到滿足動態響應要求的特定區域,設計了一種基于多胞LPV 模型的Buck 變換器的魯棒變增益控制器.該方法極大地簡化了計算,易于實現,同時有較強的抑制干擾的能力,魯棒性更好.

4.3 切換LPV控制

實際情況中,一個LPV 系統往往具有較大的參數變化范圍,單一的控制器并不能夠保證系統的整體穩定性.通常將參數范圍進行劃分,每個區域設置單獨的控制器,通過控制的切換策略來保證系統的性能,由此,文獻[53]提出了切換LPV 的概念,能夠從理論上保證系統在整個參數軌跡上的魯棒性及全局穩定性,從而克服了傳統變增益控制中由插值或切換引起的穩定性問題.在此基礎上,Xie等[54]研究了具有參數不確定性的切換LPV 系統的模型參考自適應控制(MRAC)問題,設計了具有自適應律的切換LPV 控制器并給出了渦扇發動機MRAC的實際例子.Huang 等[55]提出了一種用于柔性吸氣式高超聲速飛行器(FAHV)的LPV 切換跟蹤控制方案.利用雅可比線性化和張量積(T-P)模型變換方法,構造了描述FAHV復雜非線性縱向模型的多胞LPV模型.為了降低控制器設計的保守性,將飛行包線劃分為4個子區域,并針對每個參數子區域設計了一個LPV控制器.然后切換這些LPV 控制器,以保證閉環FAHV 系統漸近穩定并滿足指定的性能指標.利用LMI 求解一個凸約束問題求得該控制器.由于是基于多重Lyapunov 函數,比使用多參數依賴的Lyapunov 函數具有更小的保守性.Zhu 等[56]考慮了切換LPV 系統的H∞跟蹤控制問題,提出了一種航空發動機的切換LPV 模型.將參數劃分為若干個子區域,為每個參數子區域設計LPV控制器,以滿足整體性能指標.該方法充分表現出LPV 系統在參數變化劇烈、大范圍飛行情況下的可靠性和靈活性.

4.4 LPV系統的預測控制

非線性模型預測控制在處理實際過程中的非線性特性時,發揮著良好的作用,但由于非線性模型預測控制在每個采樣時刻,需要求解一個非凸的非線性優化問題,在線計算量較大.而使用LPV 模型來描述系統,不僅能夠避免求解復雜的非凸非線性優化問題,而且仍可以使用傳統的模型預測控制方法設計控制器,這吸引了眾多學者的關注.Cao等[57]針對輸入飽和的多胞型LPV系統提出一種新的模型預測控制(MPC)算法.通過解決LMI的優化問題,提出了Min-Max MPC算法和一種增益調度MPC算法,用于設計參數依賴的控制器.該方法在減少每一步的LMI 計算量的同時,保證了系統的快速響應和魯棒性.Garone等[58]為了解決輸入飽和LPV 系統的反饋調節問題,提出了一種基于橢球體微積分和可行性理論的離線模型預測控制方法.為了減少傳統魯棒MPC方案的計算負擔和保守性,提出了一種通過優化狀態軌跡的線性調度控制律.Abbas等[59]針對輸入輸出LPV模型,提出一種魯棒模型預測控制器,將控制器設計問題轉化為求解LMI,并在連續攪拌反應釜實現應用.Li等[60]針對一類具有參數變化有界的LPV 系統,提出了反饋魯棒模型預測控制(FRMPC).基于有界的參數變化速率和當前系統參數,模型參數變化可以通過具有相同頂點數的多胞集合來描述.該方法對未來模型參數變化進行預測,能夠獲得更好的控制性能.但是LPV 預測控制中,多步控制集所對應的每一步橢圓集均采用參數增益調度控制律,使得在線計算量仍然較大.

4.5 LPV系統與T-S模糊控制

T-S模糊控制是一種模糊控制的重要設計方法,已經成為處理非線性系統穩定性分析及控制器綜合的有力工具.事實上,LPV 模型與T-S模型有著極其相似的結構,但是,LPV和T-S系統被視為屬于兩個不同的領域,對它們的研究都是獨立進行的,關于LPV 的文獻與T-S的文獻之間的交叉引用也非常少見.部分情況下,如果將前者的“隸屬度函數”視為后者的“調度函數”,則T-S系統可以描述為LPV 系統.從分析和設計的角度來看,很難發現兩者之間的明顯差異,甚至可將T-S看做是LPV的特殊形式,但LPV 和T-S系統之間的關系仍然沒有明確嚴格的描述.Rotondo等[61]比較了LPV模型和T-S模型之間的關系,嘗試建立兩者之間的聯系,嘗試將T-S模型轉化為LPV模型,不過只是在部分特殊情況下才能達成.Wu等[62]將LPV 模型與模糊控制理論結合,提出一種模糊LPV控制器來解決在稀燃點火發動機中存在固有時變延遲和模型參數的高度不確定性.Hu 等[63]研究了低于額定風速的風力發電系統(WTGS)的LPV T-S模糊增益調度控制.采用T-S模糊線性化方法處理WTGS的仿射非線性參數變化(ANPV)模型,得到了具有所需精度的LPV T-S模糊模型.考慮到最大限度的利用風能并減輕機械載荷,提出了基于LPV T-S模糊控制系統的H∞問題.通過引入參數依賴的分段二次Lyapunov 函數,提出輸出反饋H∞控制合成程序來處理該問題,通過LMI形式給出了充分條件.

4.6 LPV系統的故障診斷與容錯控制

故障診斷與容錯控制為保證工業控制系統的可靠性與安全性提供了一種有效方案.在第16屆地中海控制會議(16th Mediterranean Conference on Control and Automation)中,設立了基于LPV系統的故障診斷與容錯控制的專題,引起了學者廣泛關注.Cui等[64]針對一類狀態空間矩陣仿射依賴于時變參數向量的LPV 系統,提出了一種魯棒H∞故障估計器的設計方法,將故障診斷估計問題轉化為魯棒H∞控制問題,通過同時設計魯棒控制器和故障估計器來處理一類仿射參數依賴的不確定LPV系統.該方法在減少系統的保守性的同時降低了系統的復雜程度.Houimli等[65]提出一種改進型多胞LPV系統控制器處理執行器的狀態估計和故障檢測問題.利用LMI來計算設計控制器參數,降低了二次逼近的保守性.針對車輛半主動懸架系統中的阻尼器故障,基于LPV 控制策略,Nguyen等[66]提出了一種2步設計的容錯控制:1)通過使用基于未知輸入自適應觀測器的快速自適應故障估計(FAFE)算法來估計快速時變故障;2)根據所估計的信息,在半主動懸架的耗散區域進行調整,基于LPV和H∞的框架設計控制器.該方法保證了阻尼器的耗散性約束和系統的穩定性,保證了乘客的舒適性,具有良好的控制性能,并且易于實現.

5 LPV 模型與控制系統的應用領域

LPV 模型作為一種良好的非線性系統的描述方法,可以適用于眾多的領域.

5.1 航空航天領域

在航空航天領域,飛行器的高度、馬赫數、溫度等參數直接影響著系統動態性能.由于這種航空航天器的非線性特性,正適合用LPV 模型來描述[67?71].基于LPV 系統的變增益控制克服了傳統變增益控制的缺點,不僅減少了繁雜的前期工作,也使得系統的穩定性和性能分析在理論上變得簡單易用.大多飛行器都可將高度、馬赫數等作為調度變量,通過雅克比線性化的方法進行LPV建模.Tan等[72]通過狀態變換的方法得到一種通用導彈的準LPV模型.Li等[73]等得到渦扇發動機控制系統的準LPV模型及改進模型.Pang[74]針對高超聲速飛行器具有模型不確定性和參數不確定性、陣風干擾和大跨度機動飛行導致的系統參數劇烈變化等問題,在LPV系統框架內,將問題歸結為標準的H∞問題,根據多胞LPV 系統的特性,應用仿射參數依賴的Lyapunov 方法,得到了LPV魯棒變增益控制器,相較于傳統變增益控制器和定常控制器,具有更加良好的魯棒性和穩定性.Shao[75]基于魯棒性能約束和多目標進化算法,提出了魯棒LPV-PID變增益控制方法來處理變形無人機變形過程的控制問題,應用于在變形無人機的暫態控制,與輸出反饋控制器相比,不僅可以保證整個過程中的魯棒性和穩定性,而且提高了控制的精準性.

5.2 能源電力領域

LPV 控制系統在風力發電領域中有著廣泛的應用[3,76?85].通常將風速作為調度變量,通過泰勒展開公式,將轉矩通過風速、轉速和轉矩角等變量的多項式表示,從而得到線性模型,再通過插值得到LPV 模型.Inthamoussou 等[79]提出了一種采用有功功率控制(APC)的可變槳距風力渦輪機的新型LPV 控制器,同時考慮了抗飽和補償,使得控制器可以應用于整個風速變化范圍.采用標準解耦螺距和扭矩控制結構代替常規的多變量方法,從而易于實際應用.與采用LTI方法的APC對比,具有更加良好的調節速度和穩定性.Liu等[86]將LPV技術用于同步電機(SG)和柔性交流輸電系統(FACTS)的魯棒控制,通過在幾個工況點周圍使用多組線性化模型來增強轉子角度穩定性.相對于傳統的變增益控制器,在更大參數范圍內,優化了插值策略,提高了系統的可靠性,同時保證了系統的穩定性和魯棒性.但這種方法很大程度上取決于工況點的選擇,并且原始動力學也沒有準確的表示.在此基礎上,He等[87]得出了SG的多胞LPV 模型,只要參數保持在規定范圍內,就可以保證穩定性,具有很好的魯棒性.由于LPV模型包括調度變量的函數,導致模型復雜,難以應用于更復雜的情況.為此,Schaab等[88]通過導出SG的分散且精確的LPV模型來控制轉子角度.將電網內的變化和電力系統的SG之間的互連映射到參數范圍中,使得所得到的控制器對所考慮的電網變化具有魯棒性.Jabli等[89]提出一種基于不確定多胞LPV的電力系統建模和控制方法,使用參數集映射和主成分分析(PCA),將電力系統的極點配置在LMI區域中,使得電力系統的響應對于所有不同的振蕩模式具有適當的阻尼比,相較于其他建模方法更加便利,但計算量較大.

火力發電具有非常復雜的非線性,基于LPV模型的控制系統有著優良的表現,尤其在蒸汽溫度控制和鍋爐汽輪機協調控制中,由于系統狀態的變化往往取決于發電機組的變化這一特性,LPV 系統展現出特有的優勢.Wang 等[7]提出了一種以機組負荷為調度變量的過熱蒸汽溫度系統非線性模型辨識方法.利用歷史輸入輸出數據建立LPV 模型.在解決高維模型參數估計時,將演化加速因子引入量子粒子群優化算法中,對模型參數進行優化辨識.

5.3 車輛控制領域

在車輛控制領域,一般采用主動控制與LPV模型相結合,來解決車輛的穩定運行和轉角控制等問題[90?100].大多將車速、角速度等作為調度變量.Alcala 等[101]提出了一種基于Lyapunov 理論和LMI優化算法的車輛自動駕駛控制策略.為了得到最優的Lyapunov 控制器參數,基于LPV 系統模型,提出一種優化算法來解決LQR-LMI問題,最終確定控制器參數,所獲得的控制器與軌跡生成模塊一起負責車輛的自主引導.Cauet等[102]提出了一種混合動力電動汽車(HEV)傳動系統的持續諧波主動控制策略.主動控制適用于由單缸柴油發動機與永磁同步電機(PMSM)耦合組成的混合動力系統.將速度作為調度變量,通過對PMSM的扭矩控制證明了LPV 控制對減小發動機扭矩波動的適用性.Boshe等[103]采用基于LPV系統的主動控制策略來處理車輛轉向角飽和約束,通過最小化橫向位移和速度誤差來解決參考跟蹤問題.采用具有輸入飽和的LPV模型,同時考慮多胞和范數有界的不確定性,提出了一種基于LMI的矩陣分解方法,用于計算構造魯棒PID控制器參數的控制律增益矩陣,相較于傳統的主動控制策略,基于LPV 系統的主動控制策略具有更好的安全性和穩定性.

LPV 系統已廣泛應用于其他諸多領域,如高純度精餾塔[104]、異步電機[105]、磁軸承系統[106]、電液伺服系統[107]、船舶運動[108]、低溫余熱發電[109]等.

6 LPV 系統的未來研究展望

當前,LPV模型作為一種良好的非線性系統的描述方式,在國內外的研究已日益廣泛而受到重視.但是,仍有許多工作有待深入開展.

1)在LPV 系統建模時,如何合理地選取特征點是今后要重點研究解決的一個理論問題.現有的LPV系統建模過程,都對原非線性系統的特征點有嚴重依賴,但特征點的選擇目前仍主要依賴于經驗,沒有具體的理論或者系統的依據,過多的特征點使得計算量成倍增加.所以,如何選取合適的特征點值得深入研究.

2)現有的LPV 建模方法中都存在不足之處.例如函數替換法和狀態變換法等雖然與原始非線性模型近似程度高,但是調度參數不能自由選取,而且有的對系統的形式有特殊要求,不具備通用性;雅克比線性化方法雖然調度參數可以自由選取,但是在系統具有較強非線性時線性化誤差較大.一種通用而且建模誤差小的LPV 系統建模方法是完善LPV系統控制理論的基礎.局部建模方法中,研究降低模型過度區間的逼近誤差的新型參數插值策略是未來的研究課題之一;全局建模方法中,研究具有更高精度更高效率的模型辨識方法將是未來的一個研究方向.

3)時滯廣泛存在于各種實際的工業系統中.對于LPV 時滯系統,模型參數和時滯參數的聯合辨識問題還沒有得到很好的解決.分別針對輸入時滯、輸出時滯和狀態時滯的LPV 時滯系統參數辨識,以及模型參數和時滯參數的聯合辨識,將是今后的一個研究方向.另外,分別針對時滯獨立和時滯依賴的LPV 時滯系統的控制問題,尤其是后者,也是值得深入研究的,這方面的成果目前基本還是空白.

4)針對來自現場數據的辨識問題.由于數據的噪聲污染問題不可避免,因此,針對存在數據噪聲情況下,具有更強魯棒性的LPV 模型辨識問題仍然是未來需要關注的一項研究內容.

5)國內外在LPV 系統的理論研究方面仍然差距較大.國內對LPV 控制理論的研究起步較晚,多數集中于應用研究.理論研究方面,未來的工作需要重點關注:減小預測控制在線優化的計算量;降低多胞LPV 系統和切換LPV 系統在穩定性分析和控制器求解方面的保守性.國內外雖已取得了一定的成果,但仍然是未來的重要課題,也將是未來LPV系統研究的熱門課題.

6)LPV系統魯棒變增益控制的現有研究成果集中于H∞動態輸出反饋和狀態反饋控制,而狀態反饋由于實際系統中某些狀態不可觀測而限制了實際應用,輸出反饋與LTI系統的輸出反饋一樣,存在控制器階數過高的問題,從而限制了實際應用.因此,LPV系統的魯棒變增益控制如何克服實際應用中存在的問題是未來的重要課題,其中之一就是降低控制器階數的設計問題.

7)LPV 與T-S模糊系統具有相似結構,近年來,已有學者提出了一些兩者之間的轉換方法,但仍不具備通用性.對兩者之間的結構等價性分析,以及兩者之間轉化方法的深入探索,是未來的一個研究方向.

8)國內的應用研究的領域范圍較小,最早應用于飛行控制領域,而且一直在飛行控制領域應用的最多.在陸地上、水中和太空中運動的機器都可以通過變增益控制實現.然而,現有的文獻大多集中于航天、能源等幾個領域,LPV 系統在其他領域的應用有著巨大的潛力,因此,LPV系統的領域拓展具有廣闊的應用前景,如電池、發動機、船舶等領域將是未來的拓展方向.