一道2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽預賽題的推廣

江蘇省姜堰中等專業(yè)學校 (225500) 包長海 陳 宇

(2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川賽區(qū)預賽第9題 )設點A(0，3)，⊙O：x2+y2=25上的兩動點B,C，滿足∠BAC=90°.求△ABC面積的最大值.

該賽題實際是從解析幾何角度探究：當圓內(nèi)角為定角，其頂點在圓的一條直徑上(不含端點，圓心)，兩邊與圓相交，由此所得三角形面積最大值.經(jīng)過探究，由該賽題可得：

推廣1 設點A(0，a)(0

筆者將運用平幾定理，基本不等式，及解析法求解這道題.

圖1

評注：(1)當a=3,r=5時，即為原賽題.

圖2

注：當|AB|=|AC|時，可得P為BC中點.

此結論具有一般性.是推廣1以下幾種解法的邏輯依據(jù).

圖3

推廣2 設點A(0，a)(0

圖4