旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡基點(diǎn)研究

徐海斌 顧菊觀

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

1 引言

透鏡在光學(xué)教學(xué)和光路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用非常普遍[1,2].透鏡參數(shù)的選擇在很大程度上影響了其效果.因此，對(duì)透鏡特性的研究具有著重要的意義.

透鏡基點(diǎn)位置是描述透鏡特征的重要參數(shù).現(xiàn)有光學(xué)教材往往只對(duì)球面透鏡進(jìn)行闡述，給出傍軸近似下基點(diǎn)位置參數(shù)的公式.玻恩在《光學(xué)原理》一書(shū)中對(duì)旋轉(zhuǎn)二次曲面的幾何光學(xué)成像問(wèn)題進(jìn)行了初步探討，但是并沒(méi)有給出其具體形式[3].在實(shí)際光路設(shè)計(jì)中，非球面透鏡因?yàn)槠漭^多的優(yōu)勢(shì)，得到了廣泛的研究與應(yīng)用[4～6].基于非球面透鏡應(yīng)用的仿真研究也得到了廣泛的開(kāi)展[7～11].基于幾何光學(xué)基本原理及二次曲面的數(shù)學(xué)描述[12]，一些研究者對(duì)二次曲面透鏡參數(shù)進(jìn)行了理論研究，并在各種近似下給出其基點(diǎn)位置描述公式及成像特征[13～15].由于實(shí)際透鏡加工的限制和測(cè)量的不便，使得這些研究結(jié)論并沒(méi)有得到明確的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.同時(shí)，現(xiàn)有研究很大程度僅僅考慮曲面頂點(diǎn)曲率半徑對(duì)基點(diǎn)參數(shù)的影響.而二次曲面conic系數(shù)是描述旋轉(zhuǎn)二次曲面特征的重要參數(shù).因此，考慮二次曲面conic系數(shù)對(duì)透鏡基點(diǎn)參數(shù)究竟會(huì)產(chǎn)生怎么樣的影響就變得非常有必要.

作為虛擬仿真軟件，TracePro具有簡(jiǎn)單便捷、容易入門、結(jié)果可靠直觀、能實(shí)現(xiàn)圖形顯示及可視化操作等優(yōu)點(diǎn).該軟件一個(gè)重要特點(diǎn)就是其利用幾何光學(xué)的基本原理，采用了光線追跡的方法，對(duì)每條光線在光學(xué)器件中的傳輸進(jìn)行仿真演示.這種虛擬仿真所取得的效果，可以避免傍軸近似所帶來(lái)的偏差，同時(shí)也可以有效克服幾何光學(xué)實(shí)驗(yàn)觀察條件限制的不足.以對(duì)稱旋轉(zhuǎn)二次曲面會(huì)聚透鏡為例，利用該軟件對(duì)其進(jìn)行了虛擬仿真.仿真結(jié)果實(shí)現(xiàn)了對(duì)傍軸近似條件下透鏡基點(diǎn)位置描述公式的驗(yàn)證，并對(duì)二次曲面conic系數(shù)和入射高度對(duì)基點(diǎn)位置、焦距及其變化率的影響進(jìn)行了分析，為具有不同conic系數(shù)旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡成像的光線選擇提供一定的參考.該虛擬仿真方法同樣適用于自由曲面透鏡特性的研究[16].

2 旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡

2.1 基本結(jié)構(gòu)

旋轉(zhuǎn)二次曲面包括最常見(jiàn)的球面、拋物面、橢球面和雙曲面，其中conic系數(shù)決定了二次曲面的面形.旋轉(zhuǎn)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)面面形公式可以表示為[12]

(1)

圖1 旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡的基點(diǎn)

對(duì)于任意一個(gè)旋轉(zhuǎn)二次曲面，假定其左右兩側(cè)介質(zhì)折射率分別為n0和n，則其焦距可以表述為[13]

(2)

對(duì)于具有圖1的透鏡結(jié)構(gòu)而言，可得A界面和B界面的焦距分別為

(3)

(4)

圖1中A和B兩個(gè)界面頂點(diǎn)之間的距離為d，則兩層界面之間的光學(xué)間隔為

Δ=d-f′A+fB

(5)

(6)

(7)

(8)

由上述透鏡基點(diǎn)位置公式并結(jié)合圖1可以看出，基點(diǎn)位置與二次曲面透鏡的conic系數(shù)并沒(méi)有關(guān)系.這是在推導(dǎo)上述關(guān)系時(shí)，進(jìn)行了一些近似有關(guān).因此，很有必要對(duì)不同conic系數(shù)下透鏡的基點(diǎn)位置進(jìn)行觀察，尋找conic系數(shù)對(duì)透鏡基點(diǎn)位置變化的影響.

3 旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡建模及基點(diǎn)位置分析

利用TracePro軟件可自由建模二次曲面透鏡.對(duì)稱或非對(duì)稱旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡均可采用同樣的建模方法進(jìn)行仿真研究.為簡(jiǎn)單直觀，這里主要采用具有固定參數(shù)的對(duì)稱旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真研究.

3.1 不同conic系數(shù)的曲面特征

現(xiàn)有理論研究結(jié)果并沒(méi)有考慮二次曲面的conic系數(shù)對(duì)透鏡的影響.圖2給出了在相同的頂點(diǎn)曲率半徑下不同conic系數(shù)所對(duì)應(yīng)曲面在yOz平面上的截面圖.隨著conic系數(shù)從1逐漸變化到-1.5，可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)二次曲面逐漸趨向平坦，因此，conic系數(shù)的不同必然會(huì)影響光線在曲面折射的效果.這一點(diǎn)尤其是在入射高度較大時(shí)，將會(huì)變得更加明顯.conic系數(shù)與典型的旋轉(zhuǎn)二次曲面有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.當(dāng)k>0時(shí)，對(duì)應(yīng)橫橢球面；k=0對(duì)應(yīng)球面；0>k>-1對(duì)應(yīng)豎橢球面；k=-1對(duì)應(yīng)拋物面；k<-1對(duì)應(yīng)雙曲面.

圖2 不同conic系數(shù)旋轉(zhuǎn)二次曲面在yOz平面上的截面圖

3.2 旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡的基點(diǎn)位置

TracePro軟件是追跡光線在各種材料及光學(xué)器件內(nèi)傳輸?shù)膸缀窝菔?根據(jù)基點(diǎn)的定義，可以找出各種入射高度下基點(diǎn)的幾何位置，并給出其變化規(guī)律.一方面可以驗(yàn)證理論公式計(jì)算的可靠性，另一方面，由于理論公式的推導(dǎo)是基于傍軸近似下的結(jié)果，通過(guò)利用軟件虛擬仿真，可以進(jìn)一步考查實(shí)際基點(diǎn)位置的修正.

圖3展示了在虛擬仿真中尋找透鏡像方基點(diǎn)位置的示意圖.

圖3 像方基點(diǎn)位置示意圖

3.3 旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡基點(diǎn)位置虛擬仿真

為便于比較，仿真實(shí)驗(yàn)僅僅對(duì)具有相同頂點(diǎn)曲率半徑，不同入射高度和不同conic系數(shù)下基點(diǎn)位置進(jìn)行分析.當(dāng)透鏡其他相關(guān)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，可以使用同樣的虛擬仿真方法進(jìn)行分析.

當(dāng)conic系數(shù)和光線入射高度發(fā)生變化時(shí)，透鏡的主點(diǎn)位置及其變化率隨之發(fā)生了變化.從圖4(a)可以看出，主點(diǎn)位置隨光線入射高度發(fā)生較為明顯的變化，而對(duì)conic系數(shù)并不是非常敏感.當(dāng)光線入射高度越來(lái)越小時(shí)，像方主點(diǎn)位置趨于理論計(jì)算值.圖4(b)給出了主點(diǎn)位置變化率隨conic系數(shù)及光線入射高度的變化特性.當(dāng)入射高度低于10 mm時(shí)，不同conic系數(shù)的旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡主點(diǎn)位置變化率均小于1%.隨著入射高度的增加，其主點(diǎn)位置變化率迅速變大，與conic系數(shù)的大小關(guān)系不大.圖4顯示了主點(diǎn)位置及其變化率主要與光線入射高度有關(guān).

(a) conic系數(shù)發(fā)生變化時(shí)主點(diǎn)位置iH變化率隨入射高度的變化

(b) conic系數(shù)發(fā)生變化時(shí)主點(diǎn)位置iH變化率隨入射高度的變化

透鏡焦點(diǎn)位置及其變化率隨conic系數(shù)和光線入射高度的變化如圖5所示.圖5(a)中透鏡焦點(diǎn)位置隨conic系數(shù)和光線入射高度變化明顯.隨著光線入射高度逐漸增加，焦點(diǎn)位置逐漸向透鏡靠攏.conic系數(shù)越大，這種變化就越明顯.當(dāng)入射高度逐漸減小，不同conic系數(shù)的透鏡焦點(diǎn)都逐漸趨于理論計(jì)算值.圖5(b)給出了焦點(diǎn)位置變化率隨conic系數(shù)及入射高度的變化關(guān)系.當(dāng)入射高度較大時(shí)，conic系數(shù)越大，焦點(diǎn)位置變化率越大.隨著入射高度的減小，焦點(diǎn)位置變化率逐漸趨向于零.圖5顯示了焦點(diǎn)位置及其變化率與光線入射高度及conic系數(shù)有關(guān)，并且入射高度越高，conic系數(shù)越大，這種變化就越明顯.

(a) conic系數(shù)發(fā)生變化時(shí)焦距位置iy隨入射高度的變化

(b) conic系數(shù)發(fā)生變化時(shí)焦距位置iy變化率隨入射高度的變化

透鏡焦距及其變化率隨conic系數(shù)和光線入射高度的變化如圖6所示.

圖6(a)顯示隨著入射高度和conic系數(shù)的變大，焦距逐漸減小.當(dāng)入射高度減小時(shí)，焦距逐漸趨向理論值，與conic系數(shù)無(wú)關(guān).

圖6(b)顯示了焦距變化率隨入射高度及conic系數(shù)的變化規(guī)律.焦距變化率隨著入射高度及conic系數(shù)逐漸變小，直至趨向于0.圖6顯示了焦距及其變化率與入射高度及conic系數(shù)有關(guān).

通過(guò)對(duì)圖4、圖5和圖6的分析可知，對(duì)于頂點(diǎn)曲率半徑相同，不同旋轉(zhuǎn)二次曲面conic系數(shù)的透鏡在光線入射高度較低時(shí)，基點(diǎn)參數(shù)與理論計(jì)算值基本一致，并且其變化率也較小.當(dāng)入射高度逐漸增加時(shí)，透鏡主點(diǎn)位置及其變化率與conic系數(shù)關(guān)系不大；透鏡焦點(diǎn)、焦距及其變化率受conic系數(shù)影響較大，conic系數(shù)越大，這種變化越明顯.

(a)不同conic系數(shù)下焦距隨入射高度的變化

(b)不同conic系數(shù)下焦距變化率隨入射高度的變化

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡的分析，給出了旋轉(zhuǎn)二次曲面透鏡基點(diǎn)位置的計(jì)算公式.提出了一種驗(yàn)證透鏡基點(diǎn)位置及其變化率的虛擬仿真方案.基于TracePro軟件的虛擬仿真結(jié)果顯示，對(duì)于光線入射高度較低的情況下，透鏡基點(diǎn)位置的計(jì)算公式符合較好.對(duì)于光線入射高度逐漸增加時(shí)，透鏡的主點(diǎn)位置及其變化率主要由入射高度決定，與conic系數(shù)關(guān)系不大；焦點(diǎn)位置、焦距及其變化率不但與光線入射高度有關(guān)，而且與conic系數(shù)有關(guān).論文研究結(jié)果為透鏡成像過(guò)程中的光線選擇，尤其針對(duì)大口徑，conic系數(shù)不同的二次曲面透鏡的光闌選擇，提供了定性的參考.該實(shí)驗(yàn)方案也可為各種自由曲面的理論參數(shù)分析提供一種有效的驗(yàn)證方法.

該虛擬仿真分析方法為不便于實(shí)際測(cè)量參數(shù)的透鏡等光學(xué)器件測(cè)試和光路設(shè)計(jì)提供一條有益的思路，可拓展大學(xué)物理光學(xué)教學(xué)中球面透鏡的教學(xué)內(nèi)容，使得學(xué)生對(duì)非球面透鏡的特征具有更加形象具體的認(rèn)識(shí).