并聯(lián)隔振系統(tǒng)剛度歸一化及固有頻率的計算與驗證*

2021-06-04 04:12:38

艦船電子工程 2021年5期

（中國船舶集團第七二二研究所武漢邁力特通信有限公司武漢 430205）

1 引言

動力學的經(jīng)典通用運動方程為［3］

式中：［M］是質(zhì)量矩陣［4］、［C］是阻尼矩陣［4］、［K］是剛度矩陣［6］、δ是位移、F是激勵力。F是時間t的函數(shù)。

不同的分析類型對應不同形式的求解方程：1）對于模態(tài)分析時，則F（t）=0，［C］被忽略；2）對于諧響應分析，F(xiàn)（t）與δ（t）都假設為諧函數(shù)，例如正弦振動；3）對于瞬態(tài)動力學分析，上述方程保持其完整性不變等。

因此，單自由度方向正弦振動的微分方程可簡化成如下方程：

正弦運動位移：δ（t）=Xsin（ωt+φ）。

式中：ω為角頻率，ω=2πf（rad/s）；f為周頻率（Hz），即單位時間內(nèi)振動的次數(shù)；X為位移峰值（mm），即振幅；φ為初始相位角（rad）；t為時間（s）。

解上述簡化方程，得：

因此，對于并聯(lián)隔振系統(tǒng)，明確了系統(tǒng)剛度和載荷質(zhì)量后，即可得到隔振系統(tǒng)的振動頻率（即固有頻率）。

材料的剛度是由使其產(chǎn)生單位變形所需的外力值來衡量的。各向同性材料的剛度取決于它的彈性模量E和剪切模量G，還與其幾何形狀、邊界條件等因素有關。

等效剛度：材料、外形及幾何尺寸固定的物體，其自然頻率（又稱固有頻率）是固定不變的，因此使用線性等剛度或非線性變剛度隔振器時，在固定載荷質(zhì)量作用下，其固有頻率是固定不變的。為了簡化計算，可先簡化計算用的數(shù)學模型。實際研究過程中，將剛度做歸一化處理［7］，得到一個固定的剛度值。這個固定的剛度值，就是等效剛度［8］。

下圖表示由兩個彈性系統(tǒng)，歸一化擬合成一個彈性系統(tǒng)的過程［8］。

圖1（a）表示由剛度分別為K1和K2的組成的彈性系統(tǒng)，在矢量力作用下，產(chǎn)生位移。根據(jù)胡克定律，得到以下等式。

圖1 并聯(lián)剛度轉(zhuǎn)化過程

圖1（b），在相同矢量力作用下，也產(chǎn)生相同位移。以上同理，可得如下等式。

圖1 某設備振動掃頻結(jié)果

對比等式（1）、（2），于是就可得出：K=K1+K2，K就是K1+K2彈性系統(tǒng)的等效剛度。

依次類推，多個隔振器并聯(lián)使用時，單個隔振器的剛度分別是 K1、K2、K3，…，則并聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度：

所以并聯(lián)使用彈性系統(tǒng)時，系統(tǒng)的剛度系數(shù)K是各個隔振器的剛度系數(shù)Ki的算術之和。實際使用中，各個隔振器的算術符號完全相同，要么全為“+”，要么全為“-”，因此，并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的剛度，都會強于單個隔振器的剛度，即

由于小阻尼對振動周期略有影響［8］，所以此處可忽略阻尼的影響，隔振系統(tǒng)的振動頻率可近似計算如下：

式中：f為隔振系統(tǒng)的振動頻率，即隔振系統(tǒng)的固有頻率；|k|為隔振系統(tǒng)的剛度系數(shù)，即隔振系統(tǒng)的等效剛度；m為隔振系統(tǒng)所承受載荷的質(zhì)量。

由式（5）可知，當知曉并聯(lián)隔振系統(tǒng)的等效剛度|k|與隔振系統(tǒng)載荷的質(zhì)量m后，就可計算出無阻尼狀態(tài)下，并聯(lián)隔振器系統(tǒng)的單自由度方向的振動頻率，且f與|k|正相關，也就是說，在相同載荷質(zhì)量m的作用下，并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的振動頻率，將朝頻率f軸的正方向移動，即并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的固有頻率，將高于單個隔振器的固有頻率。

例如，已知在載荷質(zhì)量m作用下，剛度是Kj的隔振器，其固有頻率是f1j。

當四個剛度系數(shù)是Kj的相同隔振器并聯(lián)使用時，根據(jù)式（3）可計算出隔振系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)是 4Kj。根據(jù)前面式（5）中 f與|k|的關系，并聯(lián)后隔振系統(tǒng)的固有頻率將增加到2f1j。計算過程如下。

并聯(lián)隔振系統(tǒng)等效剛度|k|=K1+K2+K3+K4=Kj+Kj+Kj+Kj=4Kj。

單個隔振器使用時，固有頻率為

四個隔振器并聯(lián)使用時，固有頻率為

解由式（6）、（7）組成的方程組，得

以上描述的是等剛度隔振器組成的隔振系統(tǒng)的等效剛度歸一化擬合方法和固有頻率計算方法。

實際工程應用中，我們也經(jīng)常會遇到變剛度隔振器組成的隔振系統(tǒng)［9～11］。我們長期的振動試驗得到的試驗結(jié)果表明，類似不銹鋼鋼絲繩隔振器，屬變阻尼變剛度型隔振器，在單一軸方向振動時［12］，用前面的等剛度歸一化方法計算得出的等效剛度及固有頻率，與試驗結(jié)果接近度很高。

因此，對并聯(lián)變剛度隔振系統(tǒng)的等效剛度歸一化處理，也可參照此方法，從而可大大減少設計建模工作量和計算工作量，以提高設計效率。

2 實例驗證

舉一具體實例，來對剛度歸一化的擬合算法及頻率計算數(shù)學模型進行驗證。

某掛裝安裝式設備的隔振系統(tǒng)，選用了兩個型號為GH-40B的不銹鋼鋼絲繩隔振器，該隔振器平坐安裝時的額定載荷能力是4kg、側(cè)掛安裝時的載荷能力是1.8kg。

隔振器特性見表1。

表1 隔振器特性表

隔振系統(tǒng)承載的設備質(zhì)量是3.2kg。隔振器的額定承載能力之和是8kg，與設備重量之比是8÷3.2=2.5（倍）。

查表1得到廠家給出的隔振器的特征數(shù)據(jù)如下。

GH-40B隔振器側(cè)掛額定載荷1.8kg，垂直于掛裝安裝面（即平坐方向）振動時的固有頻率范圍是9Hz～12Hz。根據(jù)隔振器廠家的實測結(jié)果，并根據(jù)固有頻率、剛度系數(shù)與質(zhì)量之間的數(shù)學關系，以及1.8kg額定載荷對應的隔振器的固有頻率是12Hz，對應的方程式如下：