基于學情，推動概念教學
——以蘇科版數學八年級上冊第四章“平方根”為例

■祁榮圣

數學概念是數學學習的起點，是進行數學推理、判斷的依據，是建立定理、法則、公式的基礎，也是形成數學思想方法的出發點。如果對學習概念重視不夠，或是學習方法不當，既影響對概念的理解和運用，也直接影響思維能力的發展。有些學生不能靈活解決問題，歸根結底還是沒有真正掌握好概念。因此，概念教學需要從知識內部結構和學生認知的實際出發，充分展示概念的自然生長過程，引導學生從概念學習中領悟隱含于數學問題探索中的思想方法，并在“知識消化”過程中形成主動研究問題、解決問題的方式方法。筆者以蘇科版數學八年級上冊第四章“平方根”第一課時為例，通過“感知概念→生成概念→構建概念→深化概念”的教學模型，談談如何有效推動概念教學。

一、概念教學案例

（一）引入部分

1.問題：直角三角形兩邊長為3、4，則第三邊長為_______。

【設計說明】承接數學教材內部的序，由學生熟知的易錯題出發，克服勾3股4弦5的思維定式，利用學生生成的錯誤資源感受分類思想。

2.數學運算的發展史。

算術數→引進負數：代數三次飛躍中的第一次飛躍→產生有理數→引進無理數：數學發展史上三次危機中的第一次危機→產生什么數？

【設計說明】充分考慮學段內知識的發生、發展和關聯，突出章節起始課教學的大范疇。

3.從知識完備性來看數的運算。

有理數的減法與除法是如何運算的？乘方對應產生什么運算？

【設計說明】借助減法與除法轉化成加法和乘法的思想方法，啟發學生思考乘方對應的運算，感受本節課所學知識的內在價值。

（二）展開部分

1.生活數學緊相連，瞻前顧后想關聯。

（1）【生活問題】已知一塊正方形木板的邊長是2米，那么這塊正方形木板的面積是多少平方米？

【基本結論】兩類問題都是已知底數和指數，根據乘方定義求出冪。用符號語言表述為“在a2=x中，已知a，利用乘方，可以求出x”。

現在把上述問題反過來，逆向思考新問題，你會編題求解嗎？

（2）【生活問題】已知一塊正方形木板的面積是4平方米，那么這塊正方形木板的邊長是多少米？

【數學問題】設圖1中的小方格的邊長為1，你能分別算出兩個長方形的對角線AB、A′B′的長嗎？

圖1

【設計說明】從熟悉的生活和數學中的乘方入手，起點低，坡度小。逆向編題并解題能為平方根概念的自然生成夯實基礎，同時，概念學習的同化和異化作用得以體現，彰顯思維的完備性。

2.特殊一般來歸納，合情合理下定義。

【共性歸納】這兩類問題相當于已知乘方的結果（冪）和指數（2），反過來求底數。用符號語言表述為“在x2=a中，已知a，如何求出x”。

【思考發現】上述問題應該是乘方運算的逆向問題。

【嘗試解決】

（1）當x2=4時，因為22=4，（-2）2=4，所以x=±2。因為x代表邊長，所以x=2。

（2）當x2=16時，因為42=16，（-4）2=16，所以x=±4。

（3）①當x2=169時，因為132=169，（-13）2=169，所以x=±13。因為x代表線段長，所以x=13。

②當x2=5時，因為（ ）2=5，（-）2=5，所以x=±（ ）。因為x代表線段長，所以x=（ ）。

【設計說明】利用題組和符號表示，方便辨析異同，利于學生區分數學與生活的同與不同，也為算術平方根的學習做好鋪墊。

【基本結論】使x2=a（a≥0）成立的數有兩個，它們互為相反數。

【文字表達】如果一個數的平方等于a（a≥0），那么這個數叫作a的平方根，也稱為二次方根。

【符號表達】如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根。

一個正數a的正的平方根，記作；一個正數a的負的平方根，記作。

正數a的兩個平方根記作，讀作“正、負根號a”。

3.以點帶面理解透，規范表達很重要。

【學生交流】下列各數有平方根嗎？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由。

【學生歸納】一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。

【給出定義】求一個數的平方根的運算叫作開平方。

例1求下列各數的平方根。

【設計說明】在討論的過程中，不同層次的學生可能會遇到不同的困難，教師要給予適當的幫助和鼓勵，同時板書示范（1）和（5）的解題過程，其余由學生板演，講練結合，強化書寫訓練，突出文字與符號的轉化意識。

例2求下列各式中的x。

（1）x2=169；（2）4x2=169；

【設計說明】循“實例感知→抽象概念→運用概念→辨析概念”的順序，充分發揮學生的探究主動性，從不同維度厘清平方根的概念和運用，為下一節課辨清算術平方根夯實基礎。

4.回顧過程勤反思，拓展延伸再探究。

（1）所學知識：開平方的定義；平方根的定義。

（2）思想方法：從特殊到一般的歸納；數學抽象。

（3）解決疑惑：數的發展完善；數的運算完備。

（4）產生問題：

①數學中平方根往往有2個，而生活中往往只取其中的正數。你能給出實例嗎？

②平方是乘方的特殊情形，開平方得平方根是開方的特殊情形。你能舉例嗎？

③我們發現下列計算，a+b-b=______；a÷b×b（b≠0）=______。

類似加減、乘除，乘方與開方也互逆。你還能提出什么運算？猜想怎么算。

【設計說明】區別于一般的“你有什么收獲”的自主總結，規定問題的反思小結能讓學生更具象地理解核心概念，促使學生在舉例中學會類比發問，形成概括化的學科方法。

二、教學反思

（一）現實需要促進知識理性生長

初中數學概念教學既要靈活地把握好感性的課堂和學生，又要教會學生理性思考。本節課從學生熟悉的問題情境中挖掘生成的錯誤資源，產生現有運算儲備不能完全解決問題的困惑，結合數學運算發展史，充分認識運算需要擴充，需要完備，對呼之欲出的概念產生迫切需求，充分考慮學段內知識的發生、發展與關聯，激發學生學習興趣。學生感受到所學知識來源于生活，數學概念是反映數學對象本質的思維形式，是形成數學知識體系的基礎，是數學思想方法的重要載體。同時，教師把實際問題抽象成數學問題，通過一個個“為什么”引導學生的數學思維得到理性生長。

（二）生成概念促進知識繼續生長

知識發生發展的過程，就是展示數學概念形成和深化的過程，展示數學規律發現的過程，展示數學知識拓展和運用的過程。

教者通過比較、分析、歸納、類比等形式引出開方，從而建立新的概念，推動學生數學知識的生長，而復原知識產生的過程正是學生知識生長的基礎。遵循數學教材體系和學生認知結構的概念探究過程，水到渠成地生成開方和平方根的概念，學生收獲的不僅是知識，還有思維延伸的活動過程。學生會感悟到學習數學就是“玩概念”，理解概念不僅要記住概念的定義形式，還要理解概念的內涵和外延。

（三）建構概念促進學生抽象歸納能力的發展

“概念是人腦的高級產物”，哪里有數學思維活動，哪里就有數學概念的出現和運用。建立概念必須對已有的知識結構有充分的了解，再借助教師呈現的變式材料和佐證，明確概念的外延。概念的形成是經歷對具體實例的特征的歸納、類比、檢驗后明確的本質屬性。給出定義并用符號表示概念，經歷概念的抽象過程，能發展學生的抽象能力、推理能力、符號意識、模型思想等，使他們逐步形成數學的學科觀念。

（四）深化概念促進學生解決問題能力的發展

學生通過綜合訓練，不但能強化知識的理解，增強運用知識解決問題的能力，而且能發散思維，達到概念內化的效果。當學生熟練掌握開平方及其性質后，再遷移運用到開立方等，這些就是自覺的行為。

通過“感知概念→生成概念→構建概念→深化概念”的教學模型，最終讓學生不僅學會概念，更重要的是讓學生學會如何學習一個新的知識，并且學會把新知識與舊知識進行聯系，從而豐富知識體系，提升自學的能力。這也正是課標提出的讓不同的人得到不同的發展，培養學生提出問題和發現問題的能力。