超靜定剛架的定性分析★

高 倩 張兆軍 韓明嵐

(青島理工大學理學院，山東 青島 266033)

0 引言

超靜定剛架是結構力學的主要研究對象，經典結構力學中有關超靜定剛架的分析方法非常多，有力法、位移法、力矩分配法、無剪力分配法、反彎點法等，但這些為了手算方便才發明的方法，僅適用于只有幾個未知量的簡單結構，實際工程中的結構其未知量個數太多，手算已經不現實，所以經典結構力學在實際工程中的應用受到了極大的限制。學生在校花費大量時間來學習的經典結構力學，到了工作崗位卻用處不大，工作中主要還是采用計算機軟件(也就是結構力學仿真)來求解內力，但結果對否又很難判斷，所以土木、水利等專業的學生急需在校學習如何對結構力學仿真結果進行判斷，這也正是定性結構力學的使命，大量的專家學者和結構力學教師都意識到時代對定性結構力學的迫切需求[1,2]，也做了大量的研究探索[3-8]，但目前定性結構力學尚未形成完善的內容體系，仍處于發展的階段。

為了推動定性結構力學的發展，本文擬從簡單超靜定剛架、單層雙跨超靜定剛架、三層單跨超靜定剛架等幾個實例來定性分析，綜合利用經典結構力學的概念和基本方法大概估算出超靜定剛架關鍵截面處的內力值范圍(主要是M值)，以及M圖的大體輪廓，以期實現對結構力學仿真結果的判斷。

1 簡單超靜定剛架的定性分析示例

如圖1a)所示為一簡單對稱超靜定剛架，其內力的大小與桿的剛度有關，下面分三種情況進行討論：

1)當柱的剛度比梁的剛度大很多時，可以看做是EIc→∞,EIb=有限值，此時，梁的兩端相當于固定端，而柱頂端彎矩與梁端彎矩相平衡，再由轉角位移公式可知，柱底端彎矩為柱頂端彎矩的一半，則整體結構的M圖如圖1b)所示。

2)反之，當EIb→∞，EIc=有限值時，BC桿的兩端相當于鉸支座，則該結構的M圖如圖1c)所示。

圖2a)中的荷載為非對稱，當梁、柱剛度EI均為有限值，且荷載偏左布置時，由于不對稱性，結點會產生一個水平位移。雖然對于豎向荷載作用下的M圖來說，結點轉角是主要因素，水平位移是次要因素，但這個水平位移的方向是可以定性判斷出來的，這種定性判斷偏移的方法是很有價值的。思路如下：先加一水平鏈桿支座阻止該水平位移的發生，然后判斷水平鏈桿提供的支座反力方向，而該反力是由原結構的水平位移所產生的，從而可以判斷出水平位移的方向。

2 單層雙跨超靜定剛架的定性分析示例

圖3a)所示為一單層雙跨超靜定剛架，下面將桿的剛度分六種極端情況進行討論：

1)當EIc1=EIc2=EIc3→∞，EIb1=EIb2=有限值，剛結點B，C，E幾乎不會產生轉角和線位移，每根橫梁都相當于兩端固定的單跨梁，見圖3b)，又因為EIc2?EIb2，則MCB完全由桿CD來平衡，即MCE=0，所以整體結構的M圖如圖4a)所示。

2)當EIc1=EIc2=EIc3→0，EIb1=EIb2=有限值，三根柱子就等效于三根鏈桿，整體結構等效為兩跨連續梁，如圖3d)所示，則整體結構的M圖見圖4b)。

3)當EIc1→0，EIb2=EIc2=EIc3→∞，EIb1=有限值，桿BC的力學模型可以用圖3c)表示，又因EIb2=EIc2，所以MCE和MCD共同來平衡MCB的大小，所以整體結構的M圖如圖4c)所示。

4)當EIc1→∞，EIb2=EIc2=EIc3→0，EIb1=有限值時，桿BC的力學模型可以用圖3e)表示，MBC由MBA來平衡，整體結構的M圖見圖4d)。

6)對于圖3a)所示結構，當梁柱的剛度均為有限值且相差不大時，結點的位移具體分析如下：

若B，C均為鉸結點，則B，C可以任意旋轉，左端順時針，右端逆時針；若B，C均為固定端，則二者無任何轉動產生；但B，C實際為剛結點，而剛結點的約束能力介于鉸結點和固定端之間，所以剛結點的旋轉方向與鉸結點的旋轉方向相同，只是旋轉角度較小而已，所以圖3a)的θB為順時針，θC為逆時針，由于CD，CE，EF類似于一個碩大的格構柱，所以結點C的約束能力強于結點B，所以θC<θB。

結點E的轉動是由結點C的旋轉而引起的，若E為鉸結點，則CE桿的力學模型見圖3f)，鉸結點E順時針旋轉，已知剛結點的約束能力介于鉸結點和固定端之間，所以圖3a)的θE為順時針。

水平位移的情況可以用圖2a)來比擬，對于整個結構而言，豎向荷載偏左布置，則水平位移向右。

該結構的結點位移雖然有四個，當荷載為豎向荷載時，結點的角位移影響大、水平位移影響小，從而整個結構的彎矩圖主要由角位移引起，彎矩圖的大體輪廓見圖4e)，變形圖見圖4f)。

3 三層單跨超靜定剛架的定性分析示例

圖5a)為三層單跨超靜定剛架，若所有桿件的EI均相等，且為有限值時，則整體呈現對稱性，所以結點無水平位移產生，只有角位移，左端結點均順時針旋轉，右端結點均逆時針旋轉，那么上下三層相比，哪層的結點旋轉角度最大,哪層的梁端彎矩最大,柱端彎矩又呈現什么規律。由力矩分配法的收斂性可知，原結構的彎矩約等于固端彎矩和第一輪分配彎矩和傳遞彎矩之和，所以可以根據力矩分配法的基本原理進行定性分析，由于左右對稱，下面只分析左側桿件，右側同理。

4 結語

計算機技術的飛速發展，引起了結構力學仿真的大量應用，從而出現了對仿真結果真偽進行判斷的強大需求，這些正是定性結構力學的主要使命。超靜定剛架的定性分析又是定性結構力學的主要內容，前面通過實例演示了如何對超靜定剛架進行定性分析，希望通過這些實例能引導土木、水利等專業的本科生，在校階段學會對結構力學仿真結果的真偽進行判斷，為走上工作崗位做好準備。

定性結構力學可以綜合利用經典結構力學的基本概念和方法對超靜定剛架進行定性分析，在估算變形和內力值范圍時，可利用一些極端的情況進行分析，如剛結點的約束能力介于固定端和鉸結點之間，所以可以利用固定端和鉸結點來估算剛結點處某些截面的內力，或者對某幾處截面的內力進行比較，從而實現對結構力學仿真結果的判斷。