角度與運動約束下串聯式機械臂工作空間求解與結構優化

劉懷周，王雙園，白國振，王鴻東

(1.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093；2.上海交通大學 海洋智能裝備與系統教育部重點實驗室，上海 200240)

引言

機器人不同關節運動所達到的末端執行器的所有位置的集合，稱為可達工作空間[1]。工作空間的分析有圖解法、 數值法和解析法。圖解法和解析法只適合于自由度及桿件數目較少的機械臂的工作空間分析，而數值法需要大量的計算，計算公式復雜多變[2]。

工作空間體現了機械臂運動的范圍，其大小可以用截面積或者體積來表示，是結構優化的重要目標和參數。文獻[3]分析求解了一種3T1R并聯機構的可達工作空間，并用天牛須搜索算法對其機構尺寸進行了優化設計；文獻[4]以工作空間密度函數的最大值的分布區域作為機械臂工作靈活區域的衡量標準，進行機械臂尺寸優化；文獻[5] 提出一種綜合機器人靈巧度與工作空間利用率的全局混合性能指標，并利用粒子群算法對不同工況下機器人尺寸參數進行優化；文獻[6]結合對于工作空間利用效率的考慮，提出了應用工作空間利用率及左側輪廓斜率絕對值評價機器人工作空間合理程度的方法；文獻[7]以有效工作空間體積相對最大為目標，對約束機構的連桿長度和轉動副轉角數值范圍進行了優化。

本研究利用解析法分析了串聯式機械臂的工作空間，并在此基礎上再次利用解析法建立有效工作空間的截面積模型，最后運用遺傳算法求得滿足約束條件下有效工作空間截面的最優解和最優結構參數。

1 串聯式機械臂的工作空間分析

1.1 串聯式機械臂D-H坐標系及運動學模型

Denavit-Hartenberg提出的D-H坐標系已經成為描述機械臂的常用坐標系。D-H坐標系規定：旋轉關節繞z軸轉動，x軸為兩相鄰z軸的公共法線，y軸則按右手法來確定。ai為連桿長度，即旋轉關節的旋轉軸之間公共法線長度;αi是連桿扭角，即一個關節的旋轉軸相對于另一個關節的旋轉軸繞公共法線旋轉的角度；di是連桿偏移，即一個關節與下一個關節的公共法線和其與上一個關節的公共法線沿這個旋轉軸的距離；θi是關節轉角，即一個關節與下一個關節的公共法線和其與上一個關節的公共法線繞這個旋轉軸的角度。

用于水下機器臂的模型如圖1所示。該機械臂為串聯式結構，共有5個自由度，每個自由度均為轉動關節。按照D-H坐標法在圖1中對各連桿分別建立1個坐標系，相應的連桿參數見表1。

圖1 串聯型機器臂的平面圖D-H坐標系

表1 串聯型機器臂連桿的D-H參數

式中，ci=cosθi;si=sinθi;i=1,2,3,4,5。

由各個坐標系的齊次變換矩陣可得，機械臂的運動學方程為(即基座與末端之間的總變換矩陣):

(1)

式中，N=(nx,ny,nz)T為末端的法向矢量；O=(ox,oy,oz)T為末端的端面矢量；A=(ax,ay,az)T為末端的逼近矢量；P=(px,py,pz)T為末端的中心位置矢量。

1.2 串聯式機械臂工作空間的分析

從式(1)中可以看出nx,ny,nz,ox,oy,oz,ax,ay,az為機械臂末端的姿態,px,py,pz為末端的位置。由于機械臂工作空間的范圍大小由位置來確定，因此對機械臂的工作空間的分析僅需要計算出px,py,pz。經計算可得：

(2)

式中，c234=cos(θ2+θ3+θ4)；s234=sin(θ2+θ3+θ4)。由式(2)可得，串聯型機械臂末端的位置僅與前4個關節轉角有關，因此可將第4個連桿的末端作為機械臂的工作點，其全部到達的集合記為該機械臂的工作空間。

令θ1=0°，根據機器人工作空間的圖解法[8]可以得到機械臂在x2o2y2平面上的工作空間截面，即圖2中圓弧l1,l2,l3,l4所圍成的陰影區域。

圖2 機械臂在x2o2y2平面上的工作空間截面

2 機械臂有效工作空間截面求解

2.1 基于機械臂有效工作空間的截面積問題建模

串聯式機械臂在實際水下作業時，末端的有效運動范圍并不是機器臂整個工作空間，而只是整個工作空間的一部分。根據水下作業情況，假設機械臂以o2y2的水平線為基準，在L/3和3L/4深度之間時效率最高。如圖2所示,L=L2+L3+L4；A1A2，o2y2之間的距離為L/3；A3A4，o2y2之間的距離為3L/4，點A1，A2，A3，A4圍成的面積稱為有效工作空間的截面。

但是，由于各個關節角度的限制，機械臂的末端不能完全到達該區域，因此機械臂有效工作空間截面的目標函數為：

maxS(Y)=S1(X)-S2(Y)

(3)

約束條件為：

qimin≤qi≤qimaxi=2,3,4

Ljmin≤Lj≤Ljmaxj=2,3,4

式中，S1(X)表示點A1，A2，A3，A4圍成的面積；S2(Y)表示機械臂到達不了該區域的面積，即圓弧l3與線段A1A2圍成的面積；qi為關節的轉角；Lj表示連桿的長度；X=(L2,L3,L4);Y=(L2,L3,L4,q2,q3,q4)；S1只與桿長L2,L3,L4有關，與角度q2,q3,q4無關；S2與桿長、角度都有關。

2.2 約束條件分析

1) 連桿長度約束

考慮到機械臂水下作業的實際情況，連桿的長度不能過大或者過小，連桿的長度應先限定在一定的范圍內，因此按照設計要求設定200≤L2≤400 mm；500≤L3≤800 mm;200≤L4≤300 mm。

2) 關節轉角約束

根據包絡原理和圖2可知，如果機械臂各個連桿長度一定，各個關節的轉角大小一定，當機器人有效工作空間截面積最大時，需要o2,a1,a2,a3,在同一水平線上，此時θ3max=θ4max=0。

由于機械臂在水下作業的實際情況和結構干涉問題，各個關節轉動范圍應該被限制，因此θ2∈[θ2min,θ2max]，θ3≥θ3min，θ4≥θ4min，即θ2min≤θ2≤θ2max，θ3min≤θ3≤0,θ4min≤θ4≤0。

3) 內部空洞約束

為了使有效空間截面積最大，則需要空洞的區域與機械臂有效活動區域產生更小的交集，此時需要圓弧l2和l4均在L/3之下，這時l3與水平線A1A2有2個交點a4,a5，如圖2所示，需滿足：

(L2+L3)sin(π/2-θ2max)+L4

(4)

r1

(5)

此時：

(6)

h=L/3-L2sin(π/2-θ2max)

(7)

cosγ=h/r2

(8)

d=r2sinγ

(9)

d1=d-L2cos(π/2-θ2max)

(10)

(11)

(12)

式中，r2是a1，a23之間的距離；h是a1到A1A2的垂直距離；d是a4a5線段的1/2；γ是a1a4與h之間的夾角；d1是a5到x2o2的垂直距離；r1max是o2，a5之間的距離；β是r2與L3之間的夾角；r1是o2，a34之間的距離。

4) 目標函數求解

由目標函數式(3)可知，需要求解S1(X)和S2(Y)的面積。求解S1(X)面積如圖3所示：

圖3 機械臂有效工作空間截面圖

(14)

(15)

(16)

(17)

s1=πα1L2/360-h1(3L/4)/2

(18)

s2=πα2L2/360-s1-h2(L/3)/2

(19)

S1(X)=2s2

(20)

式中，h1為B2A3的長度;h2為B1A2的長度;α1為B3o2與A3o2之間的夾角;α2為B1o2與A2o2之間的夾角;s1為點B3,B2,A3圍成的面積;s2為點B1，B2，A3，A2圍成的面積。如圖2可知：

(21)

因此:

maxS(Y)=S1(X)-S2(Y)

(22)

考慮到機械臂水下作業的實際情況和連桿干涉問題，關節轉角應有一定的限制，即-π/2≤θ2≤π/2，-π≤θ3≤0，-π≤θ4≤0。

3 遺傳算法與優化

遺傳算法產生于達爾文提出的進化論和自然選擇學說,可以模擬生物進化論和自然界遺傳機制,最大優勢為可以避免所需優化參數在優化期間落入局部最優點[9]。通過應用概率策略,遺傳算法可自動獲得并引導優化的搜索空間,具有良好的全局優化能力[10]。

遺傳算法主要包括3個步驟：選擇、交叉、變異[11]。通過遺傳操作，在解的范圍內隨機選取適應度值較大的個體，淘汰適應度值小的個體，然后再進行一步一步的進化，從而使種群朝著較好的方向發展，最終求得最優解和最優個體。

為了得到最大的有效空間截面，本研究用S(Y)作為適應度函數。首先用隨機數初始化種群，接著在執行遺傳算法步驟之前先把不滿足式(4)、式(5)空洞約束條件的個體淘汰掉，然后在計算適應度值S(Y)，并且進行輪盤選擇，單點交叉，基本位變異等遺傳操作，經過多次迭代，最后得到最大的截面積和機械臂結構優化參數，圖4為遺傳算法最優解求解過程[12]。

圖4 遺傳算法流程圖

4 理論最優值分析與仿真計算

4.1 理論最優值分析

由目標函數S(Y)=S1(X)-S2(Y)可知，當S2面積等于0時，即圓弧l3與線段A1A2相切，或者在線段A1A2之下。此時S的面積最大，即S(Y)=S1(X)，由式(14)～ 式(20)可知，S1只與總桿長L有關，所以L增大時，理論最優值S也會相應的增加。

4.2 仿真計算

在分析機械臂有效空間的截面時，可以得到影響截面積的參數變量，簡化為：

k=[L2,L3,L4,q2max,q3min,q4min]

在遺傳算法中，每一個個體包含了6個參數變量。在初始化種群時，需要給出參數的搜索范圍，考慮到運動過程中所能達到的運動范圍受桿長、轉角以及干涉等條件的約束[12]，使其：

(23)

(24)

在仿真時，設定種群大小為300，最大迭代次數為N=300，交叉概率為0.6，變異概率為0.005。圖5為種群最佳適應度的進化過程，大約迭代150次就可以接近最優解和最優個體。圖6為機械臂有效工作空間截面圖，陰影部分面積是有效空間截面的空洞區域。參數變量選取第300次迭代的仿真結果，最大截面積為1.5510×106mm2，最佳參數為L2=399.41 mm，L3=800 mm,L4=300 mm,q2max=1.57,q3min=-2.44,q4min=-3.02。由理論分析可得，總桿長越大越好，所以取各個桿長約束范圍內的最大值，此時最大總桿長L=1500 mm，理論最優值截面積S=1.5526×106mm2，理論最優結構參數為L2=400 mm，L3=800 mm,L4=300 mm。仿真結果的最大截面值與理論最優值差值為1.6×103mm2，誤差為0.103%。

圖5 種群最佳適應度的進化過程

圖6 機械臂有效工作空間截面圖

在無其他約束的情況下，從理論分析上就可以得到最大截面積和最優的桿長參數等于最大總桿長L。但是機械臂在實際的水下作業時，總桿長會被限制，并不是無限增大，若保持最大總桿長L為1500 mm不變，即：

(L2+L3+L4)≤1500

(25)

在滿足桿長和干涉約束的條件下擴大一下變量的約束范圍，使：

(26)

當把約束條件式(23)改為式(25)、式(26)，遺傳算法各個參數不變，各個關節的角度范圍不變時，當迭代次數從0開始依次增加到最大迭代次數N=300次時，其有效空間的截面積S變化如圖7所示，機械臂有效工作空間截面圖如圖8所示。陰影部分面積是有效空間截面的空洞區域。

圖7 種群最佳適應度的進化過程

圖8 機械臂有效工作空間截面圖

從圖7可以看出，隨著迭代次數的增加，截面積逐漸增大，當迭代約250次時接近收斂到最優值，當N=300時，L2=481.81 mm,L3=760.11 mm,L4=257.97 mm,q2max=1.55,q3min=-2.21,q4min=-3.03,S=1.5509×106mm2。從理論上分析，為使截面積最大，總桿長越大越好，因此取各個桿長約束邊界最大值，即L2=500 mm,L3=1000 mm，L4=500 mm，但是此時最大總桿長已大于1500 mm，不滿足式(25)的約束條件，從理論上不能得出最優結構參數。已知最大總桿長L=1500 mm，因此理論最大截面積也是1.5526×106mm2，仿真值差值ΔS=1.7×103mm2，誤差為0.109%。

對比圖5和圖7可知，當L一定時，N=300時計算得到的截面積與理論值誤差分別為0.103%，0.109%，通過對比最佳參數可以發現，桿長在約束范圍內并不是越大越好。由圖6和圖8也可以看出，有效空間的截面幾乎等于理論最優值S1的面積。由圖7可知，當桿長約束條件變為式(25)、式(26)時,此時理論分析不能得到最佳的結構參數，但利用遺傳算法可求最優參數。綜上所述：理論分析和仿真結果驗證了有效空間截面模型的正確性，并且利用遺傳算法能有效的求解角度與運動約束下的串聯式機械臂結構優化問題。

5 結論

本研究首先針對機械臂的結構建立運動學模型，分析出影響機械臂有效工作空間的相關關節；接著利用圖解法分析機械臂工作空間的邊界曲線，得到機械臂有效工作空間的截面；然后對截面建立數學解析模型；最后運用遺傳算法求得滿足約束條件下的有效工作空間截面最優解和能實現水下作業的最優參數結構。仿真結果驗證了該模型的正確性，并且能夠有效求解角度與運動約束下的串聯式機械臂結構優化問題。