等積法在矩形問題中的簡單應用

文 吳 強

根據不同的計算方法表示同一個平面圖形的面積，計算結果始終相等。利用這一原理證明或計算某些數學問題的數學方法稱為等積法。在平面幾何圖形中，我們往往可以根據同底等高、等底同高、等底等高等發現面積相等的圖形。無論這些圖形的形狀如何，但只要面積相等，我們就可以利用這種相等的關系進行一些轉化，從而解決問題。

本文從2019-2020學年江蘇省常州市八年級（下）期末數學試卷中的一道填空題開始，與同學們一起用等積法來處理幾個矩形中的問題。

圖1

【分析】從這道題的答題情況看，大部分同學填的是平行四邊形或者菱形。平行四邊形比較明顯，很多同學不假思索，輕松掉入出題者的陷阱。填空題答案需要更精確，那就要考慮“兩把完全一樣的直尺”這個條件有什么用。

上面的問題從哪來呢？它的原型是蘇科版數學教材八年級下冊第93頁第15題：

如圖2，由兩個等寬的矩形疊合而得到的四邊形ABCD是菱形嗎？證明你的結論。

圖2

圖3

【分析】等寬的矩形有什么用？如何證明一個四邊形是菱形？根據題意，利用矩形兩組對邊分別平行很容易證明四邊形ABCD是平行四邊形。如果再能夠證明一組鄰邊相等或者對角線互相垂直，那么就可以得到菱形。如圖3，過點A作AR⊥BC于點R，AS⊥CD于S。因為兩個矩形等寬，所以AR=AS。由S四邊形ABCD=AR·BC，S四邊形ABCD=AS·CD，得AR·BC=AS·CD，得BC=CD，因此，平行四邊形ABCD是菱形。

【點評】此題主要考查了菱形的判定，解題的關鍵是利用等積法證明一組鄰邊相等，從而證得該平行四邊形是菱形。

【變式】如圖4，兩條寬度分別為1和2的矩形紙條交叉放置，重疊部分為四邊形ABCD，若AB+BC=6，則四邊形ABCD的面積是（ ）。

圖4

圖5

A.4 B.2 C.8 D.6

【分析】根據題意可以判定四邊形ABCD是平行四邊形。如圖5，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F。利用等積法求得AB與BC的數量關系BC=2AB，因為AB+BC=6，所以AB=2，BC=4，從而求得該平行四邊形的面積為4。故選A。

下面，我們再來看一個矩形紙條的折疊問題。

例2如圖6，圖7，把矩形紙條ABCD折疊，B、C兩點恰好重合落在AD邊上的點P處，已知∠MPN=90°，且PM=6，PN=8，那么矩形紙條ABCD的面積為（ ）。

圖6

圖7

A.115.2 B.112 C.107.2 D.104

【分析】要求矩形紙條的面積，需要知道它的長和寬。觀察紙條折疊前后的形狀，不難發現紙條的長BC和三角形PMN的周長相等，寬和三角形PMN的邊MN上的高相等。條件中PM和PN長已知，由勾股定理可以求出MN的長，再由等積法求出三角形PMN的邊MN上的高，即可求得矩形ABCD的面積。

解：如圖8，過點P作PE⊥MN于點E。

圖8

∵∠MPN=90°，且PM=6，PN=8，

【點評】本題考查了折疊的性質、勾股定理、矩形的性質，熟練運用折疊的性質以及等積法是解決本題的關鍵。

等積法是一種常用的、重要的數學解題思想方法。在解題中，靈活運用等積法，可以使思路清晰、過程簡潔。