并聯隔振系統剛度歸一化及固有頻率的計算與驗證*

（中國船舶集團第七二二研究所武漢邁力特通信有限公司 武漢 430205）

1 引言

動力學的經典通用運動方程為［3］

式中：［M］是質量矩陣［4］、［C］是阻尼矩陣［4］、［K］是剛度矩陣［6］、δ是位移、F是激勵力。F是時間t的函數。

不同的分析類型對應不同形式的求解方程：1）對于模態分析時，則F（t）=0，［C］被忽略；2）對于諧響應分析，F（t）與δ（t）都假設為諧函數，例如正弦振動；3）對于瞬態動力學分析，上述方程保持其完整性不變等。

因此，單自由度方向正弦振動的微分方程可簡化成如下方程：

正弦運動位移：δ（t）=Xsin（ωt+φ）。

式中：ω為角頻率，ω=2πf（rad/s）；f為周頻率（Hz），即單位時間內振動的次數；X為位移峰值（mm），即振幅；φ為初始相位角（rad）；t為時間（s）。

解上述簡化方程，得：

因此，對于并聯隔振系統，明確了系統剛度和載荷質量后，即可得到隔振系統的振動頻率（即固有頻率）。

材料的剛度是由使其產生單位變形所需的外力值來衡量的。各向同性材料的剛度取決于它的彈性模量E和剪切模量G，還與其幾何形狀、邊界條件等因素有關。

等效剛度：材料、外形及幾何尺寸固定的物體，其自然頻率（又稱固有頻率）是固定不變的，因此使用線性等剛度或非線性變剛度隔振器時，在固定載荷質量作用下，其固有頻率是固定不變的。為了簡化計算，可先簡化計算用的數學模型。實際研究過程中，將剛度做歸一化處理［7］，得到一個固定的剛度值。這個固定的剛度值，就是等效剛度［8］。

下圖表示由兩個彈性系統，歸一化擬合成一個彈性系統的過程［8］。

圖1（a）表示由剛度分別為K1和K2的組成的彈性系統，在矢量力作用下，產生位移。根據胡克定律，得到以下等式。

圖1 并聯剛度轉化過程

圖1（b），在相同矢量力作用下，也產生相同位移。以上同理，可得如下等式。

圖1 某設備振動掃頻結果

對比等式（1）、（2），于是就可得出：K=K1+K2，K就是K1+K2彈性系統的等效剛度。

依次類推，多個隔振器并聯使用時，單個隔振器的剛度分別是 K1、K2、K3，…，則并聯系統的等效剛度：

所以并聯使用彈性系統時，系統的剛度系數K是各個隔振器的剛度系數Ki的算術之和。實際使用中，各個隔振器的算術符號完全相同，要么全為“+”，要么全為“-”，因此，并聯后隔振系統的剛度，都會強于單個隔振器的剛度，即

由于小阻尼對振動周期略有影響［8］，所以此處可忽略阻尼的影響，隔振系統的振動頻率可近似計算如下：

式中：f為隔振系統的振動頻率，即隔振系統的固有頻率；|k|為隔振系統的剛度系數，即隔振系統的等效剛度；m為隔振系統所承受載荷的質量。

由式（5）可知，當知曉并聯隔振系統的等效剛度|k|與隔振系統載荷的質量m后，就可計算出無阻尼狀態下，并聯隔振器系統的單自由度方向的振動頻率，且f與|k|正相關，也就是說，在相同載荷質量m的作用下，并聯后隔振系統的振動頻率，將朝頻率f軸的正方向移動，即并聯后隔振系統的固有頻率，將高于單個隔振器的固有頻率。

例如，已知在載荷質量m作用下，剛度是Kj的隔振器，其固有頻率是f1j。

當四個剛度系數是Kj的相同隔振器并聯使用時，根據式（3）可計算出隔振系統的等效剛度系數是 4Kj。根據前面式（5）中 f與|k|的關系，并聯后隔振系統的固有頻率將增加到2f1j。計算過程如下。

并聯隔振系統等效剛度|k|=K1+K2+K3+K4=Kj+Kj+Kj+Kj=4Kj。

單個隔振器使用時，固有頻率為

四個隔振器并聯使用時，固有頻率為

解由式（6）、（7）組成的方程組，得

以上描述的是等剛度隔振器組成的隔振系統的等效剛度歸一化擬合方法和固有頻率計算方法。

實際工程應用中，我們也經常會遇到變剛度隔振器組成的隔振系統［9～11］。我們長期的振動試驗得到的試驗結果表明，類似不銹鋼鋼絲繩隔振器，屬變阻尼變剛度型隔振器，在單一軸方向振動時［12］，用前面的等剛度歸一化方法計算得出的等效剛度及固有頻率，與試驗結果接近度很高。

因此，對并聯變剛度隔振系統的等效剛度歸一化處理，也可參照此方法，從而可大大減少設計建模工作量和計算工作量，以提高設計效率。

2 實例驗證

舉一具體實例，來對剛度歸一化的擬合算法及頻率計算數學模型進行驗證。

某掛裝安裝式設備的隔振系統，選用了兩個型號為GH-40B的不銹鋼鋼絲繩隔振器，該隔振器平坐安裝時的額定載荷能力是4kg、側掛安裝時的載荷能力是1.8kg。

隔振器特性見表1。

表1 隔振器特性表

隔振系統承載的設備質量是3.2kg。隔振器的額定承載能力之和是8kg，與設備重量之比是8÷3.2=2.5（倍）。

查表1得到廠家給出的隔振器的特征數據如下。

GH-40B隔振器側掛額定載荷1.8kg，垂直于掛裝安裝面（即平坐方向）振動時的固有頻率范圍是9Hz～12Hz。根據隔振器廠家的實測結果，并根據固有頻率、剛度系數與質量之間的數學關系，以及1.8kg額定載荷對應的隔振器的固有頻率是12Hz，對應的方程式如下：

定義并聯使用兩個GH-40B組成的隔振系統的固有頻率為f21，并聯后，系統等效剛度是2K，隔振系統掛裝承載的載荷質量3.2kg時，則對應的方程式如下：

解由式（6）、（7）組成的方程組，得

圖2是振動試驗時振動掃頻結果，共振點在12.67Hz，與計算出的12.73Hz固有頻率比較接近。考慮測量誤差，基本可判定兩者結果是相同的。

3 仿真驗證

3.1 不銹鋼隔振器

某不銹鋼材質隔振器的形態如圖3所示。

圖3 某隔振器三維狀態圖

下面，我們將在Y軸方向，用ANSYS Workbench有限元仿真軟件，在相同載荷質量m作用下，分別仿真分析單個隔振器、兩個隔振器、四個隔振器組成的隔振系統的固有頻率，看看仿真結果是否固有頻率計算結果一致。

定義用fij表示隔振系統的固有頻率，其中i表示并聯隔振器的數量，j表示振動階次，如f21表示由兩個隔振器組成的隔振系統的第1階固有頻率。

3.2 單隔振器隔振系統

首先聲明一下，在如車、船、飛機等環境下，不會出現如下圖所示的單隔振器系統，但在理想的單軸方向，將單隔振器系統作為一種研究方法，以及作為研究對象是可行的，單隔振器系統是我們研究及參照基礎。

載荷質量m，單隔振器組成的隔振系統三維形態如圖4所示。

圖4 單隔振器隔振系統三維狀態圖

經仿真，前六階固有頻率及振型見表2。

表2 單隔振器系統固有頻率及振型

對比表2中的各階振型，可看出，只有第六階振型是沿Y軸方向運動的，第六階的固有頻率是f16=115.33Hz。

3.3 雙隔振器隔振系統

載荷質量m，雙隔振器組成的隔振系統三維形態如圖5所示。

圖5 雙隔振器隔振系統三維狀態圖

經仿真，前六階固有頻率及振型見表3。

表3 雙隔振器系統固有頻率及振型

對比表3中的各階振型，可看出，只有第五階振型是沿Y軸方向運動的，第五階的固有頻率是f25=160.32Hz。

3.4 四隔振器隔振系統

載荷質量m，四隔振器組成的隔振系統三維形態如圖3所示。

經仿真，前六階固有頻率及振型見表4。

表4 四隔振器系統固有頻率及振型

對比表4中的各階振型，可看出，只有第六階振型是沿Y軸方向運動的，第六階的固有頻率是f46=220.2Hz。

3.5 結果對比分析

我們將根據前文提供的剛度擬合及固有頻率計算方法，計算出三種隔振系統在Y軸方向振動時的固有頻率，并與仿真結果進行對比，對比結果見表5。

表5 隔振系統固有頻率計算與仿真結果對比表（Hz）

仿真及計算，都存在一定的誤差，忽略這些誤差，可判定仿真結果與計算結果是相同的。

圖6 四隔振器隔振系統三維狀態圖

4 結語

通過實物振動試驗掃頻驗證及仿真結果驗證，證明了本文提供的并聯隔振系統的剛度歸一化擬合技術及并聯隔振系統固有頻率的計算方法是正確的，對設計并聯隔振系統具有較好的指導意義。