求解非線性方程組的幾種方法及程序?qū)崿F(xiàn)

雍龍泉

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中, 723001)

考慮非線性方程組

(1)

記x=(x1，x2，…，xn)，向量函數(shù)F(x)=(f1(x)，f2(x)，…，fn(x))T，則方程組(1)等價于如下非線性方程

F(x)=0.

(2)

很多復(fù)雜的問題都可以轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解問題，其最基本的求解方法是牛頓法[1-7]。近年來，相繼出現(xiàn)了五階牛頓迭代法[8]、七階牛頓迭代法[9-10]、八階牛頓迭代法[11-12]、九階牛頓迭代法等[13-14]。對非線性方程組而言，牛頓迭代法需要計算偏導(dǎo)數(shù)矩陣，并依賴于初始點(diǎn)的選取和函數(shù)F(x)的性態(tài)[15-18]，而在一些實(shí)際問題中如何選取合適的初始點(diǎn)本身是一個比較困難的問題，因此使用牛頓迭代法時具有一定的局限性[19]。

本文假設(shè)非線性方程組的解存在，在給定初始點(diǎn)后，如何把數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢赃\(yùn)行的代碼，讓初學(xué)者對編程不再望而生畏；進(jìn)而提高學(xué)生編程的興趣，最終能夠利用程序?qū)?shí)際問題進(jìn)行求解，培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)計算能力。

下面通過一個具體的非線性方程組，分別給出其Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、Newton迭代、五階牛頓迭代；在給出迭代公式和初始點(diǎn)后，并分別給出了MATLAB代碼和對應(yīng)的計算結(jié)果。

算例分別用Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、Newton迭代法、五階牛頓迭代法求解如下非線性方程組

1 Jacobi迭代

Jacobi迭代法的迭代格式：

表1 Jacobi迭代法的MATLAB代碼

表2 Jacobi迭代計算結(jié)果

2 Gauss-Seidel迭代

Gauss-Seidel迭代法的迭代格式：

表3 Gauss-Seidel迭代法的MATLAB代碼

表4 Gauss-Seidel迭代計算結(jié)果

3 Newton迭代

Newton迭代法的迭代格式：

Newton迭代法要求矩陣F′(x)可逆，若F′(x)奇異或接近奇異，可以采用阻尼Newton迭代法進(jìn)行處理。

表5 Newton迭代法的MATLAB代碼

表6 Newton迭代計算結(jié)果

4 五階牛頓法迭代

文獻(xiàn)[20]中給出了五階牛頓迭代法：

表7 五階牛頓迭代法的MATLAB代碼

表8 五階牛頓法迭代計算結(jié)果

需要求解的非線性方程組fun1與偏導(dǎo)數(shù)矩陣dfun1的代碼見表9和表10。

表9 非線性方程組fun1的代碼

表10 偏導(dǎo)數(shù)矩陣dfun1的代碼

文獻(xiàn)[20-23]中分別采用該五階牛頓迭代法求解線性規(guī)劃、線性互補(bǔ)、非線性兩點(diǎn)邊值、投資組合優(yōu)化等問題。

更多的實(shí)驗結(jié)果表明：各類迭代的收斂與否、收斂快慢均與初始點(diǎn)的選取有關(guān)；收斂階數(shù)越高，需要付出的計算代價(包括占用內(nèi)存、函數(shù)調(diào)用次數(shù))也就越大；即使高階的牛頓法，也只有初始點(diǎn)與根很靠近時，高階收斂性才能很好地體現(xiàn)出來。