水聲信道變步長自適應均衡算法

楊海斌

（湖南理工職業技術學院，湘潭411004）

0 引言

隨著對海洋資源的進一步開發，水下通信在軍事和民用方面發揮著越來越重要的作用。由于水下通道中電磁波衰減嚴重，聲波成為唯一有效的通信方式。但與電磁波相比，聲速極慢，容易引起嚴重的傳播延遲。在傳輸信號時，由于水下通道的約束，聲波會在海面和海底之間不斷地反射。與其他通信信道相比，水聲信道傳輸的信號具有復雜的多徑傳播特性，因而具有更強的符號間干擾。克服這種影響的最好方法之一是在接收機中使用自適應均衡方法[1]。由于自適應濾波器和自適應算法等因素的影響，選擇計算復雜度低、跟蹤信道變化能力強的自適應信道均衡算法顯得尤為重要。在已知的水聲信道自適應均衡算法中，最小均方（LMS）算法[2]和歸一化最小均方（NLMS）算法[3]因其計算簡單和實現簡單而成為最流行的算法。在定步長LMS 算法中，步長因子不僅控制了算法的收斂速度，而且決定了算法的穩態誤差。步長越大，收斂速度越快，穩態誤差越大。當步長變小時，穩態誤差變小，但收斂速度變慢。為解決固定步長算法收斂速度與穩態性能之間的矛盾，文獻[4]提出了一種變步長算法，文獻[5]根據實際水聲信道時變、空變、多徑的特點，提出了一種改進的變步長LMS 算法。

對于自適應均衡算法，除了需解決收斂速度和穩態失調之間的矛盾外，提高算法收斂速度也是國內外學者們研究的重點[6]。上述LMS 算法計算簡單但收斂速度慢，遞歸最小二乘算法[7]由于其最快的收斂速度而成為最佳的自適應算法，但它的計算復雜度高，在自適應信號處理領域，仿射投影算法（APA）在收斂速度和計算復雜度之間取得了很好的平衡[8]。與LMS 算法相比，該算法的收斂速度大大提高，與遞歸最小二乘算法相比，計算復雜度大大降低。但仿射投影算法中，同樣需要選擇適當的步長，以達到收斂速度和穩態誤差之間的折衷。因此，本文將干擾信號對均衡器穩態性能的負面作用考慮進濾波器系數更新過程中，通過重新設定系數更新約束條件，并利用先驗誤差向量的定義，得到了一種適用于仿射投影均衡算法的步長調節方法。新算法在未達到收斂狀態時，采用較大的步長；在后期階段使用較小的步長，從而有效解決了收斂速度與穩態誤差之間的矛盾。實驗結果表明，與傳統的進化投影序列和變步長仿射投影算法相比，本文提出的算法具有更快的收斂速度和更低的失調率。

1 仿射投影算法

水聲信道自適應均衡器通常采用圖1 所示的結構。

圖1 水聲信道自適應均衡器結構圖

均衡器由FF（前饋）濾波器、FB（反饋）濾波器和判決裝置組成輸入信號s(n)經水聲信道模型，并混合方差為的干擾噪聲v(n)后，形成大小為NFF×1 的接收信號序列u(n)=[u(n)u(n-1)...u(n-LFF+1)]。

均衡器輸出可表示為：

在APA 中，利用n時刻的前P個輸入向量構成LFF×P維輸入矩陣，加快了NLMS 算法的收斂速度，其系數迭代公式為[9]：

其中U(n)=[u(n)u(n-1)…u(n-P+1)]為LFF×P維輸入矩陣，α是步長參數，δ是防止被零整除的小正數，IP為P×P維單位陣，E(n)為n時刻的前P個先驗估計誤差所構成的向量。

上式中D(n)=[d(n)d(n-1)...d(n-P+1)]為n時刻的前P個期望輸出，于是有：

上式中w0(n) 為最優濾波器系數，V(n)=[v(n)v(n-1)...v(n-P+1)] 為噪聲向量，并記ε(n)=[e(n)e(n-1)...e(n-P+1)]為n時刻的后驗估計誤差向量，于是有：

2 變步長仿射投影算法

針對水聲信道h(n)引入的干擾噪聲v(n)，本文提出改變傳統仿射投影算法的約束條件，從(4)可以看出，傳統仿射投影算法的約束條件迫使自適應濾波器補償v(n)的影響。只要v(n)不為零，更新系數向量就不能等于未知系統的參數。為了使w(n)盡可能接近w0(n)，理想的約束條件應該是：

由于噪聲是不可預測的，因此上述約束條件沒有實際意義[10]。在本文中，我們使用二階統計方法，使得式（6）兩邊的二階統計量相等：

上式中表示噪聲向量V(n)的方差，因變步長APA 算法步長不再為固定值，而是隨著迭代的變化而變化，因此可用變步長參數向量α(n)=[α1(n)α2(n)…αP(n)]替換式（2）中的α，得到：

將上式代入式（6），并使用先驗估計誤差的定義，得到：

根據上式，可得到變步長仿射投影算法步長的迭代表達式為：

上式中(n)表示誤差向量E(n)的方差，上式寫成向量形式為：

3 仿真

為檢驗所提算法在信道均衡中的性能，采用文獻[11]中的稀疏水聲兩徑信道H(z)=1+0.4z-12，比較新算法（VSS-APA）與文獻[8]（2016）所提定步長APA 算法、文獻[3]（2017）所提變步長LMS 算法（VSS-LMS-1）及文獻[4]（2019）所提改進的變步長LMS 算法（VSSLMS-2）的收斂性能。

仿真一比較了VSS-APA、APA、VSS-LMS-1 及VSS-LMS-2 四種算法的均方誤差性能。該仿真中每幀傳輸包括512 次訓練符號和1024 個數據符號，均衡器抽頭個數為10，仿射投影階數P=2 ，信號采用16QAM 調制方式，信噪比為10dB，APA 算法中步長α在分別取0.5 和0.8，仿真結果如圖2 所示。從圖中可看出，VSS-APA 與VSS-LMS-1 及VSS-LMS-2 相比，不僅收斂速度得到了提高，而且穩態性能也得到了改善。對于APA 算法，要獲得與VSS-APA 相近的穩態失調，固定步長必須小于0.5，但此時收斂速度變得十分緩慢。APA（α=0.8）的初始收斂速度接近于VSSAPA 的收斂速度，與VSS-LMS-1 及VSS-LMS-2 的收斂速度相當，但其穩態失調較大。從圖2 可看出，新算法能有效解決定步長APA 收斂速度與穩態失調之間的矛盾。

圖2 算法均方誤差收斂性能比較

仿真二比較了上述幾種算法的誤碼率性能。在該仿真中，信噪比范圍為-10 至14dB。信號采用QPSK調制方式，APA 算法中步長α取0.8，其他參數與仿真一中相同。仿真結果如圖3 所示。由圖3 可以看出，四種均衡算法在-10 至-5dB時誤碼率性能相仿，且隨著信噪比增加而降低，但本文提出的誤碼率下降最快。當信噪比增加到5dB時，本文提出的VSS-APA算法誤碼率能達到2×10-3左右，APA 算法誤碼率接近5×10-2，VSS-LMS-1 算法和VSS-LMS-2 算法誤碼率約為8×10-2，充分證明了VSS-APA 算法良好的信道均衡性能。

圖3 算法誤碼率性能比較

4 結語

本文考慮到傳統仿射投影算法中約束條件迫使自適應濾波器補償干擾信號的影響，通過建立一個新的約束條件，并利用先驗誤差向量的定義，得到了一種適用于仿射投影均衡算法的變步長調節方法。仿真結果表明，新算法的性能優于仿射投影算法和已有的變步長LMS 算法。