實例辨析感應電動勢的求法

李 惠 高 潔

(株洲市第二中學 湖南 株洲 412007)

筆者在平時的競賽教學中發現學生對感應電動勢的理解存在一定的誤區，具體表現在哪里呢？筆者通過一道競賽真題的講解來舉例說明.

【原題】如圖1所示為一鉛直豎立的磁場分布情形，成圓柱形對稱.任一點的磁感應強度可表示為

a,b,B0為常數.起始時，有一質量為m，半徑為r0的超導體圓環靜置于z=0的水平面上，圓環中心軸和圓柱磁場中心軸重合，環中的電流為零.t=0時刻，超導體圓環無初速度釋放，沿著中心軸的方向自由落下，設超導體圓環的自感為L.求圓環內的電流I和時間t的函數關系式.

圖1 題目配圖

1 設計問題 點亮思維的火花

為幫助學生解題，筆者設計了幾個問題，其難度呈階梯式上升，旨在循序漸進地引導學生，找到解題的思路.

問題1：超導體有什么性質？

問題2：請定性分析超導體圓環的運動學、動力學特點，大膽猜想圓環的運動類型.

問題3：題設條件是磁場的空間分布，所求卻是超導體圓環內的電流與時間的關系，這中間應該尋找什么作為邏輯過程的節點，把題設與所求聯系起來？

筆者發現，這3個問題學生都能順利回答.

1.1 對問題1的分析

零電阻現象和完全抗磁性是超導體兩個獨立的基本性質，是超導體的標志.根據法拉第電磁感應定律，圓環自由下落后，環內一定有感應電流；同時根據基爾霍夫回路電壓方程

可知，因為超導體圓環的R=0，圓環內的感應電動勢必定為零.

1.2 對問題2的分析

在超導體圓環開始下落后的小段時間內，在重力作用下圓環的速度越來越大，磁通量變化率增大，導致電流增大，所受的安培力增大，圓環會有一段時間做加速度減小的加速運動，速度增大后，感應電流變大會導致豎直向上的安培力大于重力，圓環緊接著會有一段豎直向下的加速度增大的減速直線運動，這個動力學規律能讓學生很快聯想到豎直方向彈簧振子，振子從原長位置無初速度釋放，在重力和彈簧彈力作用下做簡諧振動.超導體圓環初始位置無電流不受安培力只受重力的初始狀態也跟豎直方向彈簧振子從彈簧原長處釋放時不受彈力僅受重力類比.所以，我們可以大膽猜想圓環應該做簡諧振動.彈簧振子的簡諧振動如圖2所示.

圖2 從彈簧原長處開始釋放的豎直方向彈簧振子

1.3 對問題3的分析

如果圓環在z方向做簡諧振動，則z=z(t)是一個正余弦關系，因超導體圓環所受回復力是安培力(變力)和重力(恒力)的合力，所以回復力增量就是安培力增量，即超導體圓環所受的安培力F安=F安(I)與z方向位移成是線性關系，所以，要想求出I=I(t)，我們只要先找出電流大小與z方向位移的函數關系I=I(z)即可.

2 學生所作的兩種典型解答

典型解答1：由上述分析可知，圓環的電動勢為零.根據法拉第電磁感應定律

(1)

Φ是圓環內的總磁通量，它由兩部分構成，一部分是圓柱形對稱的外加磁場在超導體圓環內的磁通量Φ1

(2)

另一部分是超導體圓環中自身的感應電流產生的磁場在環內的磁通量Φ2

Φ2=LI

(3)

這部分磁通量的初值為Φ20=0.

因電動勢為零，所以Φ不變是一個常數，即Φ1+Φ2=Φ10+Φ20.

解得

(4)

接下來只要把z=z(t)關系解出來就能得到I=I(t)函數關系.因為z方向是簡諧振動，我們得先求出簡諧振動的圓頻率才能定量寫出z=z(t).

如何獲取簡諧振動的圓頻率ω？我們對圓環受力分析，寫出簡諧振動的運動學方程即可求得圓頻率ω.

對圓環受力分析，z方向磁場分量對圓環電流的作用力都沿著圓環徑向，合力為零.只有徑向磁場分量對電流的作用力沿z軸正向，即

(5)

(6)

我們令Z=z-z0建立新的Z軸，上述運動學方程可寫成

(7)

可見，圓頻率為

(8)

故圓環的運動學方程為

z-z0=Acosωt

(9)

代入初值條件t=0,z=0,得A=-z0.

(10)

聯立式(4)和式(10)得

(11)

典型解答2：把磁場用Br和Bz兩個分量磁場等效替代，其中Br分量的特點是呈輻射狀分布，處處與圓環垂直，且圓環的每一小段超導體圓環所在空間的Br磁場大小相等；而Bz分量的特點是沿著豎直方向，且高度越高，磁感應強度越小.由于重力作用圓環在下落過程中，以垂直于Br分量的速度切割了磁感線，獲得了動生電動勢ε1，方向為(逆著z軸看)順時針方向；同時由于Bz分量垂直穿過圓環所在平面，Bz分量的磁通量隨著圓環的下落在不斷增大，故磁通量在面積恒定的超導體圓環中不斷增大，根據法拉第電磁感應定律，它將產生一個順時針方向(逆著z軸看)的感生電動勢ε2，再加上感應電流的磁通量變化對應的感生電動勢ε3，根據基爾霍夫回路電壓方程，這3個電動勢的和為零，即

ε1+ε2+ε3=0

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

聯立式(12)、(13)、(14)、(15)得

(16)

用上述典型解法1相似的思路，繼續解下去：

(17)

(18)

我們令Z=z-z0建立新的Z軸，上述運動學方程可寫成

(19)

可見，圓頻率為

(20)

故圓環的運動學方程為

z-z0=Acosωt

(21)

代入初值條件t=0,z=0,得A=-z0.

(22)

聯立式(16)和式(22)得

(23)

請讀者把典型解法1中的式(4)～(11)和典型解法2中的式(16)～(23)做一一比對就會發現，從式(4)和式(16)出現了分歧直接導致最后結果的差異.

哪種典型解法是正確的呢？

3 兩種典型解法孰對孰錯 錯因在哪

顯然，典型解法1根據法拉第電磁感應定律和基爾霍夫方程推導出的電流與空間坐標z的關系是正確的.那么典型解法2中通過分別求解動生電動勢、感生電動勢、自感電動勢3項之和作為感應電動勢的做法錯在哪里呢？我們來一項一項排查.

3.1 典型解法2中對ε1和ε3的求解是正確的

本題中圓柱形對稱的磁場不隨時間發生變化，運動的超導體圓環切割磁感線所得到的動生電動勢為

自感電動勢ε3的求解顯然是正確的，毋庸置疑.

3.2 典型解法2中對ε2的求解是錯誤的

這種解法認為，由于Bz分量垂直穿過恒定面積的圓環，磁通量會隨著Bz分量的增大而增大從而產生感生電動勢ε2.

從圓環參考系來看，圓環本身是靜止的，而它所處的外部磁場是時變的.因為徑向磁場分量大小不變且與靜止的圓環平面始終平行，這個磁場分量對應的磁通量始終為零，不產生感生電動勢；垂直于圓環所在平面的磁場z分量是時變的，故會產生感生電動勢ε2.

那么我們究竟怎么去理解這個ε2的存在與否呢？《新概念物理教程電磁學》中提到[1]，由于運動是相對的，會出現同一感應電動勢在某一參考系中是感生電動勢，在另一參考系中是動生電動勢的現象，但是，參考系的變化只能在一定程度上消除感生和動生的界限，在普遍情形下是不可能通過參考系的變換把感生電動勢完全歸結為動生電動勢，反之亦然.這就告訴我們，處理感生電動勢和動生電動勢的問題我們需要在同一參考系中進行.典型解法2中，ε1和ε3都是在地面系中觀察的，而這個感生電動勢只能在圓環參考系中觀察到，而ε2一旦轉換到地面系中它就不復存在.在處理同一個問題時，我們只能選擇在相同的參考系中解決，所以，典型解法2中式(12)在地面系中應該改寫為

ε1+ε3=0

(24)

聯立式(13)、(15)、(24)可得

等號兩邊同時對時間積分可得

(25)

比較式(4)和式(25)，我們發現求出來的結果不同.難道我們在地面參考系中求解出來的電動勢仍然是錯誤的嗎？其實不然.下面我們來證明式(25)與式(4)是等價的.

我們知道磁感線是封閉的曲線，通過任何閉合曲面的磁通量一定為零.我們在圓柱形對稱的磁場中選擇一個長為dz，半徑為r的圓柱面(包含兩端的底面)，該圓柱面的中心軸線與z軸重合.根據磁場的“高斯定理”可知，通過這個閉合圓柱面的磁通量為零，即

Br(z,r)2πrdz+πr2Bz(z+dz,r)-πr2Bz(z,r)=0

(26)

當dz,dr都趨近于零時，由式(26)可知

(27)

(28)

與本題題設的Br=aB0r做對比可以發現，其實本題題設的

(29)

式(29)的錯解恰好是式(4)正解的2倍.這個錯誤的原因現在就很好理解了.處理同一個問題時，我們只能選擇在相同的參考系中來解決才能獲得正確答案.在典型解法2中學生先在地面系中觀察得到感應電動勢ε1和ε3，再換到圓環系中觀察得到感應電動勢ε2，把3個感應電動勢相加.而根據上述分析，因為微小圓柱閉合曲面側面上的磁通量的變化量與其上下底面上的磁通量的變化率的絕對值剛好相等，因此，在地面系中觀察不到而只能在圓環系中才能觀察到的ε2等同于地面系中觀察到的ε1，這兩個感應電動勢其實就是同一個感應電動勢，典型解法2中在同一問題中取不同參考系去求解感應電動勢，無形中把ε1重復計算一次了，于是典型解法2中因電動勢加倍而導致電流也加倍了.這就是式(16)的錯誤原因，也是典型解法2的錯誤原因.