含時Peierls方程的呼吸子近似解

王少峰， 王東旭

(重慶大學物理學院， 重慶 401331)

1 引 言

呼吸子是一種空間局域和時間周期性的非線性振動模式. 由于兩個正反拓撲孤子之間存在相互吸引作用，所以在適當的條件下，正反拓撲孤子會像兩個耦合粒子一樣呈現穩定的周期性振動模式，這種模式類似于呼吸振動，被稱為呼吸子. 根據解析理論和模擬分子動力學研究，很多類型的非線性系統中存在呼吸子. 關于呼吸子的第一個報告可以追溯到1969年[1]，這是首個關于呼吸子的定性研究. Kosevich和Kovalev在1974年報告了類似的結果[2]. 1988年，Sievers和Takeno在Fermi Pasta Ulam(FPU)鏈中獲得了局域激發[3-5]. 同時，Campbell和Peyrard在各種晶格模型中觀察到離散呼吸子(并為其創造了這個術語)的激發[6]. 隨后，一大批研究小組開始對局域激發呼吸子進行嚴謹細致的數學研究[7-10]，特別是基于一維、二維晶體的呼吸子研究更為廣泛[11-17]. 重要的結果之一是在Sine-Gorden方程中找到了呼吸子解析解[18-19]. 但是，到現在為止，著名的非線性模型Peierls方程中的呼吸子研究還未見報道. Peierls方程中的拓撲孤子被稱為位錯，由于兩個正反位錯之間存在相互吸引作用，所以正反位錯也應該可以呈現穩定的周期性局域振動模式. 本文首先將經典Peierls方程推廣為含時動力學方程，然后參考Sine-Gorden方程中的呼吸子解析解給出了Peierls方程的呼吸子近似解，最后用數值方法驗證這個近似解確實是呼吸子解，并且對其行為進行了簡單討論.

2 含時的動力學Peierls方程

經典的Peierls方程是準連續的靜態平衡方程，存在解析位錯解[20]. 由于實際晶體是離散的，位錯的完整行為和性質與晶體的離散性密切相關，所以下面建立全離散的Peierls動力學方程. 基于靜態全離散Peierls方程[21-23]，推廣的含時動力學Peierls方程的形式為，

(1)

這里u是相對位移，m是引入的有效質量(不是原子質量)，f是廣義層錯能的負梯度，

(2)

其中γ表示廣義層錯能，μ是切變模量，σ是滑移面原胞的面積，b是位錯的Burgers矢量，無量綱參數Δ是對材料廣義層錯能的修正參數.

為了以一種與模型無關的方式確定離散核Ω的具體形式，我們需要討論離散核Ω在k-空間的譜行為.

(3)

(4)

(5)

(6)

用這種方式展開的傅里葉級數能夠迅速收斂. 保留傅里葉級數的帶頭項，方程(5)和(6)式簡化為：

(7)

(8)

這樣有，

(9)

利用這些結果，方程(1)中的第二項可以具體寫成，

(10)

其中ρ(l)=u(l+1)-u(l)是位錯密度. 現在含時動力學Peierls方程的具體形式為，

(11)

在連續近似下(λ→0)和經典Peierls方程比較可知[20]：

(12)

3 Peierls方程的呼吸子近似解

含時動力學Peierls方程(11)是關于原子相對位移變量u的非線性方程，十分復雜，目前沒有解析求解方法. 在連續近似下，這個方程有著名的Peierls精確位錯解：

(13)

其中，x=lλ是空間位置坐標. 這個解與Sine-Gorden方程的Kink解十分類似. 由于兩個正反位錯之間存在類似于Kink的相互吸引作用，所以一個自然的推論是：正反位錯也能夠像Kink對那樣呈現穩定的周期性振動模式，形成呼吸子. 不過Kink的相互吸引作用是指數衰減的短程作用，而位錯之間的相互作用是冪律衰減的長程作用，根據相互作用特征的考慮，我們提出下面含時動力學Peierls方程(11)的呼吸子近似解，

(14)

其中，A和α是兩個待定的參數，ω是振動頻率，x0表示呼吸子的中心位置. 這里，初始時刻t=0選取為一對正反位錯疊加形成的局域單峰波包，并且每個位置的原子相對位移速度為零，

(15)

為了驗證表達式(14)是呼吸子近似解，我們用數值方法求解了含時動力學Peierls方程(11). 由于呼吸子是高度局域化振動模，只有呼吸子中心附近的原子參與振動，所以我們可以只考慮長度遠大于呼吸子特征長度的有限鏈. 在具體計算中，我們選取包含201個原子的有限鏈進行數值求解.

將t=0時呼吸子近似解(15)作為含時動力學Peierls方程的初始條件輸入，我們發現對于參數A和α的一定范圍，動力學Peierls方程的時間演化行為的確是期望的呼吸子振動模式. 作為一個例子，取方程中的參數K=μ，取近似解中的參數A=5，α=1/(1.1*ζp)2，x0=100(呼吸子位于中心)，然后通過數值方法求解方程考察模式的演化. 圖1是一個周期T內的模式振動圖. 圖中初始正反位錯疊加形成的局域單峰波包(a)經過四分之一周期后單峰消失了，所有原子回歸到平衡位置(b)，但是這時的原子具有速度，也就是說勢能轉換為動能. 再經過四分之一周期后動能又轉換為勢能，原子位型呈現反相位的局域單峰波包(c). 后半個周期的行為是模式振動的回復過程. 我們看到呼吸子近似解展示了周期振動的特征，是一個空間局域化的振動模.

圖1 呼吸子近似解在一個周期內隨時間演化過程Fig.1 Evolution of the approximated breather solution in a period

圖2給出了呼吸子中心原子位移隨時間的變化. 從圖2可以看出，原子的位移隨時間的變化呈現出令人滿意的周期性，并且原子的振幅基本保持恒定. 上述結果表明，我們得到了具有穩定振動周期的空間局域模，方程(14)是一個較為理想的呼吸子近似解.

為了驗證呼吸子近似解的穩定性，圖3給出了t=50T，t=100T，t=200T，t=500T，t=1 000T呼吸子的模式結構. 可以看出，這些模式結構幾乎完全一樣. 考慮到數值計算帶來的誤差以及表達式(14)的近似性，可以認為含時動力學Peierls方程呼吸子是穩定的.

圖3 原子位型的對比圖Fig.3 Comparison of atom configuration

圖4 參數K的影響

圖5顯示了周期T與K的關系，隨著K增加，周期T明顯下降，這意味著Peierls方程中的呼吸子振動頻率變高. 圖中實線是K與周期T關系的線性擬合,K與周期T的變化呈現近似的線性關系:T=3.1617-1.094K.

圖5 周期T與參數K的關系

4 總 結

本文將經典Peierls方程推廣為含時的動力學方程. 在此基礎上，利用數值方法研究了動力學方程的呼吸子解. 我們給出了呼吸子解的近似表達式，并且通過數值計算驗證了呼吸子解的準確性，考察了呼吸子解的空間模式和振動周期. 對于小振動，線性化下的含時動力學Peierls方程有聲波解. 容易證明這種聲波具有最小截止頻率. 也就是說動力學Peierls方程的聲波是高頻波. 和Sine-Gorden方程中的呼吸子一樣，Peierls方程的呼吸子的振動頻率總是小于聲波頻率，是低頻振動模. 鑒于呼吸子的低頻特征，呼吸子的激發可能是材料低頻內耗的主要根源. 關于這個問題的詳細分析，我們將另文討論.