磁流變彈性體基拓撲聲子晶體彈性波傳輸可調性研究*

李潘玉，游世輝,2，李 維，張圣東,3，曾憲任

(1. 湘潭大學 土木工程與力學學院，湖南 湘潭 411105； 2. 棗莊學院 機電工程學院，山東 棗莊 277000；3. 九江學院 機械與材料工程學院，江西 九江 332005)

0 引 言

量子霍爾效應[1]、量子自旋霍爾效應[2-3]和拓撲絕緣層[4-5]的發現為經典波的拓撲性質的探索奠定了基礎。彈性波作為經典波之一，發展了聲學超材料[6-7]、超表面[8]等許多人工的周期結構以達到對彈性波傳播的控制與引導。隨著基于量子自旋霍爾效應的拓撲概念的引入，聲學超材料在彈性波的精確控制[8]、聲學拓撲絕緣體[9]、聲學拓撲隔離器[10]、拓撲谷傳輸[11]等方面的探索引起了廣大學者的高度關注，這些拓撲邊界保護特性不受邊界缺陷和材料雜質的影響。形成拓撲邊界的一種方法是引入有源分量或外場等打破時間反演對稱性[12-14]，或者旋轉陀螺儀打破時間反演對稱性[15]；另外一種是類比量子自旋霍爾效應實現拓撲邊界態[16-18]，Lu等[11]，利用量子谷霍爾效應通過打破空間對稱性來實現聲的拓撲谷傳輸。2015年，陳子亭課題組[19]利用能帶反轉和拓撲相變，首次在聲學系統中引入拓撲概念，構造了結構中心截面鏡像對稱的圓管狀聲子晶體，并通過改變結構參數來實現禁帶的拓撲性質的變化，發現了在兩種不同拓撲性能的聲子晶體組合的邊界處有界面態的存在；同年，德克薩斯大學奧斯汀分校 Wang Z課題組通過打破超材料板的空間反演對稱性，實現了對稱和反對稱蘭姆波二重簡并能帶打開—閉合—再打開的能帶反轉的拓撲相變過程[20-21]；2016年，劉正猷課題組首次在基于聲子晶體研究領域中引入電子系統中的谷態的概念，通過旋轉具有C3v對稱性的元胞來構建谷自旋，達到實現量子谷自旋霍爾效應類比[22-23]；同年，陳延峰課題組構造了鋼柱—空氣聲子晶體，找到了Γ點處的偶然雙狄拉克點并通過調整鋼柱半徑實現了能帶反轉[24]；2017年，劉曉俊課題組理論證明了在不加流速背景下通過聲子晶體構造聲學贗自旋偶極子和四極子，實現了彈性波的拓撲傳輸[17]；同年，Vila Javier和Pal Raj Kumar 設計了二維彈性六角晶格。采用模擬和實驗的方法，通過在不同節點上引入質量差，成功地打開了位于布里淵區中 K 點的狄拉克點，并觀測到了不同構型的元胞界面處的邊界態[25]。

然而傳統的聲學超材料在結構設計完成后不具有帶隙可調的性質，因此無法滿足不同工作環境的要求，限制了其應用范圍。隨著對超材料的研究更加深入，帶隙可調的聲學超材料成為了研究者們熱衷研究方向。Goffaux和 Vigneron通過旋轉二維聲子晶體中的正方形散射體的角度對帶隙的寬度進行調控[26]；Wang和Kushwaha[27]通過調節方柱形波導的方柱幾何尺寸來調節帶隙；Bertoldi等[28]通過改變晶格與散射體形狀來調節帶隙；Zhou 等[29]提出了多包覆層局域共振單元結構,并討論了包覆層數量及厚度對帶隙的影響。以上方法的局限性在于聲學超材料制備完成后無法對帶隙實現主動調控，智能材料的引入實現了對聲學超材料參數的主動調控。Yeh[30]以電流變彈(Electrorheological Elastomer)材料作為基體，環氧樹脂作為散射體組成二維聲子晶體，通過研究發現外加電場對帶隙的寬度和位置產生影響；Xiao等[31]設計了薄膜聲學超材料；用薄膜上電極與另一側網狀電極構成電容器，通過調節電容兩端電壓改變薄膜的共振頻率和相位從而實現彈性波傳輸過程中帶隙的主動調節；磁流變彈(Magnetorheological Elastomers,MREs)性體作為一種智能材料，可以通過改變外加磁場的方式調控材料的力學性能，并具有響應快、可逆性好、可控能力強等特點[32-33]。Chen等[34]將MREs薄膜覆蓋于鋁制環上設計了一種磁—聲超材料，Xu 等[35]使用MREs 包覆層共振單元實現了三維局域共振聲學超材料的設計，兩者均可以通過改變外部磁場調節聲學超材料的頻率帶隙；劉少剛等[36]使用MREs設計了單、雙包覆層的聲子晶體元胞結構，也可通過磁場改變調節帶隙以及傳輸譜特性。

雖然研究者們在聲學拓撲絕緣體和聲子晶體帶隙的主動調控方面都做出了深入的研究并取得了大量的成果，但是在彈性波拓撲通道的非接觸式智能調控的研究卻比較少。以往的研究以重芯體分布在基體材料中組成聲子晶體，本文利用磁流變彈性體可以通過外加磁場連續控制其力學性能的特點，在前人研究的基礎上，以硅膠作為基體，磁流變彈性體材料包覆金屬鎢作為散射體設計了一種二維蜂窩狀聲學智能超材料，通過打破元胞的空間對稱性并引入質量差的方式來實現能帶反轉，結合基于聲子晶體的類似量子霍爾效應的贗自旋態，實現了彈性波的拓撲傳輸絕通道的構造；并通過外加磁場調節包覆層MREs的剪切模量等力學參數，實現了拓撲通道可傳輸頻率大小及范圍的智能調控，此外還討論了芯體材料密度對拓撲通道傳輸頻率的影響。本文的研究可以為新型智能材料的研究及彈性波的精確引導等提供相應的參考。

1 模型與方法

1.1 二維聲學超材料結構設計

通過將磁流變彈性體圓環包覆的金屬圓柱以蜂窩狀晶格嵌入硅膠基體中構造聲學超材料的原始模型如圖1(a)所示，晶格常數a=1 μm，芯體的半徑r1=0.185 μm，包覆層外徑r2=0.25 μm，對應的能帶結構為圖1(a)。通過元胞幾何參數的調節找到了受元胞結構和晶格對稱性保護的K點必然簡并點(圖1(a)中圓形標記位置)。通過打破晶格空間對稱性[20-21]和引入質量差的方法[25]調節左邊MREs環包覆層厚度并去除里面的芯體，當左邊MREs包覆層內環半徑為r3=0.2 μm時(如圖1(b))，k點簡并點明顯打開并在第8和第9兩條能帶之間產生了完全禁帶；同時，第3能帶與第4能帶之間也產生了局域共振型禁帶。本文主要研究對象為8、9條能帶所構成的禁帶。

圖1 聲學超材料元胞結構Fig 1 Acoustic metamaterial protocell structure

本文使用的硅橡膠材料參數為：密度ρs=800 kg/m3,拉梅常數λ=24.67 MPa,μ=0.772 MPa，MREs材料計算采用經典的磁偶極子模型，橡膠和鐵粉顆粒密度分別為密度定義為ρr=1.2×103kg/m3,ρFe=7.89×103kg/m3，泊松比取0.47[37]，外磁場作用下MREs材料剪切模量按照式(1)變化[38-39]。

(1)

表1 芯體材料力學參數

1.2 平面波展開法與有限元法

平面波展開法利用晶體結構的周期性，將彈性系數和密度等參數按照傅里葉級數展開，結合Bloch定理，將彈性波波動方程在倒矢空間以平面波疊加形式展開，將波動方程轉化為求解本征值問題，從而得到能帶結構[40]。平面波展開法在計算固/固聲子晶體能帶結構已經非常成熟，具體求解可以參考文獻[41]，在2.4節中，本文基于MATLAB編程使用平面波展開法來計算禁帶上下邊界頻率并與有限元法計算結果進行驗證，結果一致。

有限元法基于集中質量法思想[42]，將連續介質中的質量集中到有限的點或者面上，將無限自由度轉化為有限自由度求解。能帶結構的計算收斂性不受聲子晶體中不同介質彈性常數差的影響，在計算大彈性常數差聲子晶體能帶結構擁有比平面波展開法等其他方法更高的計算精度和較好的收斂性。本文使用多物理場仿真軟件COMSOL Multiphysics?對聲學超材料的能帶結構進行計算以及對拓撲邊界態的頻域傳輸現象進行仿真。為了在COMSOL Multiphysics?計算元胞能帶過程更方便的進行參數化掃描，定義參數k范圍為0～3，將0～1定義為覆蓋不可約布里淵區M-K邊緣的波數；1～2定義為覆蓋K-Γ邊緣的波數；2～3定義為Γ-M邊緣的波數。

2 計算結果與討論

2.1 元胞能帶反轉和拓撲相變

通過打破晶格的空間對稱性并引入質量差的方法，改變左邊包覆層半徑并去除芯體材料的質量(第一次簡并點打開，圖2)與改變右邊包覆層半徑并去除芯體質量(第二次簡并點打開，圖3)作為兩種相反的調節方式，使k點必然簡并狄拉克點從打開—閉合—打開并產生了禁帶，并且在此過程中第8條能帶與第9條能帶發生了能帶反轉。圖2(a)為第一次簡并點打開對應的k=1時的高頻能帶元胞位移和能流圖，可以看出位移和能流整體呈現旋渦狀，具有順時針方向的手性；圖2(b)對應的是第一次簡并點打開k=1時低頻能帶的位移和能流圖，可以看出位移和能流表現出逆時針的手性。圖3為第二次簡并點打開對應的能帶結構圖和低頻能帶與高頻能帶對應的位移與能流圖，可以看出，對比圖2位移與能流都發生了相反的變化，低頻能帶具有順時針的手性，而高頻能帶表現出逆時針手性；可以判斷從k點簡并點打開—閉合—打開，8、9能帶之間發生了能帶反轉。

圖2 第一次簡并點打開Fig 2 The first degeneracy point opens

圖3 第二次簡并點打開Fig 3 The second degeneracy point opens

為了進一步證明8、9能帶之間發生了能帶反轉，參考文獻[43]引入了非零谷陳數的觀點。通過k·p微擾法，可以得到有效哈密頓量:

(2)

(3)

那么，可以通過積分布里淵半區的局部Berry曲率來計算能帶的拓撲電荷：

(4)

k簡并點打開時會產生谷贗自旋態，第一次簡并點打開時自旋向上的陳數C↑=-1，自旋向下陳數C↓=1；第二次簡并點打開時自旋向上的陳數C↑=1，自旋向下陳數C↓=-1，伴隨著陳數的改變拓撲相位發生了轉變，證明了上述兩種不同的打開簡并點的方法的確發生了能帶反轉。系統總陳數C=C↑+C↓=0，自旋陳數CS=±(C↑-C↓)=±1 ，可以為下面構造拓撲絕緣表面的傳輸通道作為理論基礎。

2.2 超胞能帶特性分析

定義改變左邊包覆層半徑并去除芯體材料的元胞為A型元胞,改變右邊包覆層半徑并去除芯體質量的元胞為B型元胞。接下來使用COMSOL Multiphysics? 中設置好相應的邊界條件，分別對圖4中A×10型超胞和A×5+B×5型雜化超胞的能帶進行計算。由圖5、6計算結果可以發現，AB雜化的超胞中在頻率freq=2.7483×107Hz和freq=3.0359×107Hz時出現了拓撲邊界態，而這種邊界態并沒有在A×10型超胞能帶圖中出現。進一步分析A×5+B×5型雜化超胞在拓撲邊界處的模態(圖7)，可以發現其響應主要局域在AB型元胞相接的部分，邊上的響應被抑制，這就是超胞結構中存在的拓撲邊界態；并且在freq=2.7483×107Hz邊界模態處超胞受力方向為順時針，freq=3.0359×107Hz邊界模態處受力方向為逆時針，可以說明拓撲邊界的傳輸具有方向性。

圖4 型超胞結構圖Fig 4 Supercell structure diagram

圖5 A×10型超胞能帶圖Fig 5 Energy band diagram of supercell typeA×10

圖6 A×5+B×5型超胞能帶圖Fig 6 Energy band diagram of supercell type A×5+B×5

圖7 A×5+B×5型超胞拓撲邊界處模態圖Fig 7 The mode diagram at the topological boundary of type A supercell A×5+B×5

2.3 拓撲通道頻域傳輸分析

利用COMSOL Multiphysics?軟件的頻域模塊對有限大聲學超材料板結構的彈性波傳輸進行仿真計算，首先設計如圖8直線型拓撲傳輸通道，在邊界處施加低反射邊界條件，降低反射波對計算結果精確度的影響。在模型的一端施加線激勵，通過計算發現，彈性波在拓撲邊界范圍內(2.7483×107～3.0359×107Hz)高效傳輸。由于拓撲邊界態的局域作用，彈性波沿著設計的通道進行傳輸，在通道外沒有能量的散射。通過計算直線型拓撲通道的透射譜(圖10a)，可以進一步證實拓撲通道傳輸具有極低的能量損耗。為了進一步研究拓撲通道的性質，設計如圖9的Z字型通道，通過在通道一側施加線激勵并計算，可以看出，彈性波的傳輸并不受拐角的影響，可以通過拐角繼續向前傳播并且在拐角處無能量泄露。同樣計算Z字型拓撲通道的能量透射譜，結果如圖10(b)，可以得出彈性波在拓撲通道內可以低損耗局域型高效傳輸。

圖8 直線型彈性波拓撲通道傳輸Fig 8 Transmission of linear elastic wave topology channel

圖9 Topological channel transmission of Z-shape elastic waveFig 9 Transmission of linear elastic wave topology channel

圖10 (a)直線型彈性波拓撲傳輸通道透射譜 (b)Z字型彈性波拓撲通道傳輸透射譜Fig 10 Transmission spectrum of linear elastic wave topological transmission channel and transmission spectrum of Z-shaped elastic wave topology channel

通過在設計拓撲通道中引入缺陷如圖11，來證明拓撲通道對于缺陷的魯棒性。分別在直線通道和Z字型通道模型中加入缺陷并進行彈性波傳輸仿真計算和透射譜計算。結果與圖8，9中沒有引入缺陷時的透射率一致，表明即使在通道中引入缺陷也不影響彈性波在拓撲通道中的高效傳播。

圖11 (a)彈性波在引入缺陷的直線型拓撲通道傳輸位移圖 (b)彈性波在引入缺陷的Z字型拓撲通道的傳輸位移圖Fig 11 Displacement diagram of elastic wave propagation in a linear topological channel with a defect and transmission displacement Diagram of elastic wave in z-shaped topological channel with defect

拓撲通道對彈性波的精確引導可以根據實際要求設計相對應的路徑，如圖9中的Z字型路徑可以巧妙的避開所要保護的對象，引導彈性波傳播到別處可以進行能量回收二次利用；也可以根據需要設置彈性波高效率的傳輸到指定目標。

2.4 磁場強度與拓撲通道傳輸頻率范圍的關系

通過改變外加磁場強度可以調控磁流變包覆層的剪切模量等力學性能，從而調節拓撲通道傳輸的頻率范圍。本文計算了磁場從0～796 kA/m過程中基于磁流變彈性體聲子晶體聲學超材料的能帶變化，定義第3、第4能帶為第一階帶隙的下邊界和上邊界，第8、第9條能帶為第二階帶隙的下邊界和上邊界；圖12為構成禁帶上下邊界能帶頻率隨著磁場增加的變化圖，有限元法(集中質量法)與平面波展開法的計算結果基本一致，結果頻率差均小于30 Hz，證明了計算結果的準確性。計算結果表明含有拓撲邊界態的禁帶(第二階帶隙)隨著磁場強度的增加整體向高頻移動，帶隙下邊界隨著磁場的增大變化幅度比上邊界大，因此帶隙寬度隨著磁場強度增大逐漸減小，當磁場強度為796 kA/m的時候，禁帶關閉；計算結果與文獻[44]所計算的變化趨勢一致。通過計算0、159.2、318.4、636.8 kA/m磁場強度下拓撲傳輸通道的透射譜(圖13)可以發現隨著磁場強度的增加，透射譜的最大衰減頻率也在整體向高頻移動，進一步證明了第二階帶隙禁帶隨著磁場強度增大朝高頻移動。第一階帶隙由于磁場強度增加，MREs材料的剛度增大，第一階帶隙整體向高頻移動，由于剛度增大對帶隙上邊界的影響大于下邊界，所以第一階帶隙的禁帶寬度增加，與文獻[45]中的質量彈簧模型計算的結果一致。因此可以通過調整外磁場的大小對拓撲通道的傳輸頻率范圍進行非接觸式調控。

圖12 禁帶上下邊界頻率與磁場強度變化關系(有限元法與平面波展開法結果對比)Fig 12 Relation between upper and lower boundary frequencies of the forbidden band and magnetic field strength (comparison between results of Finite Element Method and Plane Wave Expansion method)

圖13 不同磁場強度下拓撲通道的透射譜變化圖Fig 13 Variation of transmission spectrum of topological channel under different magnetic field intensity

2.5 芯體密度與禁帶頻率范圍的關系

分別使用表1中的材料作為聲子晶體的芯體進行能帶結構的計算，繪制禁帶的上下邊界頻率與芯體密度的變化關系(圖14)可以看出：第一階帶隙的隨著芯體密度的增加，帶隙下邊界減小趨勢比上邊界快，因此禁帶寬度增大，此變化趨勢也與用文獻[36]中質量彈簧模型一致。對于第二階禁帶，由于芯體密度增大，剛體共振頻率朝低頻移動且對上邊界影響較大，導致帶隙寬度變窄，帶隙整體朝低頻移動。基于此結論可以對于拓撲通道的傳輸頻率實現被動調控。

圖14 禁帶上下邊界隨芯體密度變化關系圖Fig 14 Relationship between the upper and lower boundaries of the band gap and the density of the core

3 結 論

(1)設計了一種基于磁流變彈性體聲子晶體的元胞結構，通過調參與計算找出元胞能帶結構中存在的受元胞結構和晶格對稱性保護的K點必然簡并狄拉克點，并通過打破晶格結構空間對稱性同時引入質量差的方法使簡并點打開并完成拓撲相變過程。

(2)利用拓撲相變的兩種類型的元胞結構構造超胞，通過對超胞能帶圖的計算，在超胞的雜化邊界處發現了拓撲邊界態，并通過引入了非零谷陳數的觀點驗證了K點簡并打開并產生了谷贗自旋態，超胞在頻率freq=2.7483×107Hz和freq=3.0359×107Hz時出現了拓撲邊界態，拓撲邊界外頻率響應被抑制。

(3)通過構造直線型和Z字型拓撲邊界并用COMSOL Multiphysics?仿真計算，證明了拓撲邊界態可以實現對彈性波的精確引導，按照設計的路線進行高效傳播。同時通過對設計的通道引入缺陷并進行仿真計算，證明了拓撲邊界對于缺陷的魯棒性。

(4)通過改變外加磁場強度與拓撲通道傳輸頻率范圍的關系，發現隨著磁場強度的增加，拓撲通道的傳輸頻率朝高頻移動，并且禁帶下邊界變化速率高于上邊界導致禁帶寬度減小，當磁場強度達到796 kA/m時，禁帶關閉。通過此結論可以實現對拓撲通道傳輸頻率范圍實現非接觸式智能調控。通過研究元胞芯體材料密度與禁帶范圍的關系，發現拓撲通道隨著芯體密度增加帶隙朝低頻移動，帶隙寬度減小，此結論可以為拓撲通道傳輸頻率范圍的被動調控提供參考。