無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)任意分布的未知緯線態(tài)

呂彥霖， 祝鳳榮

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 成都 611756)

1 引 言

量子通信和量子計(jì)算中的許多應(yīng)用都需要用到量子態(tài)分辨，例如：量子秘密共享[1]、量子密鑰分發(fā)[2]、量子安全直接通信[3]、量子隱形傳態(tài)[4-6]等. 量子態(tài)分辨問(wèn)題是指許多量子態(tài)構(gòu)成了一個(gè)集合，從這個(gè)集合中取出一個(gè)量子態(tài)，如何確定取出的這個(gè)量子態(tài)是集合中的哪個(gè)態(tài). 這不是一個(gè)容易解決的問(wèn)題，因?yàn)槿我庖粋€(gè)未知量子態(tài)不可能被精確復(fù)制(雖然無(wú)法精確復(fù)制，但是人們可以實(shí)現(xiàn)非精確的量子克隆). 當(dāng)集合中的量子態(tài)互相不正交時(shí)，我們無(wú)法百分百確定取出的這個(gè)態(tài)是集合中的哪個(gè)態(tài). 在量子態(tài)分辨問(wèn)題中，人們常用的方案主要有兩種，分別是最小容錯(cuò)區(qū)分(測(cè)量結(jié)果可能會(huì)出錯(cuò)，但是需確保出錯(cuò)概率取到最低)和最優(yōu)無(wú)錯(cuò)區(qū)分(測(cè)量結(jié)果不會(huì)出錯(cuò)，但可能會(huì)出現(xiàn)測(cè)量結(jié)果不能確定待確定態(tài)是哪個(gè)態(tài)的結(jié)果，并且需確保出現(xiàn)這種結(jié)果的概率取到最低).

為了對(duì)兩個(gè)未知態(tài)進(jìn)行無(wú)錯(cuò)分辨，2005年Bergou和Hillery[7]設(shè)計(jì)了一種可編程的量子分辨器. 該設(shè)備可以在不知道這兩個(gè)態(tài)信息的條件下，分辨出數(shù)據(jù)寄存器中的待確定態(tài).這樣的可編程設(shè)備由兩個(gè)程序寄存器A、C和一個(gè)數(shù)據(jù)寄存器B構(gòu)成，假設(shè)程序寄存器A和C中分別儲(chǔ)存著量子比特態(tài)|ψ1>和|ψ2>，數(shù)據(jù)寄存器B中儲(chǔ)存著待確定態(tài)|ψ?>(|ψ?>是|ψ1>和|ψ2>中的一個(gè)，先驗(yàn)概率分別為η1和η2，且η1+η2=1), 則可編程量子分辨器的主要作用是分辨下面兩個(gè)總輸入態(tài)：

|Ψ1>=|ψ1>A|ψ1>B|ψ2>C

|Ψ2>=|ψ1>A|ψ2>B|ψ2>C

(1)

這個(gè)分辨器能夠以某種成功概率告訴我們待確定態(tài)|ψ?>與|ψ1>和|ψ2>中的哪一個(gè)相同，所以對(duì)兩個(gè)未知態(tài)的最優(yōu)無(wú)錯(cuò)區(qū)分問(wèn)題其實(shí)就是針對(duì)這兩個(gè)態(tài)尋找最優(yōu)的無(wú)歧分辨器. 可編程的量子分辨器就是一個(gè)可編程的量子測(cè)量器，在數(shù)學(xué)上有一個(gè)全局廣義測(cè)量與其對(duì)應(yīng)，因此我們可以通過(guò)一組廣義測(cè)量算符來(lái)表示它.量子態(tài)分辨問(wèn)題其實(shí)就是針對(duì)不同類型的態(tài)尋找最優(yōu)的測(cè)量算符, 并且計(jì)算出與其對(duì)應(yīng)的最大成功概率.

上面介紹的這個(gè)分辨器中的輸入態(tài)|ψ1>和|ψ2>都是量子比特態(tài)，也就是二維單拷貝的. 在這個(gè)分辨器提出之后，人們又對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和進(jìn)一步的推廣，將輸入態(tài)|ψ1>和|ψ2>推廣到了都是高維單拷貝的情況[8]和高維任意多拷貝的情況[9-10]. 此外，人們還研究了如何無(wú)錯(cuò)區(qū)分N個(gè)未知純量子比特態(tài)的問(wèn)題[11]、有關(guān)無(wú)錯(cuò)區(qū)分三個(gè)線性無(wú)關(guān)對(duì)稱態(tài)的問(wèn)題[12].

本文要區(qū)分的兩個(gè)態(tài)是緯線態(tài)，它是一種特殊類型的量子比特態(tài)，它不像一般量子比特態(tài)那樣分布在整個(gè)態(tài)空間，而是被限制在了布洛赫球體的某一緯度線上. 它可以表示為

(2)

其中，θ是取值范圍[0,π]中的一個(gè)常數(shù)，φ是取值范圍[0,2π)中的未知數(shù). 它在這個(gè)范圍內(nèi)任意一點(diǎn)出現(xiàn)的概率服從任意的概率密度函數(shù)σ(φ)，所以我們要區(qū)分的兩個(gè)未知緯線態(tài)是:

(3)

其中，φ1和φ2是取值范圍[0,2π)中的未知數(shù)，它們服從相同的任意概率密度函數(shù)σ(φ).

2 測(cè)量算符與成功概率的推導(dǎo)

我們實(shí)際要無(wú)錯(cuò)區(qū)分的兩個(gè)總輸入態(tài)為：

|Ψ1>=|ψ1>A|ψ1>B|ψ2>C

|Ψ2>=|ψ1>A|ψ2>B|ψ2>C

(4)

這里的|Ψ1>和|Ψ2>都是8維空間中的態(tài)，解決這個(gè)問(wèn)題所用到的廣義測(cè)量(POVM)應(yīng)當(dāng)也是在8維空間中進(jìn)行的. 為了便于在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)這個(gè)廣義測(cè)量，我們可以利用Neumark定理和可編程量子態(tài)分辨器的光學(xué)實(shí)現(xiàn)方法[13]，在一個(gè)更大的希爾伯特空間上作正交測(cè)量. 首先，我們介紹一個(gè)擴(kuò)大的希爾伯特空間，這個(gè)空間是10維的，設(shè):

|000>→|e1>,|010>→|e2>,|001>→|e3>,

|100>→|e4>,|101>→|e6>,|110>→|e7>,

|011>→|e8>,|111>→|e10>

(5)

(6)

(7)

其中,

(8)

圖1 區(qū)分和的分辨器的光學(xué)實(shí)現(xiàn)

(9)

其中U4(ω)表示為(其推導(dǎo)見(jiàn)第三部分):

(10)

通過(guò)U10(ω)，我們可以得到|Ψi>的輸出表示：

(11)

(12)

由此，我們可以在輸出端定義測(cè)量算符：

(13)

(14)

令cos2ω=x，則x的取值范圍為[0,1]，此時(shí)P(ω)可以表示為

(15)

(16)

(17)

通過(guò)U10(ω)我們可以在輸入端表示出式(13)定義的測(cè)量算符

(18)

(19)

經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：

(20)

則式(17)表示的成功概率對(duì)應(yīng)的測(cè)量算符在|ijk>(i,j,k=0,1)張成的8維子空間中可以表示為:

(21)

文獻(xiàn)[14]中討論的問(wèn)題是如何最優(yōu)無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)均勻分布的未知緯線態(tài)，得到的最優(yōu)測(cè)量算符為

(22)

這與本文得到的測(cè)量算符一致.

3 U4(ω)的推導(dǎo)

(23)

圖2 區(qū)分和的分辨器的光學(xué)實(shí)現(xiàn)Fig.2 Optical realization of the discriminator between

圖3 U2的光學(xué)實(shí)現(xiàn)Fig.3 Optical realization of U2

(24)

在干涉儀中，分束儀起的作用可以通過(guò)一個(gè)二維實(shí)變換來(lái)表示：

(25)

下面我們來(lái)求U4的具體表示.

(26)

(27)

則，式(26)可以表示為：

(28)

(29)

(30)

4 結(jié) 論

我們研究了針對(duì)兩個(gè)任意分布的未知緯線態(tài)的可編程無(wú)錯(cuò)分辨器，得到了測(cè)量算符的具體表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的成功概率，這對(duì)于構(gòu)造可編程分辨器來(lái)說(shuō)具有重要參考意義. 本文得到的測(cè)量算符可以無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)任意分布的未知緯線態(tài)，但是不能確定是否是最優(yōu)的. 文獻(xiàn)[14]中嚴(yán)格推導(dǎo)了當(dāng)σ(φ)取均勻分布對(duì)應(yīng)的1/2π時(shí)的最優(yōu)測(cè)量算符的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式與本文得到的測(cè)量算符相同，這說(shuō)明，本文得到的測(cè)量算符對(duì)于無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)均勻分布的未知緯線態(tài)來(lái)說(shuō)是最優(yōu)的.