提高儲層平均毛管力曲線計算精度的分形方法

李 競，朱國金，劉 晨，王興龍，王 龍.

(1.海洋石油高效開發國家重點實驗室，北京 100028；2.中海油研究總院有限責任公司，北京 100028；3. 中國海洋石油國際有限公司，北京 100028)

0 引言

儲層巖石的微觀孔隙結構極端復雜，很難精確描述。孔隙度、滲透率、RQI等從不同角度定量表征孔隙結構，毛管壓力曲線和J函數曲線定量反應流體在多孔介質滲流過程中的壓力和飽和度變化關系。用毛管壓力函數(或J函數)分別擬合同一類儲層的單個巖心的毛管壓力曲線(J函數曲線)，對擬合參數做平均，再代回函數式就可求出代表該類儲層微觀孔隙結構平均化性質的平均毛管壓力曲線(平均J函數曲線)，以用于油藏數值模擬，其中，平均曲線的計算精度取決于每個巖心的曲線擬合精度。

目前廣泛應用于常規孔隙分選較好儲層的無因次毛管壓力即J函數冪率回歸式是經驗公式，國外稱之為Brook Coery經驗回歸式[1-4]，相關參數未明確指明與巖心孔隙結構參數的關系，對大量孔隙分選差的儲層，還存在實測毛管力曲線擬合精度偏低的問題。基于分形理論和毛管束滲流模型，李克文推導出現有冪函數的表達式并將參數與分形維數建立了關系[4]，指出了冪函數的適用條件是分形維數D<3和殘余潤濕相飽和度邊界條件下毛管壓力Pc趨于正無窮大，此外還推導出廣適分形毛管力函數[1]，但在該函數中，潤濕相飽和度進行了歸一化，即代表可采儲量采出程度，這導致殘余潤濕相飽和度邊界點處，超出負指數冪函數自身的定義域而無法計算。賀承祖[5]通過將達西定律和泊稷葉定律聯立，也推導出冪函數回歸式，區別是潤濕相飽和度不進行歸一化，即代表累計產油量，殘余潤濕相飽和度邊界點處不存在數學問題。目前毛管壓力函數中是否對潤濕相飽和度進行歸一化，尚存在爭議，但前人研究表明，儲層孔隙結構至少在一定孔喉半徑范圍內，確實具有分形特征[5]，可以用分形方法對現有經驗公式進行解釋和改進。

該文通過考慮孔隙分選差儲層在小孔喉方向集中程度更高，推導出無因次毛管壓力J函數的分形回歸式，是對李克文廣適毛管力回歸式的推廣和修正(潤濕相飽和度不做歸一化處理)。伊拉克低滲灰巖儲層的實測J函數數據證實，該方法能有效提高擬合精度。對于孔隙分選較好的儲層(例如渤海高滲砂巖氣層)，可繼續使用現有分形冪率型回歸函數，而分形參數則指出了回歸結果與分形維數、最大、最小毛管壓力的關系。分形毛管壓力(J函數)式的提出，從多孔介質滲流角度，進一步深化了復雜的微觀孔隙結構定量表征，針對分選較差的儲層，分形式可反算出精度較冪率型更高的毛管壓力曲線，有效提高該類儲層平均毛管壓力曲線的計算精度。

1 J函數分形回歸式的數學推導

無因次毛管壓力即J函數冪率回歸經驗公式，國外稱之為Brook Coery經驗回歸式[1-4]。

(1)

式中:J(Sw)為無因次毛管壓力函數，無因次；A0，B0為經驗回歸系數，無因次；Sw為潤濕相飽和度，小數。

根據分形幾何理論[1]和不等徑等長平直毛管束滲流模型[6]，自相似的單元體可以無限填充符合分形結構的儲層微觀孔隙空間，該自相似體可為半徑為變量r，長度為常量L的平直毛細管[1]。壓汞過程中，某個汞飽和度增加區間，汞新填充的一簇毛細管的數量N(r)與其半徑r之間存在冪函數關系[7]:

N(r) =ar-D

(2)

式中:N(r)為某時刻汞新填充的半徑為r的毛細管數量，根；r為某時刻被汞新填充的毛細管的半徑，μm；D為分形維數，無因次；a為比例常數，無因次。

考慮孔隙分布的連續性，則壓汞巖心的總孔隙體積為:

(3)

式中:V(r)為巖心總孔隙體積，μm3；L為巖心長度，μm；rmin為孔隙中最細毛細管對應的半徑，μm；rmax為孔隙中最粗毛細管對應的半徑，μm。

由式(3)易得某時刻未被汞充填的即半徑小于r的孔隙累積體積[5]為：

(4)

同理可得已被汞充填的即半徑大于等于r的孔隙累積體積為:

(5)

該時刻潤濕相飽和度，即空氣相飽和度為:

(6)

毛管壓力與孔隙半徑的關系式為:

(7)

式中:σ為汞-空氣界面張力，N/m，一般取0.48 N/m；θ為汞-空氣潤濕角，(°)，一般取140°；Pc為毛細管壓力，MPa。

式(7)代入式(6)，可得:

(8)

若用SHg= 1 -SAir替換為含汞飽和度，則式(8)變為式(9):

(9)

式(8)、式(9)中:Pmax為最小毛管半徑對應的最大毛管壓力，Pe為排驅壓力，即最大毛管半徑對應的最小毛管壓力。

(10)

(11)

式(10)或式(11)即賀承祖壓汞分形函數[5]，與Brooks Corey函數[1]相比，飽和度未做標準化處理，由于分形維數D<3，則歸一化飽和度為0的點，超出冪函數冪指數為負數時的定義域而無法計算，故賀承祖壓汞分形函數式(10)或式(11)更合理。

(12)

由式(9)可得:

(13)

式(12)或式(13)為壓汞分形函數回歸式在3

根據不等徑等長毛管束滲流模型和泊稷葉定律，在Δp的壓差下，黏度為μ的汞通過單根毛細管的流量為:

(14)

式中:qHg為半徑為r的單根毛細管中汞的流量，mm3/s；r為單根毛細管半徑，μm；Δp為驅替壓差，MPa；μ為汞相黏度，mPa·s；L為毛細管長度或巖心長度，μm。

將單根毛管體積V(r) =πr2L代入式(14)，得:

(15)

從rmin至rmax加和得到多孔介質總流量為:

(16)

將汞累計充填的毛細管體積用巖心含空氣飽和度表示為:

(17)

式(17)中:V(r)為單根毛細管體積，μm3；A為巖心截面積，μm2；L為巖心長度，μm；φ為巖心孔隙度，小數；SAir為巖心含空氣飽和度，小數。

將式(17)代入式(16)，得:

(18)

聯立達西定律:

(19)

得到絕對滲透率的表達式，并考慮孔隙的連續分布，得到:

(20)

J函數定義為無因次毛管力，并消除孔隙度和滲透率的影響:

(21)

式中:σ為界面張力，N/m；θ為潤濕角，(°)；Pc為毛細管壓力，MPa；k為絕對滲透率，μm2；φ為孔隙度，小數。

對于常規中、高孔滲且孔隙分選好的儲層，將式(7)、式(10)、式(20)代入式(21)，可得:

(22)

實際應用時，暫不糾結于各參數內在的相關性，式(22)簡化為:

(23)

式中:A0為分形維數相關擬合參數，無因次，A0>0；B0為分形維數相關擬合參數，無因次，B0>0；SAir為含空氣飽和度，小數，0

式(23)即目前廣泛應用的J函數冪率型經驗回歸式[6]，通過推導，揭示出其應用條件是分形維數D<3和殘余空氣飽和度下rmin→0，該式將經驗參數A0，B0與分形維數建立了關系。

對差分選的低孔、低滲儲層，將式(8)、式(12)、式(20)代入式(21)得:

(24)

而若代入式(12)而非式(13)，將得到:

(25)

式(24)和式(25)可分別簡化為:

(26)

(27)

式中:A1，A2為分形維數、最大、最小毛管壓力相關擬合參數，無因次，A1>0，A2>0；B1，B2為最大、最小毛管壓力相關擬合參數，無因次，00，C2>0；SAir為含空氣飽和度，0

式(26)或式(27)即J函數分形回歸式在30，故該式的應用條件是30。

另外需要指出的是，與流體性質相關的潤濕角、界面張力，在推導過程中均被消去，即J函數分形回歸式(23)、式(27)不僅適用于壓汞過程，也適用于任意兩相流體的驅替過程，式(23)等同于式(1)，下文統稱式(23)、式(1)為分形冪率式。

2 分形J函數回歸式提高差孔隙分選儲層的回歸精度

通過以上對儲層巖心J函數分形數學公式的推導，明確了冪率型J函數回歸式的分形物理意義和變化范圍，其能在孔隙分選好的中高滲儲層中廣泛應用的原因是該類儲層分形維數D<3，rmin?rmax，孔隙半徑主要集中在大于rmin的范圍，壓汞至殘余空氣飽和度時，rmin→0；其在孔隙分選較差的低滲儲層中回歸精度偏低的原因是該類儲層分形維數30，新分形式(26)或式(27)的形式發生變化。

圖1～圖3為某碳酸鹽巖油藏低滲灰巖儲層實測J函數數據，由于雙對數圖上的線性特征，可知分形冪率式(23)的回歸精度無法進一步提高，而新分形式(26)或式(27)則可明顯提高，使用式(26)計算的分形維數結果均大于3、小于5。以伊拉克AG油田低滲灰巖油層(圖3)為例，回歸參數C1=7.152 0，由式(26)，分形維數D=3+1/C1=3.139 8。由表1知，表征回歸精度的確定性系數R2提高0.157 1～0.248 2，平均提高0.20，均達到0.99，詳見表1。

圖1 伊拉克BU油田低滲灰巖油層J函數擬合Fig.1 J function matching for low permeability limestone oil layer in BU oilfield，Iraq

圖2 伊拉克FQ油田低滲灰巖油層J函數擬合Fig.2 J function matching for low permeability limestone oil layer in FQ oilfield， Iraq

圖3 伊拉克AG油田低滲灰巖油層J函數回歸Fig.3 J function matching for lowpermea bility limestone oil layer in AG oilfield， Iraq

表1 J函數曲線樣品物性參數和回歸參數表Table1 Physical properties and J function matching parameters of rock samples

圖4為某高滲砂巖氣層實測J函數數據，在雙對數圖上呈現線性特征，分形冪率式(23)的精度已足夠高，回歸參數B0=3.902 0，確定性系數0.965 8，由式(21)，分形維數計算為3-1/3.902 0=2.744 0。

圖4 渤海某油氣田高滲砂巖氣層J函數回歸Fig.4 J function matching for high permeability sandstone gas layer in Bohai oilfield， China

分形維數的獲取，除了用分形式(22)或式(25)通過實測J函數曲線回歸得到外，還可以通過毛管壓力分形函數式(9)和式(11)對毛管壓力曲線回歸得到，此外，還可以用相對滲透率分形函數對相滲曲線回歸得到，有學者對實際巖心薄片進行作圖法測定[8]分形維數，該文只討論第一種方法。

3 求取平均毛管壓力曲線

對同一類儲層單個巖心J函數擬合指數求平均，就可求取代表該類儲層平均毛管壓力曲線。圖5～圖7分別是伊拉克BU，FQ，AG油田差分選、低滲灰巖油層單個樣品由J函數新分形式(26)和冪率式(23)反求出的毛管壓力曲線對比，圖8是渤海某油氣田高滲氣層求出的平均毛管壓力曲線，冪率式(23)反求的結果合理。可見對該類儲層， 新分形式(26)反求出的毛管壓力曲線精度更高，冪率分形式(23)精度明顯損失較多。

圖5 伊拉克BU油田低滲灰巖油層反求毛管壓力Fig.5 Average capillary pressure curve of low permeability limestone oil layer in BU oilfield， Iraq

圖6 伊拉克FQ油田低滲灰巖油層反求毛管壓力Fig.6 Average capillary pressure curve of low per permeability limestone oil layer in FQ oilfield， Iraq

圖7 伊拉克AG油田低滲灰巖油層反求毛管壓力Fig.7 Average capillary pressure curve of low permeability limestone oil layer in AG oilfield， Iraq

圖8 渤海某油氣田高滲氣層平均毛管壓力曲線Fig.8 Average capillary pressure curve of high permeability sandstone gas layer in Bohai oil field，China

從圖5～圖8可以看出，無論是J函數新分形式(26)還是冪率式(23)，在大孔隙段擬合效果均不太理想，這是由于毛管壓力測試過程中的麻皮效應導致[6]，即壓汞初期測試點反應巖樣表面凹凸不平的孔，未反應孔隙結構的分形特征。

4 結論

1)基于分形理論，推導出現有J函數冪率式的經驗回歸系數與分形維數的關系，該式的適用條件是分形維數小于3和殘余潤濕相飽和度下最小毛細管半徑趨于0，解釋了其廣泛適用于中高滲巖心的原因；

2)基于分形理論，推導出適用于差孔隙分選儲層的J函數分形表達式，其適用條件是分形維數大于3并小于5，殘余潤濕相飽和度下最小毛細管半徑大于0，對應該類儲層的孔喉分布特征，通過實測數據證實分形表達式和參數范圍控制可以有效提高該類巖心或儲層的J函數回歸精度，確定性系數R2平均可提高0.20，達到0.99；

3)針對孔隙分選差的儲層，J函數分形式的新分形式反求出的單個樣品毛管壓力曲線精度較冪率型損失小，從而能夠有效提高該類儲層多個巖心樣品的平均毛管壓力曲線的計算精度。