非均勻海底環境下鉸接超大型浮體的水彈性響應分析

夏彩波，位 巍，李 帥，付世曉

（1.上海交通大學a.海洋工程國家重點實驗室，b.船舶海洋與建筑工程學院，上海200240；2.高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240）

0 引 言

超大型浮體（VLFS）被廣泛應用于海上資源開發和軍事基地的建立，具有重要的經濟及軍事戰略意義。與常規海洋工程結構物相比，VLFS 尺度巨大且結構剛度相對較低，在波浪作用下的彈性變形不可忽略。因此，必須采用水彈性理論求解其在復雜海洋環境下的動力學響應[1-6]。

VLFS通常采用模塊化建造，對于這種多模塊連接而成的超大型浮體，在波浪作用下，各模塊的運動不僅受到模塊間的水動力干擾，還受到模塊間連接件和結構彈性變形的約束作用。目前對于有連接件的VLFS 的研究方法主要有模態展開法和直接法。模態展開法即對特定的連接方式定義系統的模態，進而求解相應的水動力系數并建立整體系統的運動響應方程[7]。一些學者針對系統中連接件的個數[8]、模塊以及連接件的剛度[9-10]、是否計入模塊彈性變形的影響[11]等問題對結構響應的影響進行了分析，發現模塊和連接件的剛度，以及模塊的彈性變形對結構響應有重要的影響。模態展開法雖然可以減少計算量和存儲量，但對于帶連接件的復雜浮式結構物，不易準確地分析出系統的運動模態。因此，直接法被提出和采用，直接法認為n 個模塊的系統存在6n 個自由度，根據連續特性補充位移連續條件，建立系統的整個運動方程[12-13]。這種方法雖然增加了計算量和存儲量，但求解時可以考慮比較復雜的連接形式以及復雜的結構，具有普適性。

上述的研究均基于浮式結構物所處海洋環境是均勻的假定，而對于超大型浮體，其跨度較大（數千米），首尾兩端所處的地理位置不同，波浪特征參數存在較大差異，波浪場的非均勻性十分明顯。因此，對于VLFS 的結構設計有必要考慮非均勻海洋環境對浮體響應的影響。Song[14]采用有限水深格林函數的邊界積分法和結構格林函數的平板理論，耦合求解了非均勻海底環境下的VLFS 的水彈性響應，并與試驗工況進行了對比，證明了該理論的有效性。田超[15]基于緩坡方程和三維水動力學理論模型，開創性地提出一種工程簡化計算方法，預報了島礁附近浮式結構物在波浪中的運動與載荷響應，發現島礁的存在對浮體運動響應的影響很大。上述學者預報了非均勻海底、島礁環境下浮式結構物的動力響應，但對于非均勻海洋環境下帶有連接件的VLFS的水彈性響應研究較少。

本文采用基于離散模塊思想的水彈性分析方法[16]，對處于非均勻海底環境下的鉸接超大型浮體水彈性響應進行了分析。首先，將VLFS離散為若干個模塊，每個模塊視作獨立的剛體，然后應用三維勢流理論并計及各剛體模塊之間的水動力干擾，獲得各個模塊的波浪激勵力、附加質量系數、阻尼系數及靜水回復系數；其次，為保證結構位移的連續性，在各個模塊重心點之間設置等截面和等剛度的伯努利-歐拉梁；然后，依據牛頓第二定律，將各個模塊的水動力系數和彈性梁剛度陣進行耦合，得到連續浮體在波浪作用下的運動學方程；在此基礎上，應用最小勢能原理及拉格朗日乘子法得到鉸接點處的約束矩陣、耦合約束陣和連續浮體運動學方程，建立鉸接超大型浮體在非均勻海底環境下的運動方程；最后，在頻域內求解該方程得到浮體的位移響應。通過梁的彎曲理論，得到在不同入射角度、波長和海底條件下超大型浮體的彎矩分布及鉸接點處軸向力和垂向剪力。發現非均勻海底對鉸接點的位移和受力有明顯的影響，在超大型浮體設計中必須考慮非均勻海底的影響。

1 基本理論

基于多體動力學，將VLFS離散為若干個模塊，每個模塊視為獨立的剛體，在水動力計算時考慮模塊之間的水動力干擾。模塊之間的位移連續性通過在模塊重心之間設置等截面剛度的伯努利-歐拉梁來保證，從而建立基于多體動力學的VLFS的彈性響應分析方法。隨后應用最小勢能原理及拉格朗日乘子法得到鉸接點處的約束矩陣、耦合約束陣和連續浮體運動學方程，建立鉸接超大型浮體在非均勻海底環境下的運動方程。

1.1 坐標系的定義

本文首先基于離散模塊思想，將連續的VLFS離散為由彈性梁連接的多浮體系統。為描述該多浮體系統在波浪作用下的水彈性響應，本文采用了三個右手坐標系，分別為大地坐標系OXYZ、參考坐標系o′mx′my′mz′m、隨體坐標系omxmymzm（m = 1,2,...,N）。如圖1 所示。其中，大地坐標系OXYZ 在空間固定，OXY 平面位于靜水面，Z 軸豎直向上；參考坐標系o′mx′my′mz′m始終位于浮體的平衡位置，不隨浮體搖蕩；隨體坐標系omxmymzm隨各浮體一起運動，其初始位置與大地坐標系的坐標軸平行。規定波浪入射方向與X軸平行且指向X軸正向時，θ = 0°，逆時針方向為正。

圖1 多浮體系統的坐標系Fig.1 Coordinate system of a multibody system

1.2 頻域水彈性動力學方程

基于離散模塊思想的頻域水彈性方法[16]，將連續的VLFS 離散為由彈性梁連接的多剛體系統，然后應用三維勢流理論獲得各個剛體的水動力系數，將其與彈性梁剛度陣進行耦合，得到浮體在波浪作用下的運動學方程（如圖2所示）為

式中：[M]、[A]分別為浮體總質量矩陣和附加質量矩陣；[C]、[c]分別為勢流阻尼矩陣和結構阻尼矩陣；[K]、[k]分別為靜水恢復力矩陣以及結構剛度矩陣；{ }u 為浮體節點處的位移矩陣；{ }F 為波浪激勵力矩陣。

圖2 頻域水彈性方程建立過程Fig.2 Establishment process of frequency domain hydroelastic equation

1.3 鉸接連接下浮體的水彈性動力學方程

當浮體之間有連接時，還需考慮連接件的影響。對于有連接的多浮體系統，頻域水彈性方程可以改寫為

式（2）可改寫為

式中，[ L ]為約束矩陣，g為連接點處約束個數的總和。

對該方程取變分，得到

根據位能駐值原理δΠ = 0，可得

將式（8）整理為

式（9）即為浮體間存在連接時的水彈性動力學方程。

當兩個浮體模塊鉸接時（以結構僅可以繞y軸轉動為例），約束矩陣[L]5×12的表達式[17-18]為

式中，(xi,yi,zi)是鉸接點處的坐標，以上運算均相對于大地坐標系。

1.4 垂向彎矩及剪力

對于帶鉸的梁結構而言，分析其剪力和彎矩時，首先將梁從鉸接點處分為兩段，先求出鉸接點處的剪力，再基于靜力平衡求得任意斷面的剪力和彎矩，具體求解過程見圖3。

根據材料力學的知識，當梁上所有外力已知時，可用截面法計算梁的橫截面上內力。取距o 端x處的任意斷面s，以s 處左段梁為研究對象（見圖3），作用在梁上的外力為各模塊中心上的等效剪力和彎矩和，為滿足左段梁的平衡條件，斷面s 上存在內力SF 和BM，可以利用梁的彎曲理論得到。

式中，l為單個模塊的長度。

圖3 帶鉸自由梁的靜力平衡示意圖Fig.3 Static balance of freedom beam with hinge point

2 模型介紹

2.1 VLFS體模型

模型參照Song[14]論文中的試驗模型，即日本的Mega-Float[19]，PhaseⅡ。采用基于離散模塊思想的水彈性分析方法[16]對VLFS 的動力響應進行求解，文中將VLFS 沿長度方向離散為20個子模塊，如圖4所示。VLFS以及子模塊的參數見表1。

圖4 非均勻海底環境下超大型浮體的數值模型Fig.4 Numerical model of VLFS under an uneven bottom

表1 超大型浮體與子模塊的主要參數Tab.1 Main particulars of VLFS and substructures

2.2 非均勻海底模型

本文通過在海底設置二維沙丘來模擬非均勻海底。二維沙丘是一個截面為橢圓型的柱體，柱體長度是超大型浮體寬度的10倍，從而在該方向上可視為無限長，具體尺寸如表2所示，沙丘模型如圖5所示。

表2 二維沙丘參數Tab.2 Dimensions of the shoal model

沙丘中心與浮體中心重合，長邊與浮體長邊垂直，具體的布置見圖4。本文波浪入射波角度θ 為0°、30°和60°。由于參考文獻中缺少連接件的位置和剛度信息，本文采用鉸接形式，鉸接點位于結構的中心，具體的布置見圖6。

圖5 二維沙丘模型Fig.5 Shoal model

圖6 非均勻海底環境下超大型浮體的二維示意圖Fig.6 Two-dimensional map of VLFS under an uneven bottom

3 計算結果及分析

3.1 垂向位移

圖7和圖8分別給出了兩種結構模型（連續結構和鉸接結構）在同一水深d=20 m，不同入射角度（θ=0°，30°，60°）和不同入射波長（λ=50，100，200，400 m）、不同海底分布下（Flat bottom and Bottom A）的垂向位移（wz/A）沿結構長度（x/L）方向的分布。其中，“Flat bottom”表示連續結構在均勻海底環境下的垂向位移；“Bottom A”表示連續結構在非均勻海底環境下的垂向位移；“Bottom A_hinged”表示鉸接結構在非均勻海底環境下的垂向位移。從圖7可以看出，對于同一波長情況下，隨著波浪入射角度的增大，海底的非均勻效應逐漸變得明顯，在結構垂向位移變化劇烈的同時對鉸接點處的位移幅值影響也增大。

圖7 不同波浪入射角下VLFS的垂向位移Fig.7 Vertical displacement of VLFS at different wave angles

圖8 不同波長下VLFS的垂向位移Fig.8 Vertical displacement of VLFS at different wave lengths

從圖8 中可以看出，隨著入射波長的增大，海底的非均勻效應對結構垂向位移的影響逐漸增大，對鉸接點處的幅值影響也逐漸增大，尤其以入射波長為200 m和400 m時較為明顯。而在結構的首尾位置處，由于遠離非均勻海底區域以及連接件位置，連續結構和鉸接結構的垂向位移值大致相同。并且對于相同入射角度、入射波長以及海底情況下，鉸接點的存在主要影響鉸接點附近的垂向位移。

3.2 垂向彎矩

結構的受力情況是設計中所關心的問題，本文給出連續結構和鉸接結構分別在均勻海底和非均勻海底下的垂向彎矩沿結構長度方向的分布，見圖9和圖10。從兩圖中可以看出，對于同一種結構形式，非均勻海底對結構垂向彎矩的影響與垂向位移相似，也是隨著入射波長和入射角的增大，其非均勻影響逐漸增大。靠近結構首尾的位置，垂向彎矩在不同海底和不同連接形式下基本相同，這是因為波浪初始入射的位置遠離海底非均勻的區域和鉸接點的位置，因此不受非均勻以及鉸接點的影響。

圖9 不同波浪入射角下VLFS的垂向彎矩Fig.9 Vertical bending moment of VLFS at different wave angles

圖10 不同波長下VLFS的垂向彎矩Fig.10 Vertical bending moment of VLFS at different wave lengths

從圖10 可以看出，0°浪向下，隨著入射波波長的增大，結構的最大彎矩有逐漸增大的趨勢，且除400 m 波長外，其余波長出現最大彎矩的位置基本相同，靠近結構的首部。而400 m 波長下的最大彎矩出現在中部位置。此外，鉸接連接的存在，主要降低了鉸接點附近的彎矩。

3.3 連接件處的垂向位移及受力

圖11給出了連接件處的垂向位移在兩種海底環境下隨入射波角度的變化情況。可以看出，非均勻海底對連接件的垂向位移存在一定影響，并且影響存在于浪向角較大的情況下，在入射波角度和波長較小時，兩種海底環境下連接件處的垂向位移幾乎相同，非均勻效應不明顯。而隨著波浪角度和波長的增加，非均勻效應逐漸增加。尤其是在橫浪時，在非均勻海底環境下的連接件的垂向位移值約為均勻海底環境下的1.5倍。

圖11 不同波長下連接件處的垂向位移Fig.11 Vertical displacements of connectors at different wavelengths

為了研究非均勻海底對連接件受力的影響，本文給出鉸接VLFS 在均勻海底和非均勻海底（Bottom A）形式下的連接件的軸向力Fx以及垂向力Fz隨入射波浪角度和波長的變化情況，如圖12～13 所示。兩圖中，非均勻海底對連接件的軸向力和垂向力存在比較明顯的影響，斜浪時連接件的受力更大，此時環境工況更惡劣。對于同一種入射波波長，連接件受力的最大值對應的浪向角在兩種海底形式下基本相同，除了在λ= 200 m 時Fx在兩種海底形式下最大值對應的頻率不相對應，但是在這種入射波波長下，兩種海底形式均在各自出現最大值對應的波浪角的位置出現極值，見圖12（c）。圖12表明，在均勻海底形式下，連接件的受力在橫浪時是趨于零的，但由于非均勻效應的影響，在非均勻海底形式下連接件的軸向力在橫浪時仍保持比較大的數值。

圖12 不同波長下連接件的軸向力Fig.12 Axial force of connector at different wavelengths

由圖13可以看出，在非均勻海底環境下連接件垂向力的最大值在各計算波長下均大于均勻海底環境下的受力值。當波長很短時，如λ= 50 m 時，兩種海底情況下連接件的垂向力差別不大。當波長逐漸增大時，非均勻效應開始顯現，兩種海底形式下的連接件受力差距逐漸加大。尤其在λ= 400 m時，非均勻海底情況下連接件的垂向力大約為均勻海底情況下受力的兩倍。因此，在計算連接件垂向力時，必須要考慮非均勻海底帶來的影響。

圖13 不同波長下連接件的垂向力Fig.13 Vertical force of connector at different wavelengths

表3給出了不同波長下連接件軸向力和垂向力受力最大值所對應的浪向角。由表3可以看出，連接件受力最大值所對應的浪向角在40°～80°的范圍內，因此可以看出斜浪時連接件的受力最大，VLFS作業時應避免斜浪。

表3 連接件受力最大值所對應的浪向角Tab.3 Corresponding wave angles of maximal connector’s forces

4 結 語

采用基于離散模塊思想的頻域水彈性分析方法，本文研究了在不同入射波波長、入射角下，非均勻海底對鉸接浮體模型的垂向位移、彎矩以及連接件受力的影響。數值計算結果表明：隨著入射波波長的增大，非均勻效應逐漸增大，對結構的垂向位移、彎矩以及連接件受力的影響逐漸增大；與均勻海底相比，非均勻海底對連接件的受力影響較大，因此在連接件的設計時，必須要考慮非均勻海底帶來的影響；斜浪時，連接件的軸向力和垂向力均比較大，因此，VLFS作業時應盡量避免斜浪。