動中覓靜 靜中探解
——四邊形中動點問題的解題策略

文 謝麗麗

近幾年，命題者常以四邊形為背景，滲透點的運動，并對此點在運動變化過程中產生的等量、變量、圖形間的關系進行考查。下面結合例題對四邊形中的動點問題進行剖析，供同學們參考。

一、動點產生的分段函數

例1如圖1，E為矩形ABCD的邊AD上一點，點P從點B出發沿折線BE-D運動到點D停止，點Q從點B出發沿BC運動到點C停止，它們的運動速度都是1cm/s。現P、Q兩點同時出發，設運動 時 間 為x（s），△BPQ的 面 積 為y（cm2），若y與x的對應關系如圖2 所示，則矩形的面積是（ ）。

圖1

A.96cm2B.84cm2

C.72cm2D.56cm2

【分析】我們先初步了解整個運動的過程，由于兩點運動速度相同，那么可以厘清其中的三種情形：點P在線段BE上運動，點Q在線段BC上運動；點P在線段ED上運動，點Q在線段BC上運動；點P在線段ED上運動，點Q在點C處靜止。明確三種情形的臨界狀態，再結合圖像上的關鍵點進行分析，化動為靜，便可將面積轉化為線段長求解。

解：從函數的圖像和點的運動過程可以得出，當點P運動到點E時，x=10，y=30。過點E作EH⊥BC，如圖3。

圖3

在Rt△BAE中，由勾股定理，得AE=8。

由圖2知，當x=14時，點P與點D重合，即DE=14-10=4，

∴AD=AE+DE=8+4=12，

∴矩形的面積為12×6=72（cm2）。

故選C。

二、動點產生的圖形

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=1，，P為AD上一個動點，連接BP，線段BA與線段BQ關于BP所在的直線對稱，連接PQ，當點P從點A運動到點D時，線段PQ在平面內掃過的面積為 。

圖4

【分析】已知點P的運動軌跡是線段AD，因此，只需再確定點Q的運動軌跡即可。由軸對稱得BQ=BA，而點B是定點，BA的長為定值1，所以點Q的運動軌跡是圓弧，其圓心角可結合已知數據求得。那么圖5中的陰影面積即為所求，再利用分割法可求得面積。

解：∵線段BA與線段BQ關于BP所在的直線對稱，

∴BQ=BA=1，△ABP≌△QBP。

∵點B是定點，

∴點Q的運動軌跡是以B為圓心的圓弧。

如圖5，陰影部分即為當點P從點A運動到點D時，線段PQ在平面內掃過的圖形。

圖5

三、動點產生的線段最值

例3如圖6，在?ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得DF，以EC、EF為鄰邊構造?EFGC，連接EG，求EG的最小值。

圖6

【分析】點E的運動帶來?EFGC的運動。?EFGC中邊的長度在變，但我們要抓住變化過程中不變的數量關系和位置關系，如EF=CG，EF∥CG。又由DF=。記CD與EG的交點是點O，由△DOE∽△COG，得。此時，問題轉化為求線段EO長的最小值，即求兩條平行線AB、CD之間的距離。

圖7

四邊形中的動點問題綜合性強，常與圓、三角形等幾何知識以及方程、函數等代數內容結合，要求較高。我們要抓住動點變化過程中不變的量，關注特殊四邊形本身的數量關系和位置關系，必要時結合特殊狀態或將相關線段代數化，通過動的現象尋覓靜的本質，從動靜間的轉化出發剖析問題，實現動態問題靜態化，最終實現問題的解決。