場強方向判斷容易出現的一個隱蔽性錯誤
——帶電粒子在勻強電場中做勻變速曲線運動的相關規律

張 黎

(黃陂區前川街第三中學 湖北 武漢 430317)

何崇榮

(黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

帶電粒子(不計重力)在勻強電場中僅受電場力作用時，若粒子速度與場強方向不共線，則粒子做勻變速曲線運動.教學過程中會碰到，如果給出粒子運動過程中經過若干點的能量間的關系或者給出經過兩點時速度方向，如何判斷場強方向問題.而在解決此類問題時，特別容易犯一些隱蔽性錯誤[1].

1 已知3點動能關系判斷場強方向

1.1 題目

【例1】(2020年湖北八校聯考)如圖1所示，半徑為R的圓形區域，c為圓心，∠acb=60°，在圓上a點有一粒子源以相同的速率向圓面內各個方向發射多個質量為m、電荷量為+q的帶電粒子，圓形區域內存在平行于圓面的勻強電場，粒子從電場中射出的最大動能是初動能的4倍，經過b點的粒子動能是初動能的3倍，已知初動能為Ek，不計粒子重力及粒子間的相互作用，下列選項正確的有( )

圖1 例1題圖

C.電場強度方向從a到b

D.電場強度方向從a到c

1.2 解析

設電場強度方向與ac連線的夾角為θ，如圖2所示.

圖2 例1解析圖

由a點到最大動能處，根據動能定理有

qER(1+cosθ)=Ekm-Ek

(1)

由a到b點有

qERcos(60°-θ)=Ekb-Ek

(2)

聯立式(1)和式(2)解得

1.3 評析

圖3 例1評析圖

通過上述分析，根據3點動能關系，可以確定場強方向.所以此題正確選項為A和C.

2 已知兩點速度方向判斷場強方向

2.1 題目

【例2】在平行于紙面的勻強電場中,有一電荷量為q的帶正電粒子僅在電場力作用下,粒子從電場中的A點運動到B點，速度大小由2v0變為v0，粒子的初、末速度與AB連線的夾角均為30°，如圖4所示，已知A和B兩點間的距離為d，則該勻強電場的電場強度為( )

圖4 例2題圖

2.2 解析

建立圖5所示的坐標系，將粒子的運動按x軸方向和y軸方向分解，兩方向電場強度的分量分別為Ex和Ey，加速度分別為ax和ay，根據速度位移公式有

圖5 例2解析圖

x方向：(v0cos 60°)2-(2v0)2=2axdcos 30°

(3)

y方向：(v0sin 60°)2=2aydsin 30°

(4)

根據牛頓第二定律

qEx=maxqEy=may

(5)

根據場強疊加

(6)

聯立式(3)～(6)解得

于是正確選項為D.

2.3 評析

這個解析似乎也很完美，然而若選擇將粒子的運動按AB連線和垂直于AB連線分解，兩個方向都是勻變速直線運動，垂直于AB連線方向，相當于做類豎直上拋，A和B兩點在垂直于AB連線方向速度應該等大反向.而代入數據發現，兩分量不等.于是題目條件出現不自洽.那么給出兩點速度方向，如何確定場強方向呢？下面按一般性討論，物體做勻變速曲線運動時，所受恒力方向有什么規律.

3 勻變速曲線運動速度方向恒力方向各自滿足的規律

質點受恒力作用，當初速度與力不共線時，質點做勻變速曲線運動.若已知運動過程中兩點速度方向，如圖6所示，那么如何確定該恒力(或加速度)的方向呢？

圖6 勻變速曲線運動中已知兩點速度方向

如圖7所示，設質點加速度大小為a，A和B兩點速度延長線相交于D點，質點由A運動到B，沿v1方向的位移為AC，合位移為AB，過D點作DD′平行于恒力方向與合位移AB相交于D′.

圖7 速度和位移

將質點的運動分解為沿v1方向的勻速直線運動和沿恒力方向的勻變速直線運動，于是有

再根據速度矢量三角形與△BCD相似，于是有

解得

即D為AC的中點，D′為AB的中點，恒力方向平行于DD′.

于是可以得出以下規律.

規律1：類似于平拋運動速度方向特點，速度方向反向延長線相交于其中一分運動(勻速直線運動)的位移中點.

規律2：質點所受恒力方向平行于某兩點的連線，這兩點分別為任意兩點速度方向的交點以及該兩點連線的中點.

規律3：質點經過任意兩點的速度沿垂直于兩點連線方向的分量等大反向.