直線與圓錐曲線的位置關系的常見類型及解題策略

周淑文

【摘要】在新的課程標準下，高考數學越來越重視對學生綜合素質的考核。 這就要求數學老師在復習學生的過程中要不斷改變自己的教育和教學觀念。特別是對于直線與圓錐曲線的位置關系的問題，要做好及時的及其歸納以及技巧歸納，讓學生能夠不斷的進行學習以及掌握技巧，讓學生在考試的過程中對試卷最后的大題不至于于束手無策。直線與圓錐曲線的位置關系問題是研究學生綜合數學素質的重要途徑。這類問題它滲透了功能，約簡和數形結合的思想，所以，這類題目也是高考數學試卷中最常出現的題目。

【關鍵詞】直線與圓錐曲線;位置關系;解題策略

引言

直線與圓錐曲線的位置關系是高考的必要測試題之一，主要以解答題的形式出現，一般來說通常出現在試卷的最后，也就是我們考試中所說的“壓軸題”，對學生的代數恒等式都比較高我需要教師對學生做好這類題型的總結工作以及做題技巧的總結，讓學生不再“懼怕”這些問題，為學生爭取在考場上的時間，提高學生的數學成績，文章就簡單分析一下圓錐曲線當中直線與圓錐曲線的位置關系這類題目的常見類型都有哪些，以及做題的技巧有哪些？筆者對這些內容進行總結，希望可以幫助學生在復習過程當中能夠快速的進行學習，提升學習效率、優化學習效果。

一、直線與圓錐曲線的位置關系的考點整合

定值和定點問題必須是變化中所示的恒定量，然后線性方程，定量乘積和問題中的比例關系可以通過變化量來表示。這些線性方程、定量乘積和比例關系是不受變化量影響的關系點，解決此類問題所需的定點解決方案是引入參數來表示直線方程，數量乘積，比例 關系等，基于不斷建立的方程式，數學變換等影響的量[1]。

圓錐曲線的最大值：在于求出線段長的最大值以及三角形面積。

3、解決圓錐曲線范圍問題的重點是通過適當的變量，利用變量來建立目標函數以及不等式。 主要有以下這么幾種問題：

（1） 距離類型：如果要計算點到直線的距離，可以設置直線方程，然后將其代入圓錐曲線，并使用等于判別式找到切點坐標。 該切點是獲得的最大值的點。如果問題與焦點相關，那么就可以把平面幾何與圓錐曲線兩者結合;如果在圓或橢圓上，則可以以參數的形式設置點的坐標，并將其轉換為三角函數的最大值。

（2） 斜率，截距類型：面對這些題目，我們可以采用的解決方案一般由這些：將直線方程代入圓錐曲線方程，并使用判別式來找出不等式的求解參數范圍。 如果僅給出一部分圓錐曲線，那就需要具體情況具體分析，找到相對應的不等式關系

（3）面積類型：找到面積類型的最大值，可以考慮能不能用不等式，或者使用函數關系，最后使用函數方法來解決問題。

二、直線與圓錐曲線的位置關系解題技巧總結

解析幾何的核心思想是“數形結合”.我國著名數學家華羅庚有詩贊：“數形結合百般好 ，隔裂分家萬事休”在解 析幾何題 的運算 過程中，務必及時注意觀察運算結果的幾何意義，從圖形的形狀、大小、位置關系等方 面 加以直觀考察[2]。下面筆者就對直線與圓錐曲線的位置關系解題的技巧與方法進行一個簡單的總結。

第一類方法是解方程組，在解題中，將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立 ， 消去一個變量后可得到一個二次方程 ，控制、討論這個方程的根，并結合韋達定理，可以解決如下問題：

（1）判斷直線與圓錐曲線的位置關系（相交、相切、相離）;

（2） 交點問題（公共點的個數 ，與交點坐標相關的等式或不 等式）;

（3）計算弦長其中k為弦AB所在直線的斜率）

如果要計算點到直線的距離，可以設置直線方程，然后將其代入圓錐曲線，并使用等于判別式找到切點坐標。 該切點是獲得的最大值的點。如果問題與焦點相關，那么就可以把平面幾何與圓錐曲線兩者結合;如果在圓或橢圓上，則可以以參數的形式設置點的坐標，并將其轉換為函數的最大值問題。

第二類方法是利用點差法來對這類問題進行求解。點差法計算量少，但是需要多個步驟對焦點進行驗證，體現了數學的簡潔美，同時也體現了事物的廣泛聯系性，中點的坐標就這樣和斜率產生了關系.通過本題的探究有助于學生推理嚴密性的培養，同時也可以培養學生從多個角度看問題，思考問題，解決問題，拓展思維的寬度和深度{3}。

總的來說，解決圓錐曲線問題，把握以下幾個方面

（1）從一個特殊值開始，找到固定值，然后證明該值與變量沒有關系;

（2）在整個過程中直接推理，計算和消除變量，獲取固定值;

（3）在包含參數的曲線方程式中，將參數與包含參數的項分開，并將其系數設為零，即可求解不定點坐標。

2，曲線求值和范圍問題的求法

（1）幾何方法：如果問題的條件和結論可以清楚地反映出幾何特征和意義，那就思考能不能使用圖形方法來求解;

（2）代數方法：如果問題的條件和結論能反映出明確的函數關系，則可以先建立目標函數，然后在使用代數法求解時找到該函數的最大值以及關于最大值和范圍的問題，可以從下文的五個要點出發：

①判別用于建立不相等的關系以確定參數的范圍;

②使用已知參數范圍查找新參數范圍，解決這些問題的核心是建立兩個參數之間的相等關系;

③使用隱式或已知不等式，建立不等式來對參數的值范圍求解;

④可以基于基本不等式來對參數取值范圍求解

⑤活用值域，在函數的值范圍內確定參數

總結：以上內容就是對圓錐曲線當中的直線與圓錐曲線的位置關系解題方法的總結，希望可以幫到高中學生在學習過程當中的快速解題能夠為學生爭取得時間。教師在對學生進行總結過程當中，也要根據學生的實際情況對學生進行不斷的練習，以及讓學生進行不斷的總結，這樣才能夠讓學生對于以上內容掌握的更加扎實，在做題過程當中才能夠做到游刃有余，同時需要注意的是，學生在做題過程當中也要進行不斷的轉變，不一定所有的題都是按照以上解題方法進行解答，但是大部分的題目都是根據以上幾條進行解答，這就需要教師在引導學生做題過程當中進行活學活用。

參考文獻

[1] 直線與圓錐曲線的位置關系的常見類型及解題策略 ?馬惠云 ?《中學生數理化：高二高三版》 2018 3

[2] 點差法解圓錐曲線中點弦問題新發現 ? 李虎 ?《中學數學研究》 2020 2