正方體中涂色問題的解題技巧分析

金來寶

摘要：正方體涂色問題是在學習了正方體之后進行的思維鍛煉和應用類的問題，可以幫助學生理解并體會數學知識和外部世界的聯系。學生在解決正方體涂色問題的過程中，可以從最基本的涂色、切開、數數量開始，漸漸構建涂色問題模型，總結公式，利用模型和公式解決問題。通過涂色問題的學習、練習、解題、思考，可以充分體會正方體涂色問題的價值，有助于數學學科素養的培養，能夠幫助學生自覺利用數學思維去探尋和思考生活中的事物，解決實際問題。

關鍵詞：正方體;涂色問題;解題技巧

一、引言

正方體表面涂色問題是規律探尋類的課程。將較大的正方體表面都涂上顏色，如果將正方體以單位長度切成若干個棱長相等的小正方體，這些小正方體分別有多少個面涂上了顏色。從中是否能找到規律。回答這類問題，需要教師引導學生經歷涂色、切開、數小正方體數量的基本過程，從中找到規律，總結出模型和計算公式，再利用提煉出來的規律解決問題。教師引導學生充分動手和思考，摸索思維演化過程，提高思維能力和解決問題的能力。

二、正方體涂色問題的教學與規律探尋

正方體涂色問題課堂教學要讓學生經歷將正方體表面涂色后再切成若干個棱長一樣的小正方體，探索小正方體涂色情況，從中提煉規律，積累探索規律的經驗，感悟數學思維，發展空間想象力和建模思維。學生在解決正方體涂色問題的過程中，探尋規律，感受解構的樂趣，獲得發現規律的成就感，對數學學習更有興趣。教學的難點在于：第一，將涂色后大正方體切割成單位棱長的小正方體，探索不同涂色面的小正方體的數量的過程中，學生要穿透表面的小正方體看到大正方體內部隱藏的小正方體，意識到這部分小正方體的存在。第二，從簡單的數出小正方體數量，到提取規律，可以解決各種棱長的正方體涂色問題。

教師首先引領學生復習正方體特征：6個面的面積相等，有8個頂點，12條棱長長度相等。先進行分面，采用真實教具或者多媒體方式出示一個大正方體。將大正方體的每條邊均分兩份，切成4個小正方體，計算小正方體數量的方式為2×2=4。將變成平均分成3份，則小正方體數量為3×3=9，變成平均分成4份，則小正方體數量為4×4=16……由學生總結：切割大正方體后獲得的小正方體數量為“切割份數×切割份數”。學習分面是為了從平面幾何向立體幾何過渡。

將大正方體的6個面均涂上顏色，將每條棱平均為2份切開，能夠切成多少個小正方體，經過數數量，得到結論8。每個小正方體有多少個面涂色，得到結論，每個小正方體都有3個面涂色了。如果將大正方體的每條棱平均分為3份，則能夠切成多少個小正方體呢，得到結論3×3×3=27。為學生分組，組內交流討論：27個小正方體中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方體分別有幾個，它們都處在什么位置。經過小組討論，學生給出結論，3面涂色的小正方體有8個，分別處在8個頂點位置。2面涂色的正方體有12個，因為每條棱被分成3份，減去2個3面涂色的小正方體，一條棱上會有1個2面涂色的小正方體，一共有12條棱，所以是12個小正方體。列出算式為（3-2）×12=12。1面涂色的小正方體有6個，在大正方體的每個面上，減去3面涂色和2面涂色的小正方體，則有1個1面涂色的小正方體，共有6個面，則為6個1面涂色的小正方體。在教學過程中，如果學生很難理解，則通過多媒體方式進行立體演示，確保學生理解了，再進行下一步。

如果將大正方體每條棱平均分為4份，則結論是怎樣的呢？仍然由小組討論完成。小正方體的總數為4×4×4=64，3個面涂色的小正方體仍然為8個。2個面涂色的小正方體是（4-2）×12=24。1面涂色的小正方數量為24。觀察大正方體的一個面，可以看到4×4=16個小正方體，這其中一面涂色的處在這一面的中央，如果按照每條邊來算，則每條邊會有4-2=2，2個一面涂色的小正方體，須將一條邊最旁邊的兩個小正方體減掉。那么這一面上，1面涂色的小正方體數量為（4-2）×（4-2）=4。大正方體一共有6個面，則1面涂色的小正方體一共有（4-2）×（4-2）×6=24。

總結計算公式：用n來代表大正方體棱被平均分的份數，無論大正方體的棱長切成幾份，3面涂色的小正方體都是處在大正方體頂點位置，正方體頂點有8個，則3面涂色小正方體數量是8。2面涂色小正方體個數是（n-2）×12。1面涂色的小正方體的數量為（n-2）2×6。

引導學生用不同的平分份數驗算，并思考是否存在沒有涂色的小正方體，處在什么位置，數量有多少。整個教學過程要注重教師多問少答，盡量引導學生自己提取規律。

三、正方體涂色問題的解題技巧分析

（一）從具體到抽象

在整個教學過程中，可以看到教學的過程就是引導學生開展思維活動的過程，幫助學生從現實問題走向抽象的情景，從實實在在能夠數得出數量的正方體簡單分割開始建模，幫助學生從最簡單和基礎的部分開始挖掘小正方體與大正方體的空間位置關系和數量關系。數學學習中，要不斷提出問題，讓學生經歷思考并解決問題的過程，培養學生以數學思維的視角來觀察問題，從而建立數形結合和歸納總結能力。在教師的引導下，學生已經能夠從較為簡單的小正方體切割中提取經驗，在大正方體上進行各種改造，將自行提取的規律不但驗算，當他們得到的結果都是正確的，則給學生帶來成就感，大大帶動了學生的積極性。從小正方體的總數量，到關注各個不同的小正方體的分類和數量，思維不斷遞進。

教師可以讓學生練習更復雜的問題：將棱長1分米的大正方體，表面涂上藍色。切成棱長為1cm的小正方體。計算其中有多少個3面涂藍的小正方體？多少個2面涂藍的小正方體？1面涂藍的呢？任何一面都沒有涂藍的呢？

學生利用自己從具象到抽象總結出的計算公式，得出結論：該大正方體棱長平均分10份。3面涂藍的小正方體有8個。2面涂藍的小正方體數量有（10-2）×12=96個。1面涂藍的小正方體有（10-2）2×6=384個。6個面都沒有涂藍的小正方體數量計算方法有兩種：（10-2）3=512個，或者1000-384-96-8=512個。