離散alpha偏正態分布：性質和參數估計

魏正元，彭天奎，周曉婭，劉 美

（重慶理工大學 理學院，重慶 400054）

2010年，Elal-Olivero［1］首次提出了alpha偏正態分布（ASN），記為X～ASN（α），它比正態分布和偏正態分布（SN）［2］更靈活，其概率密度函數和生存函數如下：

式中：參數α控制該分布的偏度和峰度，等式（1）的圖像隨著參數α的改變可以呈單峰和雙峰的形狀，因此用ASN分布來擬合雙峰有偏的數據是可行的。然而，由于所觀測到的樣本幾乎都是離散的，用連續分布來擬合樣本可能會出現一些偏差，那么，使用ASN分布的離散對應物來擬合離散數據是具有研究價值的。

設連續隨機變量X的生存函數為SX（x）=P（X≥x），令Y=（下取整函數），那么隨機變量Y具有概率質量函數：

連續分布離散化相關問題研究一直受到國內外諸多學者的關注。Nakagawa等［3-4］研究了離散Weibull分布；Jazi等［6-7］研究了離散可逆Weibull分布和離散可逆Rayleigh分布；Chakraborty等［8］定義了離散gamma分布，Chakraborty等［9-10］在此基礎上提出了離散廣義gamma分布，同時研究了離散冪分布。Barbiero［11］討論了連續二元概率分布的離散化方法并給出了二元指數分布的應用實例。此外，王家華等［12］討論了連續分布離散化在風險分析中的應用，任美芳等［13］研究了離散化泊松—指數混合分布并討論了它的性質和參數估計，本文中通過等式（3）提出了離散alpha偏正態分布，它包含了Roy［5］提出的離散正態分布。

1 離散alpha偏正態分布

定義1若離散隨機變量Y具有如下概率質量函數

式中：y=0，±1，±2，…，α∈R，稱Y服從離散alpha偏正態分布（DASN），記Y～DASN（α）。

注1由定義Y=，X～ASN（α）及等式（3），有

圖1展示了3個不同參數值下DASN（α）的概率質量條形圖，隨著參數α的變化，圖形呈現不同的形狀。

圖1 DASN分布在α=-2、0.5、3時的概率質量條形圖

注2 若隨機變量Y～DASN（α），有

1）Y的概率質量函數有如下遞推關系式

2）Y的累計分布函數如下

3）當α=0時，那么Y服從離散標準正態分布即Y～DN（0，1），即方程（4）退化為

4）當α→±∞時，那么Y服從離散雙峰正態分布（關于雙峰正態分布詳細內容參見文獻［1］），記Y～DBN，即等式（4）退化為

命題1若隨機變量Y～DASN（α），那它的高階矩存在，且為

這里α∈R，n∈N+。

注3特別地，當n=1時，分別有

由等式（5）和（6）可得隨機變量Y的方差Var［Y］=E［Y2］-（E［Y］）2，此處略。通過比值判別法可知級數是收斂的，因此，對于任意的α∈R，E［Y］和Var［Y］是有界的，應用R軟件的DEoptim函數計算出E［Y］和Var［Y］的范圍如下

命題2若隨機變量Y～DASN（α），有

1）Y的生存函數如下

等式（7）由定義SY（k）=P（Y＞k）=1-F（k-1）即可得出。值得注意的是，DASN（α）的生存函數與ASN（α）的生存函數（2）相同。

2）由等式（7）可得Y的失敗率函數為

不同參數值下DASN（α）的失敗率函數如圖2所示。

圖2 DASN分布的失敗率函數曲線

從圖2可以看出：隨著參數α的取值不同，失敗率函數出現不同的形狀，借助R軟件計算，當α的取值在-1.83～1.14時，失敗率呈嚴格單調遞增趨勢；當α的取值大于1.14或者小于-1.83時，失敗率呈先遞增后遞減然后再遞增的趨勢。

由文獻［1］可知，若連續隨機變量X～ASN（α），令T=μ+σX，這里μ，σ分別為位置和尺度參數，那么T具有如下生存函數

記T～ASN（μ，σ，α）。

定義2若離散隨機變量Z=有如下概率質量函數

其中T～ASN（μ，σ，α），m=（z-μ）/σ，z=0，±1，±2，…，（α，μ）T∈R2，σ＞0，稱Z～DASN（μ，σ，α）。

注4當μ=0，σ=1時，等式（8）退化為等式（4）。

命題3若隨機變量Y～DASN（α），Z～DASN（μ，σ，α），關系式Z=μ+σY成立的充要條件是μ為整數且σ=1。

證明：因為當Z=μ+σY成立時，有

P（Z=μ+σy）=P（Y=y）成立必須滿足σ=1，又因為隨機變量Y和Z=μ+Y必須是整數，所以μ也是整數，反之也成立。

2 參數估計

2.1 最大似然估計

設Z1、Z2、…、Zn是來自DASN（μ，σ，α）的一個獨立同分布簡單樣本，z1、z2、…、zn是其樣本觀測值，參數μ、σ和α的對數似然函數為：

式中：mi=（zi-μ）/σ；1≤i≤n。對等式（9）分別關于參數μ、σ和α求導得到對數似然方程組

式中A=α［2-α（mi+1/σ）］φ（mi+1/σ）-α（2-αmi）φ（mi）+（2+α2）［Φ（mi+1/σ）-Φ（mi）］，不能直接得到參數最大似然估計量的顯示表達式。然而，借助R軟件的DEoptim函數，可給出最大似然估計量的數值解。

2.2 隨機模擬

通過求得上述對數似然方程組的近似解，可以得到參數μ、σ和α的最大似然估計值。為了研究參數估計量的優良性，進行隨機模擬試驗。令α=-3、-1、1、3，位置參數和尺度參數分別設為μ=0，σ=1，樣本量依次為30、50、100，模擬重復的次數為1 000。生成離散alpha偏正態分布的隨機數步驟如下：

1）考慮連續隨機變量X～ASN（α），其分布函數為F（X）。

2）從均勻分布U（0，1）中產生隨機數U。

3）計算X=F-1（U），令Y=［X］。

3 實證分析

將DASN（μ，σ，α）對一個來自cBioPortal數據庫的癌癥數據集進行擬合，借助R軟件，得到了參數的最大似然估計值、樣本的對數似然值以及AIC和BIC，然后將該分布與離散正態分布以及ASN（μ，σ，α）相比較。

考慮了125例患者首次被診斷出髓母細胞癌時的年齡，樣本數據來自2012年。表2展示了各分布的樣本對數似然值、AIC和BIC以及參數的最大似然估計值，圖3分別展示了的概率質量圖和樣本數據頻率圖。

表1 DASN（μ，σ，α）參數最大似然估計量的SD和MSE

表2 125例髓母細胞癌患者首次診斷年齡的最大似然估計值，對數似然值，AIC和BIC

從表2可以得出：DASN（μ，σ，α）的對數似然值要大于ASN（μ，σ，α）的對數似然值，而它的AIC、BIC值要小于ASN（μ，σ，α）的AIC、BIC值，這說明DASN（μ，σ，α）對樣本數據的擬合效果要優于ASN（μ，σ，α），同理也優于離散正態分布。

圖3 DASN（2.10，9.52，3.07）的概率質量圖（a）和125例髓母細胞癌患者的年齡樣本數據頻率圖（b）

4 結論

首次提出了離散alpha偏正態分布，得到了分布的矩、生存函數和失敗率函數，同時討論了一些重要的統計性質，研究了參數的最大似然估計，并進行了隨機模擬試驗。模擬結果表明：參數最大似然估計量的標準差和均方誤差都隨著樣本量n的增大而減小。最后，通過擬合真實樣本數據，發現定義的離散alpha偏正態分布的AIC和BIC值小于經典的alpha偏正態分布相應的值，這表明使用離散alpha偏正態分布擬合整數數據的效果比連續分布alpha偏正態分布更好。然而，是否所有通過等式（3）得到的離散分布在擬合整數數據時的效果都要優于其對應的連續分布，有待進一步研究。

附錄

證明命題1

這里