基于MATLAB的數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

朱御康

（安徽大學(xué) 互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，安徽 合肥 230000）

0 引 言

數(shù)字信號(hào)相比于模擬信號(hào)有著傳輸速率快、抗干擾能力高以及保密性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，早在第二代手機(jī)技術(shù)通信中就得到了應(yīng)用。數(shù)字信號(hào)處理作為通信中信號(hào)分析處理的基礎(chǔ)，有著舉足輕重的作用。在數(shù)字信號(hào)處理課程中，IIR濾波器及FIR濾波器的設(shè)計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理課程的一個(gè)綜合應(yīng)用。學(xué)生在動(dòng)手設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，不僅會(huì)復(fù)習(xí)到諸如信號(hào)的幅頻響應(yīng)與相頻響應(yīng)、離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)以及系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響等相關(guān)知識(shí)，同時(shí)也會(huì)增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐動(dòng)手能力。

本文借助MATLAB GUI平臺(tái)，開(kāi)發(fā)了一款基于MATLAB的數(shù)字信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。該平臺(tái)通過(guò)IIR及FIR各類型濾波器算法的實(shí)現(xiàn)，致力于將數(shù)字信號(hào)處理課程中抽象煩瑣的理論知識(shí)具象化和形象化，以加深學(xué)生對(duì)于數(shù)字信號(hào)處理課程的理解[1-3]。

1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)流程

本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)共有9個(gè)顯示框、9個(gè)主要功能按鍵以及1個(gè)用來(lái)加入高斯白噪聲的滑動(dòng)拖條。其中9個(gè)功能按鍵及滑動(dòng)拖條都需要編寫其回調(diào)函數(shù)實(shí)現(xiàn)其功能。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要包含信號(hào)輸入、信號(hào)加噪以及信號(hào)濾波3個(gè)主要功能，系統(tǒng)流程如圖1所示，系統(tǒng)主界面如圖2所示。

圖1 系統(tǒng)流程圖

圖2 系統(tǒng)主界面

1.1 信號(hào)輸入

本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)輸入的信號(hào)采用正弦信號(hào)，點(diǎn)擊輸入信號(hào)按鈕，會(huì)彈出對(duì)話框，在框中可以輸入正弦信號(hào)的幅值及頻率。信號(hào)輸入后，系統(tǒng)左上方第一幅圖將會(huì)顯示原信號(hào)的時(shí)域波形，右側(cè)則會(huì)顯示出該信號(hào)的幅度譜及相位譜。需要注意的是，本實(shí)驗(yàn)在編寫時(shí)采樣頻率為1 000 Hz，故選取的正弦信號(hào)頻率不應(yīng)超出500 Hz過(guò)多，否則會(huì)導(dǎo)致頻譜混疊嚴(yán)重。

1.2 信號(hào)加噪

本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)疊加的噪聲選用高斯白噪聲，用戶可通過(guò)拖動(dòng)拉條來(lái)調(diào)節(jié)噪聲幅度。在選定噪聲幅度之后，系統(tǒng)會(huì)計(jì)算出加噪信號(hào)的信噪比并顯示，同時(shí)在右側(cè)顯示出加噪信號(hào)的幅度譜及相位譜。

1.3 信號(hào)濾波

數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位沖激響應(yīng)分類，可以分成無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器和有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器[4]。本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)分別設(shè)計(jì)了這兩種類型的濾波器，每種類型又分為低通、帶通、帶阻以及高通。用戶通過(guò)點(diǎn)擊按鈕，輸入濾波器的通帶截至頻率和阻帶截至頻率，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)設(shè)計(jì)出滿足要求的濾波器。濾波完成之后，系統(tǒng)會(huì)顯示濾波過(guò)后的幅度譜和相位譜，并計(jì)算出濾波過(guò)后的信噪比。用戶可以通過(guò)觀察幅度譜和信噪比來(lái)檢驗(yàn)濾波器的濾波性能。

2 濾波算法介紹

2.1 IIR濾波算法介紹

2.1.1 算法特性

IIR濾波器與FIR濾波器相比，在相同的設(shè)計(jì)指標(biāo)要求下，IIR濾波器的階數(shù)要低很多，設(shè)計(jì)成本相較于FIR濾波器要低[5]。IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

其系統(tǒng)函數(shù)決定了濾波器中存在有輸出到輸入的反饋，為一個(gè)遞歸結(jié)構(gòu)。

2.1.2 算法理論與流程

IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法有直接法與間接法，直接法主要基于模擬濾波器的設(shè)計(jì)，通過(guò)設(shè)計(jì)得到模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，將Ha(s)通過(guò)沖激響應(yīng)不變法或者是雙線性變換法來(lái)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法如圖3所示，下面介紹通過(guò)間接法設(shè)計(jì)IIR濾波器的流程[6]。

圖3 IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法

以巴特沃斯低通濾波器為例，其幅度平方函數(shù)為：

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)，求出極點(diǎn)sk，可表示為：

式中，k的取值從0到2N-1，表明其有2N個(gè)極點(diǎn)。則其對(duì)應(yīng)的Ha(s)有N個(gè)極點(diǎn)，且每個(gè)極點(diǎn)存在一個(gè)共軛極點(diǎn)，由此可以得出：

到此只需根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出系統(tǒng)階數(shù)N便可得到Ha(p)，再經(jīng)過(guò)去歸一化便可得到Ha(s)，最后通過(guò)雙線性變換法便可得到成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

在本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的IIR濾波器設(shè)計(jì)中，采用了切比雪夫二型的濾波器。以低通為例，使用cheb2ord函數(shù)，輸入?yún)?shù)為通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶波紋、阻帶最小衰減，得到濾波器階數(shù)n及3 dB截至頻率Omgn。通過(guò)che2ap函數(shù)，求切比雪夫二型模擬濾波器原型系統(tǒng)函數(shù)，返回零、極點(diǎn)和增益的形式。之后通過(guò)lp2lp函數(shù)將原型系統(tǒng)函數(shù)去歸一化，最后通過(guò)bilinear函數(shù)，即通過(guò)雙線性變換法將模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

2.2 FIR濾波算法介紹

2.2.1 算法特性

FIR濾波器相較于IIR可以做到嚴(yán)格的線性相位，其系統(tǒng)函數(shù)的一般表達(dá)形式為：

由于其系統(tǒng)函數(shù)沒(méi)有極點(diǎn)，決定了其沒(méi)有從輸出到輸入的反饋。但是，要取得良好的衰減特性，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的階次要比IIR濾波器高[7]。

2.2.2 算法理論與流程

以窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器為例，一般流程為根據(jù)技術(shù)指標(biāo)得到濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(ejω)，經(jīng)IDTFT得到其對(duì)應(yīng)的單位沖激響應(yīng)hd(n)，選擇對(duì)應(yīng)窗函數(shù)進(jìn)行截?cái)啵偻ㄟ^(guò)z變換得到H(z)。加窗截?cái)嗪蟮臑V波器是物理可實(shí)現(xiàn)的，但是其在濾波性能上相較于理想低通濾波器存在一些差異。

理想低通濾波器不存在過(guò)渡帶，而加窗之后在ω=ωc的頻率點(diǎn)附近出現(xiàn)過(guò)渡帶，且其帶寬與窗函數(shù)的主瓣寬度呈正相關(guān)。在ω=ωc±2π/N頻率點(diǎn)附近出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏震蕩，震蕩幅度和旁瓣的幅度和數(shù)量有關(guān)。為提高濾波器的性能，有窗函數(shù)的主瓣要求盡可能的窄，旁瓣幅度盡可能的小。在本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的FIR濾波器設(shè)計(jì)中采用漢寧窗作為窗函數(shù)[8]。

通過(guò)過(guò)渡帶帶寬求出濾波器階數(shù)，之后通過(guò)階數(shù)得到漢寧窗的窗函數(shù)，加窗截?cái)嗪蟮玫綖V波器的單位沖激響應(yīng)后，將加噪信號(hào)與濾波器的單位沖激響應(yīng)進(jìn)行卷積，即頻域相乘，完成濾波處理[8]。

3 信號(hào)處理結(jié)果與分析

3.1 FIR濾波分析

以FIR低通濾波器為例進(jìn)行濾波處理，原始信號(hào)選擇頻率為5 Hz，幅度為10 mV的正弦信號(hào)，噪聲信號(hào)為高斯白噪聲，選取通帶截止頻率為10 Hz，阻帶截止頻率為30 Hz。信號(hào)時(shí)域波形如圖4所示，幅度譜如圖5所示，相位譜如圖6所示。

圖4 信號(hào)時(shí)域波形

圖5 信號(hào)幅度譜

圖6 信號(hào)相位譜

下面進(jìn)行通過(guò)FIR低通濾波進(jìn)行濾波處理，濾波過(guò)后信號(hào)的時(shí)域波形，幅度譜及相位譜如圖7和圖8所示。

圖7 濾波信號(hào)時(shí)域波形

圖8 濾波信號(hào)幅度譜與相位譜

濾波之前的信噪比如圖9所示，約為7.967 2 dB，經(jīng)FIR低通濾波過(guò)后所得的信號(hào)信噪比如圖10所示，提升到22.365 3 dB，信噪比大幅提升。

圖9 濾波之前信噪比

圖10 經(jīng)FIR低通濾波過(guò)后的信噪比

3.2 IIR濾波分析

在IIR濾波器實(shí)驗(yàn)中，選用同樣的正弦信號(hào)，給定通帶截至頻率為100 Hz，阻帶截至頻率為200 Hz。IIR濾波過(guò)后的時(shí)域波形如圖11所示，幅度譜及相位譜如圖12所示。

圖11 濾波信號(hào)時(shí)域波形

圖12 濾波信號(hào)幅度譜與相位譜

經(jīng)濾波處理后，信噪比由7.967 2 dB上升到圖13所示的13.080 4 dB。由于通帶截至頻率選取為100 Hz，阻帶截至頻率選取為200 Hz，有較多噪聲信號(hào)未被濾除，不夠顯著，進(jìn)一步說(shuō)明在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，截至頻率的選擇至關(guān)重要[9,10]。

圖13 濾波信噪比

4 結(jié) 論

本文介紹了IIR及FIR濾波器各自的特點(diǎn)及設(shè)計(jì)流程，通過(guò)設(shè)計(jì)基于MATLAB的數(shù)字信號(hào)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)產(chǎn)生、疊加噪聲、信號(hào)濾波以及頻譜分析，并計(jì)算了其信噪比，深入探討了IIR及FIR濾波器之間的差別。通過(guò)本實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，可了解到各種類型的濾波器，對(duì)課堂知識(shí)靈活應(yīng)用并加以鞏固，便于后續(xù)更復(fù)雜的信號(hào)處理相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)。