一類多維跳過(guò)程的最小熵鞅測(cè)度

李佳佳，沈兆暉

(武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430000)

0 引言

在金融市場(chǎng)中，我們經(jīng)常用跳擴(kuò)散過(guò)程對(duì)資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行建模。風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度則是資產(chǎn)定價(jià)時(shí)的一種常見(jiàn)概念和手段。由于在不完全市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度并不唯一，故我們經(jīng)?？紤]用某種準(zhǔn)則選出合適的風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，比如：相對(duì)熵、逆相對(duì)熵、全變差距離、Hellinger 距離、最小鞅測(cè)度等。其中，相對(duì)熵是比較常見(jiàn)的一種準(zhǔn)則。更確切的說(shuō)，給定概率空間(Ω,F,P)，我們的目的是尋找鞅測(cè)度Q，并使其關(guān)于概率測(cè)度P的相對(duì)熵達(dá)到最小值。我們稱鞅測(cè)度Q為最小熵鞅測(cè)度。

許多文獻(xiàn)中有關(guān)于最小熵鞅測(cè)度的研究：參考Miyahara[1]，Mania 和Santacroce[2].特別的，指數(shù)Lévy過(guò)程的最小熵鞅測(cè)度在以下文獻(xiàn)中得到討論：Hubalek和Sgarra[3]，Miyahara[4]，Jeanblanc, Kl?ppel和Miya- hara[5].運(yùn)用指數(shù)鞅方法研究一般跳擴(kuò)散過(guò)程的最小熵鞅測(cè)度的文獻(xiàn)比較少見(jiàn)，因此本文試圖在這方面進(jìn)一步研究。

在本文中我們應(yīng)用相對(duì)熵準(zhǔn)則，給出了多維跳過(guò)程S∶={(S1(t),S2(t),…,Sm(t),0≤t≤T}的最小熵鞅測(cè)度，其中Si(t)表示為：

1 一類多維跳過(guò)程的最小熵鞅測(cè)度

給定概率空間(Ω,F,P)，設(shè)S∶={(S1(t),S2(t),…,Sm(t),0≤t≤T}是定義在(Ω,F,P)上的m維價(jià)格過(guò)程，Si(t)表示為

(1)

其中σij為m×d1維矩陣，bi(t)(1≤i≤m)可微并bi(0)=0,B(t)=(B1(t),B2(t)，…,Bd1(t)),0≤t≤T為d1維布朗運(yùn)動(dòng)。fik(t,z),gik(t,z)為m×d2維函數(shù)矩陣并滿足其元素關(guān)于t可料。

(2)

(3)

其中令G為F的子σ代數(shù)，則P(Ω,G)表示為G上的所有概率測(cè)度。

下面，我們引入相對(duì)熵的概念。令G為F的子σ代數(shù)，對(duì)于任意Q∈P(Ω,G)，可定義

(5)

在文中，我們的主要目的是給出在ALMM(P)上該價(jià)格過(guò)程S的最小熵鞅測(cè)度。首先，我們定義概率測(cè)度P*：

(6)

其中EP(·)表示關(guān)于P的期望，對(duì)于1≤i≤m，

(8)

(9)

(10)

如此定義的P*稱為Ri(t)關(guān)于P的Esscher變換[8].以下定理1為本文的主要結(jié)論，說(shuō)明了Esscher變換P*即為價(jià)格過(guò)程S的最小熵鞅測(cè)度。

(11)

(12)

(13)

因此，{ez(t)≤t≤T},0為P鞅。

為了證明定理1的結(jié)論，我們給出以下兩個(gè)引理。

2) 對(duì)于i=1,2,…,m,Gi(t)為P*鞅，其中

(14)

證明 1) 由分部積分公式可知，

d(W(t)ez(t))=ez(t-)dW(t)+W(t-)dez(t-)+[dW(t),dez]t

因此{(lán)W(t)ez(t),0≤t≤T}為P鞅，故{W(t),0≤t≤T}為P*鞅。

2) 我們將Gi(t)重新寫(xiě)成以下形式，

根據(jù)分部積分公式可知，

d(Gi(t)ez(t))=Gi(t-)dez(t)+ez(t-)dGi(t)+[dGi,dez]t

因此{(lán)Gi(t)ez(t),0≤t≤T}為P鞅，故{Gi(t)ez(t),0≤t≤T}為P*鞅。

引理2 (cf. Yan and Gao[7])

1)IG(Q,P)≥0當(dāng)且僅當(dāng)Q=P時(shí)等號(hào)成立，其中G?F.

2)IH(Q,P)≤IG(Q,P),其中H?G?F.

(15)

下面，我們來(lái)論證定理1的結(jié)論。

定理1的證明 令Q∈ALMM(P)，那么{Ri(t),0≤t≤T},1≤i≤m為Q局部鞅。故存在一列有界停時(shí){Tn,n≥1}，滿足當(dāng)n→∞時(shí)Tn↑T，使得{Ri(t∧Tn),0≤t≤T},1≤i≤m為Q鞅。因?yàn)?/p>

故

由引理2(2)知，注意到FT?FTn,n≥1，我們有IFT(Q,P)≥IFT(Q,P),n≥1.而且，

由于{Ri(t∧Tn),0≤t≤T},1≤i≤m為Q鞅，可得出

EQ(Ri(Tn))=EQ(Ri(0))=0,1≤i≤m

且

此外，令n→∞，我們可得出

因?yàn)門(mén)n是有界的且Tn↑T.另一方面，

根據(jù)引理1知，

而且

因此

結(jié)合條件(10)，可以得出

(16)

證畢。

注記1 注意到ALMM(P)在P(Ω,FT)上為凸集合。同時(shí)注意到關(guān)于P的相對(duì)熵在P(Ω,FT)上嚴(yán)格凸，就是說(shuō)，如果Q1,Q2∈P(Ω,FT)且Q1≠Q(mào)2,IFT(Qi,P)<∞對(duì)于i=1,2，那么

IFT(αQ1+(1-α)Q2,P)<αIFT(Q1,P)+(1-α)IFT(Q2,P)

對(duì)任何α∈(0,1)，結(jié)合以上性質(zhì)，我們很容易得出最小熵鞅測(cè)度是唯一的。

2 一些特殊例子

接下來(lái)我們給出一些跳擴(kuò)散過(guò)程的相關(guān)例子，并運(yùn)用定理1中的結(jié)論可算得其最小熵鞅測(cè)度。實(shí)際上，我們可以變換如下過(guò)程的表達(dá)形式。

例1 [一類跳過(guò)程，cf. Yan and Gao[7]]令S∶={(S1(t),S2(t),……,Sm(t)),0≤t≤T}為概率空間(Ω,F,P)上的m維價(jià)格過(guò)程，Si(t)可表示為

(17)

下面，我們令

(18)

(19)

因此，Si(t)可寫(xiě)成如下形式：

(20)

根據(jù)定理1的結(jié)論可知，其最小熵鞅測(cè)度即為收益過(guò)程R(t)關(guān)于P的Esscher變換，且相對(duì)熵最小值為

(21)

這正是Yan and Gao[7]文章中結(jié)論的多維形式。

例2 [幾何Lévy過(guò)程，cf. Fujiwara and Miyahara[6]]令S∶={(S1(t),S2(t),…,Sm(t)),0≤t≤T}為概率空間(Ω,F,P)上的m維幾何Lévy過(guò)程，Si(t)可表示為

(22)

令

(23)

fi(s,z)=gi(s,z)=z

(24)

故，Si(t)可變換得到以下形式：

(25)

因此，定理1結(jié)論可知最小熵鞅測(cè)度即為R(t)關(guān)于P的Esscher變換，且相對(duì)熵最小值為

(26)

這是Fujiwara and Miyahara[6]中的結(jié)論的多維形式。