局域共振型薄膜材料隔聲機理與調控規律研究

張健，周奇鄭，王德石，高晟耀

（1.海軍工程大學，武漢 430033；2.92578部隊，北京 100161）

隔聲材料在航空航天、艦艇、環境噪聲等領域有著廣泛的應用。然而受質量作用定律[1]的影響，傳統隔聲材料在低頻段的吸聲效果不夠理想，根據質量作用定律，低頻段需要增加隔聲材料的質量才能增強隔聲效果，但增加質量與現有器械輕質重載的設計思路是相反的。而局域共振型薄膜材料的出現為研制新型的低頻隔聲材料提供了新的設計思路。局域共振型薄膜材料，是由薄膜上附加質量塊并粘附在剛性框架上構成，該結構在聲波激勵下會產生局域共振，這類材料的隔聲量相對質量作用定律預測的結果顯著增加[2-4]。

Liu等[5]于2000年提出了聲子晶體的局域共振帶隙機理，通過將包覆軟橡膠材料的大密度（鉛球）質量塊周期性地嵌入樹脂基體材料中，形成了一種三維三組元復合材料，成功在小尺寸結構的條件下獲得低頻帶隙。這種采用“軟橡膠材料”附加“質量塊”形式在振動控制領域通常用于實現動力吸振器結構[6]，在聲學領域實現共振單元也可以使用這一思路。Yang等[7]在2008年提出了薄膜型聲學超材料的概念，并指出在低頻段內，薄膜中心附加一個小的圓形質量塊能夠改善薄膜的聲學特性，通過改變附加質量塊的重量可以調整其有效隔聲范圍。之后，通過將具有不同有效隔聲范圍的聲學超材料疊加在一起，增強了該結構的隔聲性能。2010年，Naify等[8-9]通過阻抗管測試和有限元仿真研究了附加重量和薄膜張力對薄膜型聲學超材料隔聲性能的影響。Zhang等[10]創建了液體雙共振單元結構，體積模量和質量密度在該結構中都為負值，之后通過建立聲振分析模型，解釋了反共振和共振引起的聲波傳輸變化。2014年，Ma等[11]設計的薄膜型復合共振吸聲的超材料，可以實現單個甚至多個頻率的吸聲。

目前對于局域共振板的振動已有許多研究[12]，但是薄膜與薄板的振動有本質的區別，薄板中的恢復力來自于薄板的剛度，而薄膜的恢復力則來自于薄膜的張力。局域共振型薄膜材料通過薄膜和質量塊的局域共振增強了結構對彈性波的吸收，從而提升隔聲性能，并且材料的共振頻率可以通過改變薄膜和質量塊的結構參數來調整。此外，薄膜結構在空氣中振動，其固有頻率較低，阻尼較高，應當考慮薄膜結構聲振耦合的分析。在隔聲材料設計階段，對局域共振薄膜結構進行聲振耦合機理的分析，并且準確地評估薄膜材料的隔聲性能非常重要。

本文采用解析法和有限元法相結合的方式對局域共振型薄膜材料的隔聲特性進行預測，將兩種方法的計算結果與實驗進行對比，驗證了模型和計算方法的有效性。通過分析局域共振薄膜材料模態振型與隔聲性能之間的關系，發現當薄膜-質量塊整體結構位移較大時，結構聲輻射增強，隔聲性能較差；薄膜-質量塊反向振動，結構整體位移減小，兩者結構聲輻射相互抵消，隔聲性能較好。此外，還詳細研究了結構參數對于低頻隔聲性能的影響。

1 計算方法驗證

1.1 薄膜-質量塊聲振耦合的解析解

為計算薄膜-質量塊的隔聲效果，本文以矩形薄膜附加質量塊的結構為例，從膜的振動方程出發，得到了薄膜-質量塊結構的聲振耦合方程。

薄膜-質量塊結構的尺寸和材料參數如下：薄膜張力為T，并且當薄膜振動時，該張力保持不變。薄膜的寬度、長度、單位面積面密度分別為a,b,ρs，質量塊的寬度、長度、單位面積面密度分別為lx,ly,ρmass，在笛卡爾坐標系中，w(x,y,t)表示t時刻點(x,y)在z方向上的橫向位移，圖1為薄膜-質量塊結構的示意圖。

圖1 薄膜表面附加質量

在方程推導過程中，忽略薄膜的抗彎剛度和質量塊對薄膜振動的影響。由薄膜表面的力學平衡關系，可以得到薄膜的聲振耦合方程為

式中：ρs,ρi,T別為薄膜的面密度、質量塊的面密度和薄膜表面張力，pi,pr,pt分別為入射聲壓、反射聲壓和透射聲壓。入射聲波為一列頻率為ω的平面波，從z＜0方向垂直入射到薄膜表面，表達式為

由聲學邊界條件可知，兩種介質在分界面上的法向質點速度連續，即可得到總的聲壓作用力為

式中：k為波數，A1是入射聲壓幅值。ρa,ca分別為空氣的密度和聲速。?(x,y,xi,yi,l xi,lyi)是Heaviside函數，表示4個階躍函數的結合方程。

根據模態疊加原理，薄膜表面的振動位移可表示為

式中：km=mπ/a，kn=nπ/b。Wmn表示振動模態系數，sinkmxsinkny表示第(m,n)階振動模態。

將公式（3）代入式（1），整理得到：

將式（5）代入式（6），方程兩邊同乘以ψpq=sinkpxsinkqy，并在整個膜結構表面進行積分(0≤x≤Lx,0≤y≤Ly)，可以得到聲振耦合方程如下：

式（7）可以寫成矩陣形式：

式中：[W]表示振動模態系數，[M],[Q]分別代表薄膜、質量塊的質量矩陣，[C]矩陣代表空氣阻尼，[K]表示的是薄膜張力矩陣，而2A1[F]作為入射聲波是整個結構的受迫振動的激勵力。

由式（8）可知：

對于圓形薄膜的聲振耦合分析則是在極坐標下進行，通常局域共振型薄膜材料的質量塊都放置在圓形薄膜中心。與矩形薄膜類似，可以得到圓形薄膜的聲振耦合方程。

式中：ρm為質量塊面密度，r1,r2分別為質量塊的內、外半徑，?(r,r1,r2)是兩個階躍函數的結合方程，?(r,r1,r2)=H(r-r1)-H(r-r2)。圓形薄膜的橫向振動位移和各階模態振型可表示為

式中：Jmn(kmnr)為貝塞爾函數，并且圓形薄膜的振動位移只與徑向距離r相關，要求取m=0。各階模態振型可簡化為將式（15）兩邊同乘，即可對圓形薄膜的聲振耦合方程進行化簡，化簡過程與矩形薄膜相同，此處不再贅述。

對于小尺寸膜結構，為簡化計算，可使用膜結構表面平均振動速度表示透射聲壓：

膜結構的聲壓透射系數可以通過透射聲壓和入射聲壓求得：

進而，可以得到局域共振型薄膜結構隔聲量表達式：

1.2 有限元模型和計算方法

局域共振型薄膜材料是由彈性薄膜，質量塊和剛性框架組成的復合結構，結構的配置方式對聲學特性有很大影響，當采用復雜配置時，解析法難以有效處理，而有限元計算為此可以提供便利。

使用多物理場仿真分析軟件COMSOL對薄膜-質量塊結構進行有限元仿真。模型主要由薄膜-質量塊結構單元和聲場兩部分構成，薄膜-質量塊結構將聲場分為入射聲場和透射聲場兩個部分。為模擬低頻噪聲的聲源特性，設置為平面波輻射，進入該邊界條件的聲波不存在反射情況。為了保證沒有聲波對外界透射，真實地模擬聲場的入射及出射情況，四周邊界設置為硬聲場邊界條件。將薄膜的四周設置為固定邊界條件，在薄膜上施加x,y方向上的預應力。圖2為仿真模型的示意圖，在該模型下計算薄膜-質量塊結構在聲場激勵下聲波的傳播損耗分布曲線。

圖2 聲場建模實體

1.3 計算結果分析驗證

為驗證解析法和有限元計算的有效性，將計算結果與Naify等的實驗結果進行對比驗證。其中材料的結構參數如下：薄膜的半徑r=12 mm，厚度h=0.076 2 mm，預應力σx=σy=6.4×106Pa，張力T=σx×h，薄膜的質量密度ρ0=1200 kg/m3，薄膜面密度ρs=ρ0×h；附加質量塊的半徑r0=1.93 mm，厚度h1=5.2 mm，重量m=0.48 g，質量密度ρ1=7 870 kg/m3，質量面密度ρm=m/(πr02)；聲速c=340 m/s，密度為1.29 kg/m3。經過計算得到解析法、有限元法和實驗結果的隔聲量對比，如圖3所示。

圖3 隔聲量

從圖3可以看出，3種方法得到的結果變化趨勢相同，都出現了一個隔聲峰值和兩個隔聲谷值，實驗測量對應的頻率分別為427.9 Hz，301.4 Hz和3 679.3 Hz；與此對應的解析法計算結果為408.1 Hz，286.1 Hz，3 401.6 Hz；有限元仿真的結果為438.9 Hz，300.5 Hz，3 682.8 Hz。表1將解析法和有限元法與實驗測量的數據相比較，對解析法和有限元法的精確度進行分析，括號內列出相對實驗結果的精度誤差。

表1 解析法和有限元法頻率點的精確度/Hz

經過表1的對比，兩種方法在低頻時（第一隔聲谷和第一隔聲峰）的預測結果都較為準確，有限元法對于低頻隔聲特性預測的精度較高，隨著頻率增大，解析法的預測精度會逐漸降低。解析法預測誤差較大的原因是因為忽略了質量塊的彎曲剛度，質量塊與薄膜接觸的部分在實際振動時不會發生彎曲變形，從而導致了結果的誤差。

在對結構的低頻隔聲性能進行預測時，解析法的計算時間很短，對幾千個頻率點的計算只需要幾分鐘的時間，并且物理意義明確，而有限元法的計算則相對繁瑣，計算時間較長，參數設置不合理時容易導致結果不收斂；但是解析法只能針對簡單小樣品結構進行計算，有限元法則可以對復雜結構進行分析求解，可視化的后處理功能可以更直觀的對局域共振型薄膜材料的聲振特性進行分析。后文為了解薄膜-質量塊結構的隔聲機理，探究隔聲機理與特征頻率之間的關系，使用了有限元法對結構進行分析計算。

2 局域共振型薄膜材料聲振耦合特性分析與優化設計

為找到局域共振型薄膜材料隔聲機理的一般規律，首先對較簡單結構進行了分析，以Naify等設計的結構為例，計算得到結構的前6階特征頻率，相對應的頻率分別為296.8 Hz，687.7 Hz，689.7 Hz，827.1 Hz，2 951.6 Hz，3 552.5 Hz，發現第1階與第6階與薄膜-質量塊的兩個隔聲谷相對應，其對應的模態振型如圖4所示。

圖4 與隔聲谷相近的兩個特征模態

圖4(a)中質量塊振動方向向上，帶動周圍的薄膜一起向同一個方向振動，這個振型是由質量塊和其周圍薄膜組成的“重物-彈簧”系統共振引起，變形較大，從而導致結構聲輻射能量增強，隔聲性能較差。圖4(b)的振動可以看作質量塊以及框架連接處薄膜無振動，剩余部分薄膜振動時產生的振型，因為薄膜發生了巨大的形變，也導致隔聲能力減弱。隔聲峰位于這兩個特征頻率之間，隔聲峰頻率點處的整體振幅如圖5所示。

圖5 隔聲峰處的結構振幅

圖5中隔聲峰處結構振幅是第1階和第6階特征頻率的疊加，即在這2階特征頻率之間，會出現一個頻率點，使質量塊與周圍薄膜一起振動，并且振動方向相反，結構的整體位移減小，隔聲性能增強。

薄膜中心附加一個質量塊的結構，相對于傳統隔聲材料的隔聲性能明顯提高，然而其對于亞波長的隔聲能力有限，為提高局域共振型薄膜材料的低頻隔聲性能，拓寬結構的亞波長隔聲頻帶，設計了一種矩形薄膜上附加對稱半圓形質量塊的結構，并對其低頻隔聲性能進行分析。該結構由長度30 mm，寬度15 mm，厚度0.2 mm的彈性薄膜，兩片半徑為6 mm，厚度為1 mm的半圓形鐵片構成，并且兩塊鐵片對稱放置于y軸的兩側，為了與Naify等的結構區分，并方便下文描述，將薄膜上附加對稱半圓形質量塊的結構稱為結構A。

薄膜材料為硅橡膠，其楊氏模量和泊松比是美國的Damping Technologies公司利用夾層梁配置法測量：分別測量兩塊鋼板之間有膜和無膜時系統動力學性質的變化而得到。楊氏模量實部的測量結果最終取100 Hz～1 000 Hz頻率范圍內楊氏模量的平均值：

楊氏模量虛部通過擬合實驗吸收譜得到：

最終測得的楊氏模量為

彈性波在材料中傳播時存在損耗，所以在有限元計算中應該考慮楊氏模量的虛部。ω是角頻率，質量密度為980 kg/m3，泊松比為0.3。薄膜上下為空氣域，氣壓為一個標準大氣壓。薄膜初始應力為σx=σy=2.2×105Pa。質量塊的密度、泊松比和楊氏模量分別是7 870 kg/m3、0.3、2×1011Pa。對上面的有限元模型進行計算，可以得到圖6所示的隔聲量變化曲線。

圖6 局域共振型薄膜材料隔聲量變化曲線

從圖6可以看出，該材料在200 Hz～750 Hz的低頻段隔聲性能較強。兩個隔聲谷的頻率f1，f3對應的頻率為194.6 Hz，745.2 Hz；隔聲峰值對應的頻率f2為284.7 Hz。通過有限元軟件計算得到薄膜材料在四邊約束下的特征頻率和其對應的模態振型。發現有兩個特征頻率與隔聲曲線的兩個隔聲谷頻率相近，分別為195.41 Hz、747.16 Hz，對應的模態振型如圖7所示。

圖7 結構A隔聲谷的模態振型

圖7(a)的變形集中在兩個質量塊上，質量塊同時向z方向振動，帶動兩個質量塊中間的薄膜也發生較大變形；圖7(b)的振動主要集中在中心薄膜上，質量塊處幾乎無位移，薄膜隔聲峰處的結構振幅如圖8所示。

圖8 結構A隔聲峰處的結構振幅

隔聲峰處的結構振幅表現為質量塊與薄膜振動的疊加，質量塊向內“翻轉”，中心處薄膜向z軸負方向振動。為了更直觀地分析結構振動對于隔聲性能的影響，將兩處隔聲谷以及隔聲峰處沿薄膜表面對角線的橫向振動位移剖面函數畫出，如圖9所示。

圖9 結構A隔聲谷、隔聲峰處的結構振幅

通過圖9可以更直觀地看出兩處隔聲谷的整體結構位移較大，產生了較強的結構聲輻射，隔聲性能降低。隔聲峰處的結構振幅是兩處隔聲谷振幅的疊加，兩側質量塊呈現向上“扇動”的形態，中心處薄膜向下振動，整體結構位移較小，兩者產生的結構聲輻射相互抵消，整個結構形成了一個開放的共振腔，使得隔聲性能增強。

將結構A與前文薄膜中心附加一個質量塊結構的聲振特性相對比，兩者的第一隔聲谷頻率分別為194.6 Hz，300.5 Hz；隔聲量大于15 dB的隔聲頻段分別為240 Hz～460 Hz，330 Hz～1 600 Hz，結構A對于亞波長的隔聲能力明顯提升。通過對兩種結構的模態振型進行分析，發現局域共振型薄膜材料第一隔聲谷的產生受質量塊的影響較大；而第二隔聲谷的產生則更加依賴于薄膜；隔聲峰則是由于質量塊與其附近薄膜振動反向時產生。

3 局域共振型薄膜材料結構參數的設計

為獲得薄膜與質量塊對局域共振型薄膜材料隔聲性能影響的規律，對薄膜上附加對稱半圓形質量塊結構的薄膜厚度，質量塊厚度、擺放位置，預應力等幾個因素對低頻隔聲性能的影響進行了分析計算，并列表說明結構參數對第一隔聲峰的影響，計算結果如圖10所示。

如圖10(a)和表2所示，隨著薄膜厚度增大，隔聲量的第一隔聲峰逐漸減小，所對應的頻率逐漸增大。厚度增加5倍，隔聲峰向高頻移動了282.43 Hz，隔聲量下降了8.45 dB，薄膜厚度增大，張力隨之增加，低頻激勵下隔聲量下降。

表2 薄膜厚度變化對第一隔聲峰的影響

圖10(b)和表3表明，質量塊之間的距離減小，局域共振型薄膜材料在聲波激勵下形成的“共振腔”彈性波吸收能力變弱，第一隔聲峰峰值降低，所對應的頻率增大。質量塊之間距離8 mm，隔聲峰頻率向高頻移動了26.28 Hz，隔聲量降低5.01 dB。通過圖10(c)和表4發現質量塊厚度從0.1 mm增至1 mm，隔聲峰向低頻移動了386.73 Hz，隔聲量增大了28.81 dB；厚度從1 mm增至2 mm，隔聲峰向低頻移動了90.04 Hz，隔聲量增加了0.83 dB，隔聲峰向低頻移動和隔聲量增長的幅度減小很大。由前文模態分析可知質量塊對第一隔聲谷的影響較大，厚度增加即對應質量面密度變大，增強了低頻段薄膜和質量塊的共振，導致隔聲量逐漸增大。但隔聲量的增長幅度在質量塊厚度達到1 mm之后會明顯減小。圖10(d)和表5所示，隨著預應力增加，隔聲曲線整體向高頻移動，隔聲峰也逐漸增大，并不利于材料的低頻隔聲。預應力增加，即是增加了薄膜的張力，薄膜在共振時的恢復力增強。

表3 質量塊位置變化對第一隔聲峰的影響

表4 質量塊厚度對第一隔聲峰的影響

表5 預應力變化對第一隔聲峰的影響

局域共振型薄膜材料打破了質量作用定律的限制，通過薄膜與質量塊的共振實現了輕質材料高效率的低頻隔聲性能。通過以上分析，針對低頻隔聲需求，可以通過減小薄膜厚度和預應力，適當增加質量塊之間的距離和質量塊的厚度來實現。

圖10 結構參數變化對隔聲性能的影響

4 結語

本文將解析計算、有限元分析和實驗結果相對比驗證了計算方法的有效性。然后使用有限元法對局域共振型薄膜材料的模態振型與隔聲性能之間的關系進行了分析，并設計了薄膜上附加對稱半圓形的機構，提高了結構的亞波長隔聲性能，此外，還分析了結構參數對于隔聲性能的影響規律。

研究結果表明:

（1）局域共振型薄膜材料具有較強的低頻隔聲性能，薄膜上附加對稱半圓形質量塊的結構亞波長隔聲性能較強，隔聲峰值頻率為284.7 Hz，隔聲頻段位于240 Hz～460 Hz。

（2）局域共振型薄膜材料的第一隔聲谷的共振頻率受質量塊影響較大；第二隔聲谷的共振頻率則主要依賴于薄膜；隔聲峰處質量塊與薄膜的振動反向，兩者產生的結構聲輻射相互抵消，隔聲性能增強。

（3）對于薄膜上附加對稱半圓形質量塊的結構，薄膜厚度和預應力減小，薄膜張力隨之減小，導致結構的低頻隔聲性能增加；增加質量塊厚度的方式增強低頻隔聲性能，但是質量塊厚度超過1 mm后，增長幅度有限；質量塊之間距離增大，并且相隔13 mm時，低頻隔聲性能最好。

研究結論可以針對實際工程需要，為局域共振型薄膜材料的設計提供理論依據。