拉普拉斯變換在控制系統微分方程中的應用

周蓉，陳峰，嚴晨雪，王越群

（江蘇商貿職業學院，江蘇南通，226011）

0 引言

在沒有人直接參與的情況下，自動控制（automatic control）是利用外加的設備或裝置，能夠使機器、參數、生產過程的某個工作狀態或設備按照預定的規律自動的運行[1]。自動控制是一種技術措施，能自動調節、加工、檢測的機器設備以及儀表，并給他們規定的程序或特定的指令，以便于讓它們自動的作業。自動控制能夠有效的增加產量、降低成本、提高質量，并且能夠保障生產安全，確保工人的勞作強度等[2]。自動控制技術的研究有利于提高人們的工作效率，因此在一些復雜的環境中，人們工作的時間相對于以前降低了很多。自動控制技術利用了反饋定理，該定理利用輸出信號反饋到輸入信號，從而使輸出值接近于我們想要的值[3-4]。自動控制系統中涉及到的基本的計算有拉普拉斯變換、傅里葉變換等。

1 拉普拉斯變換的概念

拉普拉斯變換簡稱拉氏變換，它廣泛應用在許多科學技術和工程領域。研究過程中，我們需要從實際出發，首先以研究對象為基礎，將其規劃為一個時域數學模型，然后再借助于拉普拉斯變換數學工具轉變為復域數學模型，最后如果想要結果表現的更直觀，可以使用圖形來表示，而圖形的表示方法是以傳遞函數（復域數學模型）為基礎，所以拉氏變換是古典控制理論中的數學基礎[5-6]。利用拉氏變換變換求解數學模型時，我們就當作求解一個線性方程，換而言之拉氏變換不僅可用來將簡單的時域信號轉換為復數域信號，還可以用來求解控制系統微分方程[7]。拉氏變換是將時域信號變為復數域信號，反之，拉氏反變換是將復數域信號變為時域信號，下面對其概念作具體介紹。

■1.1 拉氏正變換

定義：對于定義在[0, ∞)區間上的函數f(t)，有拉普拉斯積分其中F(S)稱作函數f(t)的拉普拉斯變換，簡稱為拉氏變換。

■1.2 拉氏反變換

拉氏反變換是拉氏正變換的逆運算，其公式為L?1[F(s)]=f(t)。

■1.3 拉氏變換的運算定理

在使用拉氏變換過程中，為了方便計算，常用到一些基本的運算定理，這些定理都可以通過拉氏變換定義式證明得到。

（1）線性定理

若L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t) ]=F2(s)，則L[k1f1(t) +k2f1(t)]=k1F1(s) +k2F2(s)。

（2）微分定理

L[f'(t) ]=sF(s) ?f(0)， 在 零 初 始 條 件 下:L[fn(t)]=snF(s)。上式表明，初始條件為0時，原函數的n階導數的拉氏式等于其象函數乘以sn。

（3）積分定理

在零初始條件下:L[ ∫ ···∫f(t)dtn]=F(s) /sn，上式表明，在零初始條件下，原函數的n重積分的拉氏式等于其象函數除以sn。

（4）位移定理

若L[f(t)]=F(s)，則L[e?atf(t) ]=F(s+a)。

（5）延遲定理

當原函數f(t)延遲τ時間，成為f(t?τ)時，它的拉氏式為：L[f(t?τ) ]=e?sτF(s)，上式表明，當原函數f(t)延遲τ，即成f(t?τ)時，相應的象函數F(s)應乘以因子e?sτ。

（6）終值定理

條件：sF(s)的全部極點除坐標原點外應全部分部在s平面的左半平面[8]。

2 應用拉氏變換求解微分方程

■2.1 求解微分方程步驟

拉氏變換求解控制系統微分方程的步驟如下：

（1）將微分方程轉化為以s為變量的線性代數方程，該步驟利用拉氏變換。

（2）解代數方程得到輸出量的象函數。

（3）利用拉氏反變換求出原函數即得到微分方程解[9]。

■2.2 實例1 拉氏變換求解電路微分方程

如圖1所示RLC電路，試列寫以ur(t)為輸入量，已知輸入為沖激函數，其中uc(t)為輸出量的網絡微分方程，利用拉氏變換求解uc(t)。

圖1 RLC串聯電路

由電路圖可以看出，該電路是一個電阻電感電容串聯的回路，因此流過該回路的電流相等，可以得出電容上的電流等于i(t)。根據電路圖還可以看出，輸出量為uc(t)，輸入量為uc(t)，那我們只需要列出輸出量和輸入量之間的關系。其中，電感、電容是一個特殊的元件，電容上的電壓與電流的關系式為：

接下來我們根據基爾霍夫第二定律列出KVL方程：

將數據代入上式：

利用拉氏變換的微分定理列出上式變換后的式子：

由于ur(t)為沖激函數，則其拉氏變換UR(s)=1，合并同類項，求出UC(s)：

在這里為了方便計算，代入一組數據，令L=1H,C= 1F,R= 1?，得到UC(s)：

■2.3 實例2 拉氏變換求解機械位移系統微分方程

如圖2所示為機械位移系統，圖中所示k為彈簧系數，f為阻尼系數，F為外力作用，假設為階躍函數，m是物體質量。列寫質量m在外力F作用下位移y(t)的運動方程，并求出y(t)。

圖2 機械位移系統

根據彈簧系數，考慮彈簧彈力2() ()Ft=kyt

根據力的平衡條件，列出平衡方程，得到外力F(t)，F3(t) =F(t) ?F1(t) ?F2(t)，代入后為：

將微分方程轉換為復域方程：

F(t)為階躍函數，則其復數域函數為F(s)= 1 /s,代入上式得到Y(s)：

假設m= 1 ,f= 0 ,k= 0 ，得到，類似于拋物線函數，可得出其拉氏逆變換結果如下所示。

3 Matlab驗證計算結果

■3.1 MATLAB的基本知識

自動控制原理的根軌跡分析、頻域分析、時域分析、控制系統的設計等問題，要求數學基礎扎實，對于抽象的一些問題，我們必須具備極強的想象力，比如在畫Bode圖、描述函數以及分析狀態空間等一些問題時，要有能承受得住復雜、繁瑣的計算與繪圖的工具。使用MALAB編程運算可以說是模仿人在進行科學計算的思路和表達方式，所以說MALAB的語法更貼近人的思維方式，用MATLAB編寫程序，運算求解問題，十分方便，就相當于在演算紙上排列書寫公式。還有，MATLAB語言語句簡單，極其容易學習與使用，并且MATLAB界面友好，使得從事自動控制的科技工作者樂于接觸它，總而言之，MATLAB特別適合進行自動控制原理的實現。

■3.2 實例1 MATLAB驗證拉氏變換求解電路微分方程

根據實例1中用拉氏變換求解電路微分方程，并且代入數據后得到接下來用MATLAB驗證，最后仿真后得到的方程的結果如圖3所示。

圖3 實例1仿真結果

由此可見計算出的結果與仿真的結果一致。

■3.3 實例2 MATLAB驗證拉氏變換求解機械位移系統微分方程

根據實例1中用拉氏變換求解電路微分方程，并且代入數據后得到，接下來用MATLAB驗證，最后仿真后得到的方程的結果如圖4所示。

圖4 實例1仿真結果

由此可見計算出的結果與仿真的結果一致，如果遇到比較復雜的式子時，利用MATLAB能更快更準確的仿真出結果。

■3.4 實例分析啟示

根據以上的例題分析可以得到拉氏變換求解控制系統微分方程的基本步驟和方法為：分析控制系統，找出被控量→列出控制系統的時域微分方程→將微分方程拉氏正變換為復域方程→求解復域方程，得出被控量的復域函數→將復域函數拉氏逆變換得到微分方程的解。

4 結論

綜上可知，學生學習時，如果遇到拉氏變換，教師需要用合適的方法來使學生對其加深印象。除了需要幫助學生分析系統的組成外，還需要幫助學生復習拉氏變換的基本定理及性質，這對他們以后學習的內容有相應的幫助，能讓他們深刻理解其適用的對象及范圍。并且，教師要重視典型例題的講解、分析和總結，使學生在教學中掌握基本的定理，能夠讓他們靈活地運用這些定理。一旦學生有了獨立分析問題的能力，這將對于增強他們發散性思維有一定的幫助。