橢圓形量子圍欄的表面電子態(tài)

楊愛(ài)云

（西安交通工程學(xué)院 陜西省西安市 710300）

1 引言

世界上第一臺(tái)掃描隧道顯微鏡（Scanning Tunneling Mciroscope簡(jiǎn)稱STM）是Binning 和Rohrer 成功研制的。借助STM 人們可以直觀地觀察到物體表面的原子結(jié)構(gòu)，使人們從對(duì)微觀原子的想象中跳出來(lái)，它比同類原子力顯微鏡具有更加高的分辨率。并且因STM 觀測(cè)不需要制樣，所以觀察和測(cè)量過(guò)程中不會(huì)對(duì)樣品表面造成任何損傷，被廣泛地用于測(cè)定材料的物理、化學(xué)和生物性質(zhì)，并成為納米加工的關(guān)鍵技術(shù)，同時(shí)STM 還可以通過(guò)其針尖與表面原子的相互作用，操縱單個(gè)原子和分子的排列[1-2]，成為近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種掃描探針顯微技術(shù)。

IBM 研究中心的研究小組利用掃描隧道顯微鏡(STM)將用電子束蒸發(fā)到Cu(111)表面上的48 個(gè)Fe 排列成一個(gè)圓圈，這個(gè)圓圈的平均半徑為7.13nm，相鄰鐵原子之間的平均半徑為0.95nm，雖然這個(gè)圓圈是由分離的鐵原子組成的并不連續(xù)，但卻能夠像柵欄一樣，圍住Cu 表面的電子，因而人們形象地將這個(gè)鐵原子圈稱為量子圍欄[3-4]，如圖1 所示。

科學(xué)家還用STM 在Cu(111)表面上將Fe 原子圍成了其它形狀的量子圍欄[5]，如矩形（圖2）、橢圓形（如圖3）、三角形（如圖4）、六邊形（如圖5）等。通過(guò)對(duì)圓形量子圍欄電子態(tài)的理論分析表明其概率密度僅與徑向函數(shù)有關(guān)，而與橫向函數(shù)無(wú)關(guān)，概率的二維分布為各向同性，等概率線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的同心圓，這與圖1中所反映的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致[6]。

研究者在Cu(111)表面上用STM 將36 個(gè)鈷原子擺成橢圓形，將一個(gè)磁性鈷原子放置于該橢圓形量子圍欄的一個(gè)焦點(diǎn)上，將會(huì)在橢圓形量子圍欄的另一焦點(diǎn)上檢測(cè)到具有自旋同向的電子訊號(hào)，而該焦點(diǎn)實(shí)際上并沒(méi)有放置任何原子，但將此磁性鈷原子放置于其他地方，則完全檢測(cè)不到任何電子訊號(hào)。這表示原子上電子密度經(jīng)由周圍表面電子波，傳訊訊息至另一個(gè)焦點(diǎn)[7]。該發(fā)現(xiàn)可作設(shè)計(jì)未來(lái)納米IC 元件中的傳導(dǎo)線。

但目前國(guó)內(nèi)外大多數(shù)人都是借助于數(shù)學(xué)軟件(Matlab，Mathematica 等)計(jì)算機(jī)模擬量子圍欄的電子態(tài)，并且與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比說(shuō)明低維物理體系的電子態(tài)分布[7]。通過(guò)理論分析量子圍欄的電子態(tài)的研究，僅現(xiàn)于簡(jiǎn)單的矩形、圓形等。橢圓形量子圍欄的理論分析還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。

本文通過(guò)理論分析橢圓形量子圍欄的電子態(tài)，為進(jìn)一步研究量子圍欄提供一定的數(shù)據(jù)參考和理論基礎(chǔ)，對(duì)借助于計(jì)算機(jī)模擬電子的分布圖有一定的指導(dǎo)作用。其研究結(jié)果有一定的科研價(jià)值，也有助于人們對(duì)微觀世界的認(rèn)識(shí)。

2 橢圓形量子圍欄的建模與分析

用Fe 原子在Cu 的表面排列成一個(gè)橢圓形即一個(gè)橢圓形量子圍欄，Cu 表面的電子被束縛在這個(gè)橢圓形圍欄內(nèi)，由于Fe 原子對(duì)Cu 表面電子的強(qiáng)烈散射作用，在這個(gè)橢圓形圍欄內(nèi)就會(huì)形成同心橢圓形駐波，此時(shí)，可以把這個(gè)橢圓形量子圍欄看作是一個(gè)二維無(wú)限深勢(shì)阱，也就是一個(gè)二維無(wú)限深橢圓形勢(shì)阱。在這個(gè)模型中，被束縛在橢圓形勢(shì)阱中Cu 表面的電子，滿足二維定態(tài)薛定諤方程[8]：

圖1：圓形量子圍欄

圖2：矩形量子圍欄

圖3：橢圓形量子圍欄

圖4：三角形量子圍欄

圖5：六邊形量子圍欄

設(shè)Cu 表面電子的能量為E， Cu 表面電子的質(zhì)量為m，橢圓形量子圍欄的半徑為M，在二維橢圓柱坐標(biāo)下，被束縛在橢圓形勢(shì)阱中的電子所具有的勢(shì)能為：

將（7）式代入（6）式得：

將（11）、（12）、（13）代入（10）式，并用R(μ)Θ(θ)除以方程的兩邊得：

這個(gè)方程的左邊僅是與θ 有關(guān)，右邊僅是與μ 有關(guān)，且θ 與μ都是獨(dú)立變量，因此，只有等式的兩邊等于同一個(gè)常數(shù)時(shí)（15）式才成立。用-b 表示這個(gè)常數(shù)，同時(shí)令

將（19）、（20）代入式（17）式得：

（22）式為馬丟方程[9]，其解為馬丟函數(shù)[9]。

（22）式的通解[10]為：

其中T 表示周期。

也將（18）式化為馬丟方程[9]。

則（18）式的通解[10]為：

綜上所述，該橢圓形量子圍欄電子的波函數(shù)表達(dá)式為：徑向解與橫向解的組合，即偶函數(shù)和奇函數(shù)

3 結(jié)論

將橢圓形量子圍欄作為二維無(wú)限深勢(shì)阱來(lái)處理，找到了能恰當(dāng)描述電子勢(shì)能的勢(shì)能函數(shù)，并得出了通解。但是在求解過(guò)程中得到的是馬丟方程，其解為馬丟函數(shù)，由于其求解過(guò)程以及求解其本征值比較復(fù)雜，我還將繼續(xù)研究，其結(jié)果將會(huì)在后續(xù)研究中給出。