基于原子范數的無網格稀疏恢復非正側視陣空時自適應處理算法

章 濤郭駿騁 來 燃

(中國民航大學天津市智能信號與圖像處理重點實驗室 天津300300)

1 引言

對于機載相控陣體制雷達，空時自適應處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)通過聯合多個天線多個脈沖信號能夠有效地抑制空時耦合雜波，進而增強運動目標檢測性能[1]。STAP方法通過對雜波樣本的統計估計獲得雜波協方差矩陣(Clutter Covariance Matrix,CCM)，進而計算自適應濾波權矢量提高輸出信雜比。Reed等人[2]的研究表明，若需保證輸出信雜比較最優值下降不超過3 d B，則至少需要獨立同分布(Independent Identically Distributed,IID)樣本數為系統自由度的2倍。當天線陣面位于載機的正側面，即為正側視陣時，各個距離單元的雜波統計特性可以認為不隨距離變化，IID樣本數相對較多。但是，實際系統中天線有多種架設方式，對于非正側視陣的情況，不同距離的空時2維雜波譜分布不同，很難獲得足夠的IID樣本[3]。

近年來，稀疏恢復方法在信號處理領域快速發展[4,5]。由于稀疏恢復方法的超分辨性，可以在無自由度損失的情況下進行降維處理，已成為機載雷達雜波抑制的研究熱點[6,7]。特別是基于雜波空時功率譜稀疏性的STAP方法，該類方法與統計估計STAP處理過程類似，利用與待檢測單位鄰近的數據作為雜波樣本估計CCM來實現雜波抑制，進而進行目標檢測。目前已有的稀疏恢復STAP方法主要針對正側視陣開展研究，例如，文獻[8]提出了基于?1范數最小化的多快拍聯合稀疏恢復STAP方法。文獻[9–11]提出了基于欠定系統局部解方法(FOCal Underdetermined System Solution,FOCUSS)的非凸優化雜波譜稀疏恢復方法。針對稀疏恢復中正則化參數難以確定的問題，文獻[12–14]提出了基于稀疏貝葉斯學習(Sp arse Bayesian Learning,SBL)的雜波譜稀疏恢復方法。

目前已有的稀疏恢復STAP方法將雜波信號看作在某些已知基向量下是稀疏的，這些基向量被稱為字典。由于字典是有限且離散的，稀疏恢復的雜波譜連續參數空間需要進行離散化處理。離散化字典與連續的雜波譜參數間的誤差問題被稱作字典失配問題，嚴重影響稀疏恢復效果[15]。在正側視陣情況下，由于雜波脊位于空時平面的對角線上，即正好落在離散化空時平面的網格點上，字典失配引起的稀疏恢復誤差并不明顯。但是當陣列為非正側視架設時，雜波脊則大多不會位于離散化的空時平面網格點上，字典失配將嚴重影響稀疏恢復STAP的雜波抑制性能。雖然一些方法利用先驗知識通過增加字典網格劃分密度來減少字典失配誤差，但是過于密集的字典網格會導致字典中基向量的相關性過強，從而降低稀疏恢復的性能[16,17]。

Candes等人[18]提出了全變分范數的概念，可以在連續參數空間上進行稀疏恢復，進而解決稀疏恢復中的字典失配問題。文獻[19–21]在此基礎上提出了基于原子范數最小化(Atomic Norm Minimization,ANM)的稀疏恢復方法，將存在NP-hard問題的全變分范數最小化放松到矩陣秩的?1范數最小化。這個方法的提出為存在字典失配問題的非正側視陣稀疏恢復STAP提供了一種新的思路。本文針對非正側視陣雜波譜稀疏恢復受字典失配影響較大的問題，提出了一種基于原子范數的無網格稀疏恢復非正側視陣STAP方法，并給出了半正定規劃(Semi-Definite Programming,SDP)和交替方向乘子(Alternating Direction of Method of Multipliers,ADMM)兩種實現方法。實驗表明，本文方法在非正側視陣情況下能夠有效地提高雜波譜稀疏恢復精度，STAP處理性能優于已有字典離散化處理的稀疏恢復STAP算法。

2 信號模型

考慮機載相控陣雷達非正側視均勻線陣的情況，如圖1所示，陣列天線由陣元間距為d=λ/2的M個陣元組成，雷達工作波長為λ。載機平臺高度為H，速度為vp，且沿x軸運動。ψ為陣列軸線與飛行方向間的夾角，即偏航角。θ和φ分別為俯仰角和方位角。α為 散射點P與飛行方向間的夾角，β為散射點P與陣列軸線間的夾角。雷達在每個相干處理周期內發射N個脈沖，脈沖重復頻率為fr。對K個距離單元的回波進行采樣可以獲得K個空時快拍數據，每一個空時快拍數據排列為NM維列向量。

每個距離單元的雜波可看成多個雜波散射體空時響應的疊加，第i個雜波散射體對應的空間導向矢量和時間導向矢量分別定義為

其 中，X=[x1,x2,···,x K]，雜 波 成 分Xc=[xc,1,xc,2,···,xc,K]，噪聲成分N=[n1,n2,···,n K],C表示復數空間。

圖1 機載雷達非正側視陣列幾何結構

雜波子空間可以由雜波秩NR個空時導向矢量張成[22]，則有

其中，s(fd,i,fs,i)=ss,i(fs,i)?sd,i(fd,i)表 示第i個雜波散射體對應的空時導向矢量，?表示kronecker積運算。

3 空時功率譜稀疏恢復及字典失配問題

3.1 空時功率譜稀疏恢復

基于雜波譜稀疏恢復的STAP方法將空時平面分隔為Ns×Nd的網格，其中Ns=ρsM,Nd=ρdN,ρs和ρd稱為網格劃分系數，且ρs>1,ρd>1。網格點所對應的空時導向矢量集合可以表示為

其中，A=[a1,a2,···,a K]∈RNsNd×K稱為稀疏恢復的支撐集矩陣，其每一個非0行表示一個對應的雜波單元。 R 表示實數空間。支撐集矩陣A可根據聯合稀疏恢復理論通過式(7)最優化方法獲得

其中，| |·||2,0表 示?2,0混合范數，| |·||F表示Frobenius范數，ε表示噪聲水平。

由于?2,0范數最小化問題是NP-hard的，可通過基于?2,1范 數或?2,p( 0

3.2 字典失配問題

4 基于原子范數的無網格稀疏恢復空時自適應處理

針對非正側視陣空時譜稀疏恢復受字典失配影響較大的問題，本文提出一種基于原子范數的無網格稀疏恢復非正側視陣STAP方法，記為ANM-STAP方法。

對于STAP雷達，雜波子空間可以由空時導向矢量張成，所以CCM矩陣R可以有如式(8)分解形式

連續空時平面上的空時導向矢量集合可以表示為原子集合A，即

根據低秩矩陣恢復理論和雜波的稀疏特性，Xc=[xc,1,xc,2,···,xc,K]∈CN M×K在連續空時平面的稀疏恢復可以用如下?2,1混合范數形式表示，稱為原子范數，即

圖2 雜波脊在空時平面上的分布示意圖

4.1 SDP實現

式(11)用半正定約束形式表示為

4.2 ADMM實現

式(11)除了可以用式(12)半正定規劃求解外，還可以利用交替方向乘子法快速求解，式(11)重新表示為

5 仿真實驗

5.1 雜波空時功率譜分析

實驗1為了比較字典失配問題在不同偏航角情況下對稀疏恢復STAP的影響，陣列首先采用正側視模式。使用相同的3個空時快拍數據進行稀疏恢復，從圖3可以看出對于正側視陣的情況，3種方法獲得的雜波譜均集中在雜波脊上，無明顯展寬，能夠有效抑制雜波。這說明對于正側視陣的情況，雜波脊恰好落在離散化的空時平面網格點上，因此字典失配對正側視陣情況影響并不明顯。

實驗2 陣列采用偏航角ψ=45°模式，由于非正側視陣雜波譜存在距離依賴性，雜波樣本僅在局部具有平穩特性，因此在1個和3個空時快拍數據情況下進行實驗。從圖4中可以看出，FOCUSS-STAP方法和SBL-STAP方法在1個快拍情況下不能有效恢復出雜波譜，如圖4(a)和圖4(b)所示。在3個快拍情況下雖然雜波譜的恢復較1個快拍有所改善，如圖4(d)和圖4(e)所示，但是雜波譜有明顯的展寬，分辨率不高，雜波抑制性能損失較大。對比實驗1和實驗2的結果可以看出，字典失配是影響雜波譜稀疏恢復效果的重要因素，在非正側視陣情況下，使用離散化字典的稀疏恢復STAP性能較差。而本文方法在1個空時快拍情況和3個空時快拍情況下都能獲得較為清晰的雜波譜，如圖4(c)和圖4(f)所示。

圖3 偏航角ψ =0°正側視陣模式稀疏恢復雜波譜

圖4 偏航角ψ =45°時稀疏恢復的雜波空時譜

實驗3陣列采用偏航角ψ=90°模式，即雷達天線處于正前視。從圖5(a)，圖5(b)，圖5(d)，圖5(e)可以看出FOCUSS-STAP方法和SBL-STAP方法恢復得到的雜波譜中雜波脊較實驗2中情況更為模糊，這主要是由于正前視模式的雜波脊為半圓形，字典失配問題更加嚴重。而如圖5(c)和圖5(f)所示，本文ANM-STAP方法獲得的雜波譜仍然能夠形成較為清晰的雜波脊，僅在歸一化多普勒頻率為?1和1附近略有展寬，這是由于正前視時的雜波脊在此處多普勒變化較小，受原子范數稀疏恢復分辨率影響[21]，雜波譜恢復性能稍有下降。但是整體上在非正側視陣情況下本文ANM-STAP方法較FOCUSSSTAP方法和SBL-STAP方法仍然有較大的優勢。

5.2 雜波抑制性能分析

STAP處理的雜波抑制效果通常使用信干噪比損失(Signal to Interference plus Noise Ratio Loss,SINRLoss)來衡量，其定義為輸出SINR與系統中只存在熱噪聲情況下的輸出SINR的比值，即

其中，w=μR??1st,μ為非0參數，R?為稀疏恢復獲得的CCM估計值。

圖6為進行500次Monte Carlo實驗得到的平均結果。其中圖6(a)為偏航角ψ=0°即正側視陣情況的信干噪比損失，從圖6中可以看出3種方法不但在主雜波區形成窄且深的零陷，其他區域的信干噪比損失大約為3 dB，這說明在正側視陣情況下字典失配對于稀疏恢復的影響較小。圖6(b)和圖6(c)分別是偏航角ψ=45°和ψ=90°兩種非正側視陣情況，由于1個快拍進行稀疏恢復時FOCUSS-STAP和SBL-STAP方法都不能有效形成雜波脊，只比較了使用3個快拍稀疏恢復的結果，可以看出FOCUSSSTAP方法和SBL-STAP方法在低速區域(多普勒較小區域)的信干噪比損失都較大，這會大大降低系統對低速運動目標的檢測性能。而本文ANM-STAP方法在非正側視陣情況下，用1個快拍和3個快拍稀疏恢復都能在主雜波區形成較深且窄的零陷，在抑制雜波的同時，能夠獲得較好的運動目標檢測性能。

5.3 ANM-STAP計算復雜度及收斂性能分析

圖5 偏航角ψ =90°時稀疏恢復的雜波空時譜

圖6 不同偏航角下的信干噪比損失

每次迭代后協方差矩陣估計誤差值由500次Monte Carlo實驗取平均得到，ADMM實現方法和SDP實現方法的收斂性能如圖7所示。可以看出兩種方法收斂后的協方差矩陣的估計精度基本一致，但是ADMM方法進行了不到10次迭代后即可收斂，而SDP方法需要大約17次迭代才能收斂。ADMM方法不但每次迭代的計算復雜度較低，而且迭代收斂速度也較SDP方法更快，更能適應機載系統實時計算的要求。

圖7 ANM-STAP兩種實現方法的收斂性能比較

6 結束語

非正側視陣情況下稀疏恢復STAP受字典失配影響較大，嚴重影響雜波抑制性能。本文利用原子范數最小化實現連續空時平面的稀疏恢復STAP，能夠有效提高非正側視陣情況下的機載雷達雜波抑制性能。仿真實驗表明，本文方法在非正側視正情況下，雜波抑制性能優于字典離散化處理的稀疏恢復STAP方法。