“替換法”化整為零

劉國(guó)范

同學(xué)們一定聽過《曹沖稱象》的故事吧！曹沖用石頭代替大象，化整為零，稱出石頭的重量，算出了大象的重量。其實(shí)，這則故事中蘊(yùn)含著一種重要的數(shù)學(xué)方法——替換。通過替換，可以把本來不易解決的問題變成容易解決的問題。

【問題1】

丁丁買了1支鋼筆和16本習(xí)題冊(cè)，共用了24元。已知買8本習(xí)題冊(cè)的錢可以買1支鋼筆，每本習(xí)題冊(cè)是多少元？1支鋼筆呢？

【思路點(diǎn)睛】如果花24元只買了習(xí)題冊(cè)，要求每本習(xí)題冊(cè)多少錢？相信大家會(huì)這樣計(jì)算：總價(jià)÷本數(shù)。在問題1中，丁丁既買了習(xí)題冊(cè)，又買了鋼筆，該怎樣算呢？丁丁把用來買1支鋼筆的錢買習(xí)題冊(cè)，可以買8本。這樣，丁丁一共買了16+8=24 （本）習(xí)題冊(cè)，總的價(jià)錢不變，仍是24元。

問題1轉(zhuǎn)化為“用24元買24本習(xí)題冊(cè)”，兩個(gè)未知量轉(zhuǎn)化成一個(gè)未知量，就很容易算出1本習(xí)題冊(cè)的價(jià)錢了。

當(dāng)然，我們也可以這樣想，把用來買16本習(xí)題冊(cè)的錢省下來買鋼筆，能買到16÷8=2 （支）鋼筆。我們得到了“用24元買3支鋼筆”這樣的關(guān)系，也能較容易算出兩種商品的單價(jià)。

解：24÷（1×8+16）=1（元），1×8=8（元）。

答：每本習(xí)題冊(cè)是1元，1支鋼筆是8元。

【想一想】如果24元錢全部買鋼筆，你會(huì)算嗎？

【問題2】

3個(gè)玻璃球和1個(gè)鋼球，一共重160克。1個(gè)鋼球比1個(gè)玻璃球重40克，每個(gè)鋼球重多少克？每個(gè)玻璃球呢？

【思路點(diǎn)睛】有兩種不同的替換方法：假設(shè)全部是玻璃球或全部是鋼球。根據(jù)題意，可知“1個(gè)玻璃球的重量+40克=1個(gè)鋼球的重量”“3個(gè)玻璃球的重量+1個(gè)鋼球的重量=160克”。

假設(shè)全部是玻璃球，也就是把1個(gè)鋼球替換成1個(gè)玻璃球，總重量會(huì)發(fā)生什么變化呢？總重量變少了，總重量少了40克，現(xiàn)在的總重量是160-40=120（克）。問題2即轉(zhuǎn)化為“4個(gè)玻璃球重120克”，容易算出1個(gè)玻璃球的重量。

解：160-40÷（3+1）=30（克），30+40=70（克）。

答：每個(gè)鋼球重70克，每個(gè)玻璃球重30克。

【試一試】如果把3個(gè)玻璃球全部替換成鋼球，該怎樣解答？

【問題3】

小杯容量是大杯的? ? ，6大杯和4小杯共2600毫升。大杯和小杯的容量各是多少毫升？

【思路點(diǎn)睛】通過以上兩個(gè)問題的解決，大家很快能得出“10杯的總?cè)萘渴?600毫升”，當(dāng)然這里的“10杯”是含大杯與小杯的總數(shù)量。

按照剛才的想法，采用替換法，將大杯換成小杯或小杯換成大杯。

先來考慮將大杯全換成小杯。

6大杯可以換成小杯數(shù)：6÷? ?=9 （杯）。替換后，小杯的杯數(shù)是：9+4=

13 （杯）。總?cè)萘坎蛔儯允?600毫升，所以每個(gè)小杯的容量為2600÷13=200（毫升）。

解：2600÷（4+6÷? ?）=200（毫升），200÷? ? =300（毫升）。

答：大杯的容量是300毫升，小杯的容量是200毫升。

【試一試】如果“將小杯換成大杯”該怎樣做呢？比一比這兩種替換的方法哪種更方便。